苏科版2025年新七年级数学暑假培优练暑假作业04整式的乘法运算(知识梳理+11大题型+拓展突破)(原卷版+解析)

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暑假作业04 整式的乘法运算
知识点01 整式的乘法
1）单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2）单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即(都是单项式).
3）多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
知识点02 乘法公式
1）平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2）完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
题型一 单项式乘单项式
1．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．计算： ．
3．计等：．
题型二 单项式乘多项式
1．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（ ）
A．B．
C． D．
2．已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了；结果得，则 ．
3．先化简，再求值．，其中，．
题型三 多项式乘多项式
1．已知，则m、n的值依次为（ ）
A．5，2B．，C．3，D．，
2．若，则的值是 ．
3．已知，求与的值．
题型四 （x+p）（x+q）型多项式乘法
1．已知，则的值是（ ）
A．16B．4C．1D．36
2．若，则 ．
3．先观察下列各式，再解答后面问题：
；
；
；
．
(1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
(2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来；
(3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果．
①_____________；
②_____________．
题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值
1．若关于的多项式的结果中不含项，则的值为（ ）
A．1B．0C．D．
2．若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ．
3．设是常数，如果多项式的计算结果中不含的二次项，求的值．
题型六 化简求值
1．已知，，则的值为（ ）
A．B．3C．D．1
2．已知，，则的值为 ．
3．先化简再求值：
(1)，其中．
(2)，其中，．
题型七 多项式乘多项式与图形面积
1．设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片，长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．11B．10C．9D．8
2．如图，有一长方形纸片，长、宽分别为和，现在长、宽上分别剪去宽为的纸条，则剩余部分（阴影部分）的面积 ，其中 是自变量．
3．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论．
例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式．
例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式．
(1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ．
(2)已知，请利用（1）中的结论，求的值．
题型八 多项式乘法中的规律性问题
1．根据，，，的规律，则的个位数字是（ ）
A．7B．5C．3D．1
2．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形揭示(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律，此三角形称为“杨辉三角”．
…
根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为 ．
3．观察以下等式：
(1)按以上等式的规律，填空：
①______．
②______．
(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简；
题型九 整式乘法混合运算
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则的值为 ．
3．计算：
(1)；
(2)．
题型十 乘法公式
1．若二次三项式是完全平方式，则k的值是（ ）
A．6B．C．D．
2．已知，，则代数式的值为 ．
3．先化简再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
题型十一 乘法公式与图形面积
1．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（ ）

A．B．C．D．
2．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．

3．如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形．
(1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示）
(2)在图2中，m与n的等量关系为______；
(3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式．
1．若，则M与N的大小关系是( )
A．由x的取值而定B．C．D．
2．若多项式不含项和项，则代数式的值为（ ）
A．2B．C．D．3
3．形如的式子称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张D．不够用，还缺5张
5．如果二次三项式可分解为，那么的值为（ ）
A．B．C．1D．0
6．现有一长方形地块，长比宽多米．若将长增加米，宽缩短米，则所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为 米．
7．若，则 ．
8．已知，B是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，则 ．
9．代数式是完全平方式，则 ．
10．若，则 ．
11．如图，点B在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为；……，则 ．
12．(1)计算；
(2)．
13．先化简，再求值：．其中，．
14．观察下列各式的计算规律，解答下列问题．
……
(1)根据上面各式的规律可得： ；
(2)根据（1）中规律计算的值；
(3)求的个位数字．
15．根据完全平方公式，把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做“配方法”．例如把配方如下：．请完成下列问题：
(1)填空：配方多项式的结果为 ；
(2)当等于多少时，代数式的值最小？
(3)用一根长为米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少？
16．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．


（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1： ；图2： ；图3： ．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图4，已知，求的值．
类比迁移：
（2）若，则 ；
（3）如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．

1．（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )

A．6B．7C．8D．9
2．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24B．C．D．
3．（2020·江苏淮安·中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．205B．250C．502D．520
4．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）．
5．（2020·贵州安顺·中考真题）化简的结果是 ．
6．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ．
7．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为 .
8．（2020·江苏宿迁·中考真题）已知a+b＝3，a2+b2＝5，则ab的值是 ．
9．（2019·江苏南京·中考真题）计算．
10．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，.
11．（2022·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．