苏科版2025年七升八数学暑假衔接讲义专题10勾股定理及其逆定理重难点题型专训(十大题型)(原卷版+解析)

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题型一 勾股数问题
题型二 以弦图为背景的计算题
题型三 勾股定理与网格问题
题型四 勾股定理的证明方法
题型五 用勾股定理构造图形解决问题
题型六 勾股定理中的折叠问题
题型七 用勾股定理解三角形
题型八 判断三边是否构成直角三角形
题型九 利用勾股定理的逆定理求解
题型十 勾股定理逆定理的拓展
注：本讲义含有实数的相关知识，可先了解平方根的相关概念再做本专题；
【知识梳理】
【经典例题一 勾股数问题】
【例1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
A．67B．34C．98D．73
【答案】C
【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值．
【详解】解：由题可得，，，，
，，，（且n为正整数）
当时，
解得：，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．
【变式训练】
1．（2023春·湖北随州·八年级统考期末）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其弦（结果用含的式子表示）是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得为偶数，设其股是a，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：∵m为正整数，
∴为偶数，设其股是a，则弦为，
根据勾股定理得，，
解得，
∴弦是，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为 ．

【答案】2024
【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有三角形的面积，总结出一般规律，即可进行解答．
【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，
根据勾股定理可得：，
∵,
∴第一代勾股树中所有正方形的面积为；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为；
第三代勾股树中所有正方形的面积为；
第n代勾股树中所有正方形的面积为；
∴第2023代勾股树中所有正方形的面积为2024．
故答案为：2024．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，根据勾股定理总结出变化的一般规律．
3．（2022秋·湖南衡阳·八年级统考期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 ．
【答案】 11，60，61 和
【分析】（1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
【详解】解：（1）∵，
∴下一组勾股数为：11、60、61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵，
，
∴，
又∵，且为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：和．
【点睛】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．
4．（2023春·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律；
(1)当时，求，的值
(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)10，24，26是勾股数，见解析
【分析】（1）先观察已有的勾股数，得到，再利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股数的定义进行判断即可．
【详解】（1）解：观察已有的勾股数可得，
∴，
把代入，
解得（负值已舍掉），
∴；
（2）10，24，26是勾股数．
∵．
又∵10，24，26都是正整数
根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数．
【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．
5．（2022春·八年级单元测试）阅读材料并解答问题：
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法：若为奇数，则，和是勾股数．
方法：若任取两个正整数和，则，，是勾股数．
(1)在以上两种方法中任选一种，证明以，，为边长的是直角三角形；
(2)请根据方法和方法按规律填写下列表格：
(3)某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为米，如果每个三角形最短边上都植棵树，且每个三角形的各边长之比为，那么这四个直角三角形的边长共需植树________棵．

【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)120
【分析】（1）先比较三边的大小，确定为斜边的是，再求；
（2）按规律，方法1该填7、9对应的值；方法2该填5、2；5、1对应的值；
（3）由各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，可得三角形最短边为5米，又有各边长之比为，可得其他两边分别为12、13米．则每个三角形的边长可植树棵，四个直角三角形的边长共需植树120棵．
【详解】（1）解：方法1、，，
所以，．
而
，
所以以、、为边的三角形是直角三角形．
同理可证方法2．
（2）方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41．
方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26．
（3）各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，
三角形最短边为5米，
又各边长之比为，
其他两边分别为12、13米．
每个三角形的边长可植树棵，
四个直角三角形的边长共需植树120棵．
【点睛】此题的关键是让学生熟悉勾股数的定义，掌握勾股定理是关键．
【经典例题二 以弦图为背景的计算题】
【例2】（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考期中）如图所示，是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中正确的有（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
【答案】B
【分析】利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理可判断①，利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④．
【详解】解：∵大正方形面积为，
∴大正方形边长为，
在直角三角形中，，
故说法①正确；
∵小正方形面积为，
∴小正方形边长为，
∴，故说法②正确；
∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，
∴，
∴，故说法③正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，故说法④错误；
∴说法正确的是①②③．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，正方形的面积，等积变换，完全平方公式的应用．解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长．
【变式训练】
1．（2023春·贵州黔东南·八年级校联考期末）如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么，，…，这些线段中长度为正整数有______条．

