苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第09讲等腰三角形的轴对称性(学生版+解析)

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1.把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，有什么发现？

几何语言说明：由题意得AB=AC，∠BAD=∠CAD，
在▲ABD和▲ACD中，
∴▲ABD≌▲ACD（SAS）
所以三角形ABD和三角形ACD重合。
所以，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。
由此可以发现，等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
并且得到下面定理：
（1）等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）
几何语言：∵AB=AC ∴∠B=∠C
（2）等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（三线合一）
几何语言：
已知角平分线，用SAS证高与中线。几何语言：
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD ∴AD⊥BC，BD＝CD
已知中线，用SSS证角平分线与高线。几何语言：
∵AB＝AC，BD＝CD ∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC
（3）已知高线，用HL证角平分线与中线。几何语言：
∵AB＝AC，AD⊥BC ∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD
按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，高AD=h。
作法：（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线，MN交BC与点D；
（3）在MN上截取线段DA，使DA=h；（4）连接AB、AC。▲ABC就是所求作的等腰三角形。
3.已知如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
方法1：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．由∠B＝∠C，
∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC．
方法2：作BC边上的高AD．由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90°
，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC．
因此，可以得到有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）
几何语言：∵∠B＝∠C∴AB=AC
4.（1）回想一下什么是等边三角形，也可以称为什么三角形？
三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性质吗？
等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。
已知AB=BC=CA，证∠A=∠B=∠C。
证：∵AB=BC，BC=CA∴∠A=∠C，∠A=∠B
∴∠A=∠B=∠C
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=∠B=∠C =60°
因此，等边三角形的各角都等于60°。
几何语言：∵AB=AC=BC ∴∠A=∠B=∠C =60°
5.（1）那如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？
已知∠A=∠B=∠C，证：AB=AC=BC
证：∵∠A=∠C，∠A=∠B
∴AB=BC，BC=CA
∴AB=AC=BC
∴▲ABC是等边三角形
因此，三个角都相等的三角形是等边三角形。
几何语言：∵∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
已知顶角∠A=60°，AB=AC，证：▲ABC是等边三角形
证：
∵∠A=60°，AB=AC ∴∠B=∠C= =60°
∴∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形
已知底角∠A=60°，BA=BC，证：▲ABC是等边三角形
证：
∵∠A=60°，BA=BC∴∠A=∠C=60°∴∠B=180°-∠A-∠C=60°
∴∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形
因此，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
几何语言：∵∠A=60°，AB=AC∴▲ABC是等边三角形
6.两个斜边的一半
（1）如图，已知∠B=90°，∠A=30°，证：
证：延长CB到点D，使得BC=BD，连接AD。
∵BC=BD,BC+BD=CD
∴
∵∠B=90°，BC=BD
∴AD垂直平分
∴AC=AD
∵∠BAC=30°，∠ABC=90°
∴∠C=60°
∵AC=AD
∴▲ACD是等边三角形
∴CD=AC
∵
∴
因此，30°对应的直角边等于斜边的一半。
几何语言：∵∠B=90°，∠A=30°∴
（2）如图，∠ABC=90°，在AC上取一点D，使得BD=CD
证：
∵∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠CBD=90°
∵BD=CD
∴∠C=∠CBD
∴∠A=∠AB
∴AD=BD
∵BD=CD，AC=AD+CD
∴AC=2BD
∴
因此，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何语言：∵∠ABC=90°，D是AC中点 ∴
考点一：等边对等角
例1．等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（ ）
A．B．或C．或D．
【变式1-1】如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如图，在中，，分别以点 A和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线，分别交于点 D，E，连接． 若，则等于 ．
【变式1-3】如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，．
(1)求证：是的中点；
(2)求证．
考点二：根据等边对等角证明
例2．在中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ．
【变式2-3】如图，是的中线，是的中线，且．求证：

(1) ；
(2)平分．
考点三：三线合一
例3.如图，在中，，平分，若，则（ ）
A．10B．12C．5D．6
【变式3-1】如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（ ）

A．5B．4C．3D．2
【变式3-2】如图，在中，平分于点于点，则 ．
【变式3-3】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
考点四：根据三线合一证明
例4．如图，在中，，分别以点A，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连接．下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．是的垂直平分线
【变式4-1】如图，在中， ，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（ ）

