苏科版2025年七升八数学暑假衔接讲义专题11勾股定理的应用重难点题型专训(八大题型)(原卷版+解析)

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题型一 勾股定理之梯子滑落问题
题型二 勾股定理之旗杆高度问题
题型三 勾股定理之风吹树折问题
题型四 勾股定理之航海问题
题型五 勾股定理之台阶地毯长度问题
题型六 勾股定理之是否超速问题
题型七 勾股定理之是否受台风影响问题
题型八 勾股定理之最短路径问题
注：本讲义含有实数的相关知识，可先了解平方根的相关概念再做本专题；
【知识梳理】
【经典例题一 勾股定理之梯子滑落问题】
【例1】（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（ ）
A．49尺B．49.5尺C．50尺D．50.5尺
【变式训练】
1．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．
A．0.5B．0.4C．0.6D．1
2．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．

3．（2023春·湖南长沙·八年级统考期中）如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为米，梯子的顶端到地面的距离为米．现将梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于米，同时梯子的顶端下降至，那么的值：①等于米；②大于米；③小于米．其中正确结论的序号是 ．
4（2023·全国·八年级假期作业）如图梯子斜靠在竖直的墙，长为，为．
(1)求梯子的长．
(2)梯子的顶端A沿墙下滑到点C，梯子底端B外移到点D，求的长．
5．（2022秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，一根长的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端到地面的距离AO为，为中点．
(1)当梯子的顶端下滑时，求梯子底端向外滑行的距离？
(2)请判断在木棍滑动的过程中，点到点的距离是否变化，若不变，则求出的长度，若变化，请说明理由；
(3)直接写出木棍滑动的过程中面积的最大值___________．
【经典例题二 勾股定理之旗杆高度问题】
【例2】（2023春·广东湛江·八年级统考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）

A．mB．mC．6mD．m
【变式训练】
1．（2023春·福建南平·八年级统考阶段练习）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米B．1.2 米C．1.25 米D．1.5 米
2．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为 m．
3．（2022秋·八年级单元测试）在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有5米．则旗杆的高度 ．
4．（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点处，如图3．

(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度；
(2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？
5．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图1是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，为地面，支架垂直地面，可分别绕点B，C转动，测量知．当转动到，且A、C、D三点共线时，求点A到地面的距离．
【经典例题三 勾股定理之风吹树折问题】
【例3】（2023·浙江·八年级假期作业）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，已知树（垂直于地面）上的点处（米）有两只松鼠，为抢到处（点，在同一水平地面上，米）的坚果，一只松鼠沿到达点处，另一只松鼠沿到达点处．若两只松鼠经过的路程相等，则树的高为（ ）
A．6.5米B．7.0米C．7.5米D．8米
2．（2023·江西九江·校考模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为 尺．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高 ．
4．（2023春·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ．
(1)求这两棵树的水平距离；
(2)求树的高度．
5．（2022春·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
【经典例题四 勾股定理之航海问题】
【例4】（2023春·八年级课时练习）已知，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向北偏东方向航行，另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，则离开港口1小时后，两船相距（ ）
A．海里B．海里C．16海里D．24海里
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．：2B．：1C．：2D．：1
2．（2023·山东泰安·统考一模）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向．A，B之间的距离为海里，则C岛到航线的最短距离是 海里．
3．（2023·湖北黄冈·三模）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛A在它的北偏东方向上，航行12海里到达点处，测得小岛A在它的北偏东方向上，那么小岛A到航线的距离等于 海里．
4．（2021春·广东东莞·八年级校考期中）如图，甲以16海里/小时的速度从港口O出发沿北偏东的方向航行，同时乙轮船以12海里/小时的速度从港口O出发，2小时后甲船到达A点，乙船到达B点，且两船相距40海里，求乙船的航行方向．

5．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．

(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．
【经典例题五 勾股定理之台阶地毯长度问题】
【例5】（2023春·八年级课时练习）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A．B．3C．D．
【变式训练】
1．（2023春·陕西铜川·八年级铜川市第一中学校考阶段练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）

A．20dmB．25dmC．30dmD．35dm
2．（2023春·八年级课时练习）如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块 ，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．
3．（2022秋·广东茂名·八年级校联考阶段练习）如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是 cm.
4．（2023春·八年级课时练习）如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
5．（2018秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，长方体的底面是边长为2cm的正方形，高是6cm．
（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面围绕一圈到达点B．那么所用的细线最短长度是多少厘米？
（2）如果从A点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短长度是多少厘米？
【经典例题六 勾股定理之是否超速问题】
【例6】（2023秋·江苏·八年级专题练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速测检测仪间的距离为，这辆小汽车超速了吗？
【变式训练】
1．（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）某市规定：小汽车在城市道路上行驶的速度不得超过（约为）．如图，一辆小汽车在该市一条城市道路上由东向西行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，后到达B处（），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为，问这辆小汽车是否超速？请说明理由．

2．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．

(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
3．（2023春·江西上饶·八年级统考期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在到迎泽大街（直线AO）的距离（线段PO）为120米的点P处.这时，一辆小轿车由点A向点O匀速行驶，测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
(1)求点A，B之间的距离；（精确到0.1米）
(2)请判断此车是否超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度，并说明理由．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
5．（2021秋·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期中）“新冠肺炎”疫情牵动着14亿中华儿女的心，渠县人民政府积极响应国家号召，及时对广大人民群众进行疫情防控宣传．如图，一笔直公路MN，村庄A到公路MN的距离为600 m，若在宣传车P方圆1000 m以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路MN上沿MN方向行驶时：
（1）村庄能否听到宣传？请说明理由．
（2）如果能听到，已知宣传车的速度是200 m/min，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【经典例题七 勾股定理之是否受台风影响问题】
【例7】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（ ）
A．15秒B．13.5秒C．12.5秒D．10秒
【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4B．5C．6D．7
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
3．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ．
4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图所示，据气象预测，距沿海某城市A的正南方向千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为级，每远离台风中心千米，风力会减弱一级．该台风中心正以千米/时的速度沿北偏东方向往移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级就会受台风影响．

(1)该城市是否受到台风的影响？请说明理由．
(2)若受台风影响，台风影响该城市持续的时间有多长？
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？
5．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向的B处，以的速度向北偏西的方向移动，距台风中心范围内是受台风影响的区域．

(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并说明理由；
(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间约为几小时？
【经典例题八 勾股定理之最短路径问题】
【例8】（2023春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（ ）m．

A．8B．5C．20D．10
【变式训练】
1．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如图，长方体的长，宽，高，点M在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是（ ）

A．B．C．D．
2．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考期末）如图，圆柱形玻璃容器高13cm，底面周长为24cm．在容器外壁距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外壁距上底3cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 cm．

3．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，在中，斜边，，的垂直平分线分别交、于点E、点D，连接，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．

4．（2022秋·重庆南岸·八年级校联考期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（取3）

(1)当，时，哪种方式的爬行距离更近？
(2)当，时，哪种方式的爬行距离更近？
(3)当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？
5．（2022秋·广东佛山·八年级统考期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略．
问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？
(1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来；
(2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；
②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；
③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程．