A．25B．5C．4D．6
【答案】B
【分析】先发现的规律，所以到的值分别为，，，，…，．
【详解】解：根据题意，找到的规律，
所以到的值分别为，，，，…，，
故正整数为=1， =2， =3， =4， =5．
故选B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，利用勾股定理求得直角三角形的边长、发现的规律是解本题的关键．
2．（2023春·福建厦门·八年级厦门大学附属科技中学校考期末）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，，斜边长为c．将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为48，，则该图形的面积 ．

【答案】96
【分析】设，则，根据勾股定理得，代入数值得，求出x即可解决问题．
【详解】解：由题意得，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
∴该图形的面积为，
故答案为：96．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用整体思想及方程思想是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了的一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则矩形的周长是 ．

【答案】12
【分析】设直角三角形的较长直角边长度为a，较短直角边长度为b，则中间的小正方形长度为，矩形图可知小正方形的边长为b，易得，根据矩形的面积与大正方形的面积相等列方程求得，即可求得周长．
【详解】解：如图，设直角三角形的较长直角边长度为a，较短直角边长度为b，则中间的小正方形长度为，

由图②可得，小正方形的边长为b，
∴，即，
∴围成的矩形长为：，
∴围成的矩形面积为：，
∵矩形的面积与大正方形的面积相等，
∴，
解得：（舍去负值），
矩形的周长为：，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了赵爽弦图，注意利用图形之间的关系进行求解．
4．（2023春·云南临沧·八年级统考期中）我们发现，用不同的方式表示同一个图形的面积可以解决线段长度之间的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请用等面积法来探究下列两个问题：

(1)如图1，在中，，是边上的高，，，求的长度；
(2)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理，如图2，“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a和，斜边长是3，小正方形的面积是1，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据等积法求出即可；
（2）由条件可得大正方形的面积为9，即，根据小正方形的面积为1，得出直角三角形的面积为，即可求出，根据求出结果即可．
【详解】（1）解：，，
在中，，
∵，
；
（2）解：由条件可得大正方形的面积为9，即，
小正方形的面积为1，
直角三角形的面积为，
∴，即
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，完全平方公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
5（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）问题情境：把四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形拼成如图的两个正方形和，设每个直角三角形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为S．
(1)尝试解决：请你写出、，S之间存在的关系；
(2)根据三角形和正方形的面积公式，试用含a，b，c的关系式表示、和S；
(3)合作探究：综合（1），（2）可得一个等式，对这个等式进行化简可以证明勾股定理，请你写出这个等式，并写出化简过程；
(4)若，，你能求出的值吗？试试看．
【答案】(1)
(2)，，
(3)，化简过程见解析
(4)的值为6
【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形面积的和，可得得S、、的关系；
（2）根据，，求解即可；
（3）根据（1）（2）得，化简即得答案；
（4）把，代入求解即可．
【详解】（1）∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形面积的和，
∴；
（2），，；
（3）由（1）（2）的关系式可得：
，
∴；
（4）把，代入得
，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，运用整体思想、方程思想是解题的关键．
【经典例题三 勾股定理与网格问题】
【例3】（2023春·八年级单元测试）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D 均落在格点上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据网格的性质，证明得到，结合证明即可．
【详解】．如图，根据网格的性质，
得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形的全等，等量代换，直角的意义，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长到点，使得，连接，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：延长到点，使得，连接，如下图：
由勾股定理得：，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解．
2．（2023春·江西新余·八年级统考期末）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格线交点，则的为 度．