A．3B．4C．5D．6
【变式4-2】如图，等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于 ．
【变式4-3】如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由．
考点五：等角对等边
例5．如图，在中，，，①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F；③作射线交于点G．若，则长（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式5-1】如图，中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5-2】如图，，F为的中点，，则的长为 ．
【变式5-3】如图，在中，的平分线交于点F，过点F作分别交于点D，E．若的周长为20，，求的周长．
考点六：根据等角对等边证明
例6. 如图，在中，，，，交于点D，，则的长为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【变式6-1】下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，，B．
C．，D．
【变式6-2】如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点．若，，则的长是 ．
【变式6-3】如图，在中，，D是上一点（D与C不重合）．
(1)尺规作图：过点D作的垂线交于点E．作的平分线交于点F，交于点H（保留作图痕迹，不用写作法）．
(2)求证：．
考点七：等边三角形的性质
例7．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】如图所示，是等边三角形，为角平分线，为上一点，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点、．如果测得，那么 ．
【变式7-3】已知，如图，为等边三角形，，、相交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若于，，，求的长．
考点八：等边三角形的判定
例8．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．等边三角形的每一个角都等于
C．全等三角形的面积相等D．若，则
【变式8-1】满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是的三角形B．有两边相等且是轴对称图形的三角形
C．有一个内角是且有两边相等的三角形D．三边都相等的三角形
【变式8-2】已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．

【变式8-3】阅读材料：若，求m，n的值．
解：，，
，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则_______， _______；
(2)已知的三边长a 、b 、c都是正整数，且满足，求的周长．
(3)已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由．
考点九：含30°角的直角三角形
例9. 如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角，闸机的通道宽度为（ ）

A．B．C．D．
【变式9-1】如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的各边上，且与E，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】如图，在矩形中，，连接，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．若平分，，则 ．
【变式9-3】如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．

(1)求证：；
(2)若，则的面积为______．
考点十：斜中定理
例10. 一直角三角形斜边上的中线长是，则斜边的长（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的中线长为 ．
【变式10-3】综合与实践：
(1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接
①的度数为______；（直接写出）
②线段之间的数量关系为______（直接写出）
(2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接
①的度数为______；（直接写出）
②证明：线段之间的数量关系；（详细过程）
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程）
1．如图，在中，是斜边上的中线，若，则（ ）
A．10B．6C．8D．5
2．等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它第三边是（ ）
A．4cmB．5cmC．9cmD．12cm
3．一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为（ ）
A．13 cmB．17 cm
C．7 cm或13 cmD．不确定
4．如图，已知在中，，，根据图中尺规作图痕迹，（ ）

A．B．C．D．
5．如图，在中，，是的平分线，点E是延长线上一点，连接是的垂直平分线，若，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
6．在等腰三角形中，，（如图，一个含30度角的直角三角板的一直角边与边重合，斜边经过的顶点A），则的度数为（ ）

A．B．C．D．
7．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为 ．
10．如图，在中，，，则 ．
11．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，若，则的度数为 ．
12．如图，在中，是BC的中点，若，则 ．
13．如图，，是正六边形的两条对角线，则的大小为 ．
14．如图，已知在四边形中，，平分交于点，于点，于点，，，则的面积为 ．
15．如图，已知，点在射线上，点在射线上．均为等边三角形，若，则的边长为 ．
16．已知正方形，点是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点，当最小时， ．
17．如图，在中，，过点A作且，连接．试说明：．
18．如图，在中，，是的平分线，，交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画的角平分线；
(2)在图②中，画的角平分线；
(3)在图③中，在边上确定点N，使得．
20．如图，在中，的平分线交于点E，点F是上一点，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，判断与的位置关系，并说明理由．
21．数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究：
【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且．
①求证：；
②求的度数；
【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数．
22．【基础巩固】

（1）如图1，在与中，，，，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点．
①求的大小；
②，求的面积；
【拓展提高】
（3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．探索等腰三角形的轴对称性的过程；
2．探索并证明等腰三角形和等边三角形的性质和判定定理；
3.会利用基本作图作三角形。