【答案】
【分析】连接、，根据勾股定理可以得出是等腰直角三角形，利用平行线性质得到，从而可证，得到，利用求出结果即可．
【详解】解：如图，连接、，

由勾股定理得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线利用网格线的特征是解答本题的关键．
3．（2023春·天津·八年级校联考期中）如图，在的小正方形网格中，小正方形的边长均为，点A，，，，均在格点上，连接，．
（1）的大小为 （度）；
（2） （度）．
【答案】
【分析】（1）根据勾股定理可以得到、和的长，再根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，然后即可得到的度数；
（2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质，可以得到和的关系，从而可以得到的值．
【详解】解：（1）由图可得，
，，，
，，
是等腰直角三角形，，
故答案为：；
（2）由图可得，
，
，
，
，
，
由（1）知：是等腰直角三角形，，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2023春·江苏南京·八年级校考期末）如图，在正方形网格中，借助格点，只用无刻度的直尺作图.
(1)在图①中，的三个顶点都在格点上，作的角平分线；
(2)在图②中，点A、B、C、D在格点上，点E不在格点上，作的角平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由勾股定理可知是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可求解；
（2）连接，，易知是等腰直角三角形，则，在上取格点，连接，易知为的角平分线，取格点，连接，，与交于点，连接，易知是等腰直角三角形，则，，可知为的角平分线，由三角形的三条角平分线交于一点，可知为的角平分线，即可求解．
【详解】（1）解：由勾股定理可得：，，
∴是等腰三角形，
在上取格点，由勾股定理可得：，即点为中点，
∴为的角平分线，
如图所示，即为所求；
（2）连接，，由勾股定理可得，，
则，
∴是等腰直角三角形，则，
在上取格点，连接，则，即点为中点，
∴为的角平分线，
取格点，连接，，与交于点，连接，
由勾股定理可知，，，
则，
∴是等腰直角三角形，则，
∴，
∴为的角平分线，
∵三角形的三条角平分线交于一点，
∴为的角平分线，
如图所示，即为所求．
【点睛】本题考作图的应用和设计，勾股定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，掌握网格线的特征是解题的关键．
6．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）阅读理解：
在中，，，分别为5，10，13，求这个三角形的面积．
小明是这样解决问题的：先建立一个正方形网络（每个小正方形的边长为1），再在网络中画出格点三角形（即三个顶点都在小正方形顶点处），如图1所示，这样就可以不用求的高，借助网络就能计算出它的面积，我们称上述方法为网络构图法．
(1)图1中的面积为________．
(2)利用网络构图法在图2中画出格点三角形，使得，，．并求出的面积；
(3)在图1中分别以、为边向外作正方形、正方形，连接．试说明的面积与面积之间的关系．
【答案】(1)
(2)图形见解析，3
(3)相等
【分析】（1）用所在的正方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解；
（2）根据勾股定理分别画出，即可；
（3）求出的面积，即可求解．
【详解】（1）解：的面积；
故答案为：
（2）解：如图，即为所求；
理由：，
的面积；
（3）解：如图，
的面积，
∵面积为，
∴的面积与面积相等．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，关键是熟练掌握勾股定理，结合网格求得三角形的面积是解题的关键．
【经典例题四 勾股定理的证明方法】
【例4】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一、据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
【详解】A、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，故A选项能证明勾股定理；
B、梯形的面积为：；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
∴，
∴ ，故B选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，熟练掌握勾股定理的证明和完全平方公式的几何意义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江西赣州·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）

A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积可得出①②⑤正确．
【详解】解：，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，
．
，
，
故①②正确；
，，
四边形的面积是；
故③错误；
梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积，
，
，，
故④错误，故⑤正确
故①②⑤共3个正确，③④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
2．（2021春·湖南永州·八年级统考期中）我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边． 如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，当大正方形面积为9，小正方形面积为5，则直角三角形中股和勾的差值为 ．
【答案】1
【分析】设勾为x，股为y，根据面积求出xy＝2，根据勾股定理求出x2+y2＝5，根据完全平方公式求出y﹣x即可．
【详解】设勾为x，股为y（x＜y），
∵大正方形面积为9，小正方形面积为5，
∴4×xy+5＝9，
∴xy＝2，
∵x2+y2＝5，
∴y﹣x＝＝＝＝1，
∴y﹣x＝1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式xy＝2和x2+y2＝5是解此题的关键．
3．（2020春·广东揭阳·八年级统考期中）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．
【答案】76
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车的外围周长．
【详解】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则，
解得：，
“数学风车”的外围周长．
故答案为：76．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，并注意题中隐含的已知条件来解题．
4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：

(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它验证勾股定理；
(2)如图2，在中，是边上高，，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）先由勾股定理求出的长，再根据三角形的面积求的长即可．
【详解】（1）解：大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为：，

即．
（2）在中，
，
由勾股定理，得：
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，三角形和正方形面积公式，熟练掌握和运用勾股定理是解题的关键．
5．（2023春·广西南宁·八年级校联考期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．

(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ，结论③；
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式 ；结合结论②和结论③，可以得到一个等式 ；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作，且，求的值．
(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，，斜边，求图中阴影部分面积和．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
(4)
【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积；
（2）根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解；
（3）根据结论②求出，然后进行计算即可得解；
（4）根据结论③求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
【详解】（1）解：图2：；
图3：；
（2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式：；
结合结论②和结论③，可以得到一个等式：，
即，；
（3）解：，，，
，
，
，
，
解得；
（4）解：由“应用”的解答过程可知：
∴阴影部分面积和，
，，
阴影部分面积和．
【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式的几何背景，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．
【经典例题五 用勾股定理构造图形解决问题】
【例5】（2023·河北保定·统考模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（ ）

A．3B．5C．7D．8
【答案】D
【分析】连接，根据勾股定理可得的长，在分两种情况讨论即可；
【详解】连接，则．
如图1，当点在线段上时，；

如图2，当点在的延长线上时，，
∴的取值范围为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的三边关系，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求出．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）
A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米
【答案】B
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG=4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．
【详解】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，
∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠COG=∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG=AF=BD=4米，
设AO=x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，
解得x=8.5．
则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）．
故选：B．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
2．（2023春·广东深圳·七年级深圳市高级中学校考期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 寸．
【答案】101
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故答案为：101
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
3（2020春·湖北荆州·八年级校联考阶段练习）如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且．若与的距离为3，与的距离为5，则的面积为 ．
【答案】17
【分析】先过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，由于EF⊥l2，l1∥l2∥l3，易知EF⊥l1⊥l3，那么∠ABE＋∠EAB＝90°，∠AEB＝∠BFC＝90°，而∠ABC＝90°，可得∠ABE＋∠FBC＝90°，根据同角的余角相等可得∠EAB＝∠FBC，根据AAS可证△ABE≌△BCF，于是BE＝CF＝3，AE＝BF＝5，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AB2，进而可求△ABC的面积．
【详解】过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图，
∵EF⊥l2，l1∥l2∥l3，
∴EF⊥l1⊥l3，
∴∠ABE＋∠EAB＝90°，∠AEB＝∠BFC＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠FBC＝90°，
∴∠EAB＝∠FBC，
在△ABE和△BCF中，
∠AEB＝∠BFC，∠EAB＝∠FCB，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF＝3，AE＝BF＝5，
在Rt△ABE中，AB2＝BE2＋AE2，
∴AB2＝34，
∴S△ABC＝AB•BC＝AB2＝17．
故答案是17．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，并证明△ABE≌△BCF．
4．（2023春·山西晋中·八年级统考阶段练习）如图，某学校（A点）与公路（直线1）的距离为300米，与车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与学校A及车站D的距离相等．
(1)在图中作出点C；
(2)求商店C与车站D之间的距离．
【答案】(1)见解析
(2)商店C与车站D之间的距离为312.5米
【分析】（1）作的垂直平分线，故的垂直平分线与l的交点即为所求点C．
（2）作于点B，连接，根据勾股定理求得，设，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）
点C的位置如图所示
（2）
解：如图，过点A作于点B，则米，连接．
∵点C在线段的垂直平分线上，
∴．
在中，米，米，
∴米．
设米，则米，米．
在中，勾股定理，得，
解得，
∴商店C与车站D之间的距离为米．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键．
5．（2023春·广东广州·八年级校考期中）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________________，__________________；
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为____________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值（）．

【答案】（小试牛刀），；（知识运用）；（知识迁移）代数式的最小值为15．
【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可；
（知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小．
【详解】解：（小试牛刀）；
；
故答案为：，；
（知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：

由题意可得：，
，则的最小值，即为的最小值，
由三角形三边关系可得：，当三点共线时，
∴的最小值为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴米，
故答案为：；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，
设，则，
∴，

由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∴代数式的最小值为15．
【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
【经典例题六 勾股定理中的折叠问题】
【例6】（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上，则折痕的长是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】C
【分析】由勾股定理得，根据折叠的性质，得到，，，设，利用勾股定理列方程，解得，再利用勾股定理，即可求出折痕的长．
【详解】解：如图，将沿折叠，点恰好落在边上处，
，，，
，
由折叠的性质可知，，，，
，，
设，则，
在中， ，
，
解得：，即，
在中，，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解方程，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东韶关·八年级校考期中）如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．若，则的长为（ ）．

A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质和勾股定理定理即可解答．
【详解】解：∵将沿翻折，使点B落在点E处，
∴，
∵将沿翻折，点A恰好与点E重合，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，灵活利用相关性质定理是解答本题的关键．
2．（2023春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，，则的长为

【答案】
【分析】首先根据矩形的性质得出，，，然后根据平行线的性质及等量代换得出，则，然后根据折叠的性质得出，进而求出BC，然后利用勾股定理求出进而求出，从而答案可求．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，由折叠得，，
∴，
∴，
由折叠得，，，
∴，
在中，
，
在中，
，
答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，掌握折叠和矩形的性质及勾股定理是关键．
3．（2023秋·山西太原·八年级统考期末）已知，直角三角形纸片中，，，．点D是边上的一个动点，将该纸片沿所在直线折叠，点A的对应点为点E．请从下面A，B两题中任选一题作答．
A．如图1，若点E落在边上，线段的长为 ；
B．如图2，若点E落在边上，线段的长为 ．

【答案】 /
【分析】A、根据折叠的性质以及勾股定理可得，从而得出，根据等面积法求出的长，然后根据勾股定理的长，从而得出的长，根据即可得出答案；
B、过点作分别交、于点、，根据折叠的性质可得，根据求出的长，根据勾股定理可得答案．
【详解】解：A、根据折叠的性质可知，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
解得：，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
B、过点作分别交、于点、，

根据折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴平分，
设，
则，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识点，根据三角形的面积公式求解是解本题的关键．
4．（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）如图所示，在长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则求的长为多少？

【答案】
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质可以得到，，，然后根据题目中的数据，即可得到的长，最后根据勾股定理即可求得和的长．
【详解】解：四边形是长方形，，
，
是翻折而成，
，，
∴是直角三角形，
，
在中，
设，
在中，，即，解得
【点睛】本题考查的是翻折变换、勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
5．（2022秋·河北张家口·八年级统考期中）在中，，点分别在边上（不与端点重合）．将沿折叠，点A落在的位置．

(1)如图①，当与点重合且．
①直接写出的长；
②求的面积．
(2)当．
①与点在直线的异侧时．如图②，直接写出的大小；
②与点在直线的同侧时，且的一边与平行，直接写出的度数．
【答案】(1)①4；②
(2)①；②的度数分别为，
【分析】（1）①直接根据勾股定理即可求出的长；②设，则，根据勾股定理求出x的值，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）①根据三角形的外角定理可得，，即可求解；②根据题意进行分类讨论：当时，当时，即可进行解答．
【详解】（1）解：①在中，由勾股定理得，，
②设，则，
∵将沿折叠，点A落在的位置，
∴，
在中，由勾股定理得，，
解得：
∴．
（2）解：①∵将沿折叠，点A落在的位置，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

②当时，如图：
∵，，
∴，
∵由折叠所得，
∴；

当时，如图：
∵，，
∴，
∵由折叠所得，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．

综上：的度数分别为，．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形那个的内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握勾股定理内容，根据勾股定理建立方程求边的长度；掌握三角形是内角和为，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，平行线的性质．
【经典例题七 用勾股定理解三角形】
【例7】（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校联考期中）如图，是等边三角形，点D是的中点，延长到点E，使，则的长为（ ）

A．1.5B．2C．D．
【答案】C
【分析】由等边三角形的性质可得，，，则，由勾股定理得，由，可得，由，可得，根据求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，点D是的中点，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式训练】
1．（2022秋·安徽·九年级校联考阶段练习）如图为破裂的正方形玻璃，已知裂痕，，分别长，，，，则该正方形玻璃的边长为（ ）
A．5B．C．D．6
【答案】A
【分析】将平移到的延长线上，相应地平移到，从而将已知条件集中在中，可求得正方形的对角线的长，进而可求得正方形的边长．
【详解】解：过点D作线段延长线的垂线，垂足为H，连接．
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∴，
在中，，
设正方形玻璃的边长为x，则．
在中，，
即，
解得：．
即正方形玻璃的边长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用、矩形的性质，解题的关键是求得正方形对角线的长．
2．（2023春·云南德宏·九年级统考期中）如图，在中，，E是的中点，过E点作，交于点D，若，则 ．（结果保留根号）

【答案】/
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，得到答案．
【详解】解：连接，

∵E是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，边长为6的等边三角形中，D是上一点且，为的外角的角平分线，将沿翻折得到，交于点F，则的长为 ．

【答案】
【分析】连接，过点F作于H，由等边三角形性质与折叠性质得，从而得，得出，又由，，得出，设，则，，则，，然后在中，由勾股定理，得，求解得：，即可求解.
【详解】连接，过点F作于H，

∵边长为6的等边，
∴，，
∵，
∴，
∵为的外角的角平分线，
∴，
由翻折得：，，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，翻折的性质，等腰三角形的性质与判定以及勾股定理等，熟练掌握这些知识点是解题的关键.
4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交，于点，，边的垂直平分线交，于点，，的周长是12．
(1)求的长度；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)12
(2)6
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据题意得到，利用勾股定理列方程解答．
【详解】（1）是边的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
；
（2），
，
，，
，，
，
设，则，
，
，
，
，，，
的面积．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、.
(1)特例体验：如图1，若直线，请探究线段、和的数量关系并说明理由；

(2)初步推广：如图2，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；

(3)尝试应用：如图3，若直线从图①状态开始绕点旋转，与线段相交于点，延长线段交线段于点，若，，求．

【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据条件证出，即可求解；
（2）根据条件证出即可求解；
（3）证明，求出，，结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：结论：
∵在中，，
∴，
∵
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴；
（2）解：．理由如下：
在中，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
∵
∴；
（3）解：在中，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴．
【点睛】本题综合考查“一线三垂直”全等模型．注意全等模型的积累与应用．
【经典例题八 判断三边是否构成直角三角形】
【例8】（2023秋·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）在中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．D． ， ，
【答案】B
【分析】由勾股定理的逆定理及直角三角形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A.，，可判断△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
B. ，，不是直角三角形，故B符合题意；
C. ，解得，可判断△ABC是直角三角形，故C不符合题意；
D. ，可判断△ABC是直角三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、直角三角形的定等知识点，理解勾股定理逆定理的内容是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）已知在中，、、所对的边分别是a、b、c，则添加下列条件，不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：设，，，
则，即，
解得，
∴，，，
∴不是直角三角形，故A符合题意；
∵、、所对的边分别是a、b、c，且，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，
∴，
∴是直角三角形，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理（如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形）是解题的关键．
2．（2021春·广东江门·八年级校考开学考试）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为 .

【答案】36
【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：连接，

，，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积的面积的面积
，
故答案为：36
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1.
（1）三角形是否是直角三角形？ ．（填“是”或“否”）
（2）边上的高为 ．
【答案】 是 2
【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可解答；
（2）先根据勾股定理可得，设边上的高为h，然后利用等面积法列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵,
∴，
∴三角形是是直角三角形．
故答案为：是．
（2）∵，
∴，
设边上的高为h．
,即，解得，
∴边上的高为2．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等面积法等知识点，掌握勾股定理成为解答本题的关键
4．（重庆市荣昌区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）由，即可求解；
（2）可证是直角三角形，由，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
的长为；
（2）解：，，，
，
，
，
是直角三角形，
，


，
四边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键．
5．（2023春·湖北襄阳·八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题：
在学习勾股定理后，王老师布置了一道阅读思考题：
在中，，，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
数学兴趣小组的同学展开了探究，通过画图发现当三角形三边长为6，8，9时，测量可知这是一个锐角三角形；当三角形三边长为6，8，11时，测量可知这是一个钝角三角形；
【大胆猜测】（1）在中，三边长分别为a，b，c，设c为最长边，当时，是_____三角形；当时，是_____三角形（按角分类）．
【小试牛刀】（2）若三角形三边长为2，3，4，由上面的结论可知这是______三角形；若三角形三边长为5，8，8，由上面的结论可知这是______三角形．
【深入研究】（3）当，时，最长边c满足，判断的形状并写出对应的取值范围．
【答案】（1）锐角；钝角；（2）锐角；钝角；（3）当最长边时，是等腰三角形，且是锐角三角形；当最长边时，是锐角三角形；当最长边时，是钝角三角形．
【分析】（1）根据材料中的计算作出判断即可；
（2）利用勾股定理列式求出斜边的值，然后作出判断即可：
（3）同（2）利用勾股定理列式求出斜边的值，分情况讨论即可得解．
【详解】解：（1）在中，三边长分别为a，b，c，设c为最长边，
当时，是直角三角形；
当时，是锐角三角形；
当时，是钝角三角形．
故答案为：锐角；钝角；
（2）三边长分别为2，3，4，
当时，是直角三角形，斜边为，而，
∴若三角形三边长为2，3，4，由上面的结论可知这是锐角三角形；
三角形三边长为5，8，8，
当时，是直角三角形，斜边为，而，
∴若三角形三边长为5，8，8，由上面的结论可知这是钝角三角形；
故答案为：锐角；钝角；
（3）当，时，最长边时，是直角三角形，
当最长边时，是等腰三角形，且是锐角三角形；
当最长边时，是锐角三角形；
当最长边时，是钝角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．
【经典例题九 利用勾股定理的逆定理求解】
【例9】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点P为直线上一点，连接，则线段的最小值是（ ）

A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，过作于，由题意知，最小，根据，可得是直角三角形，，根据，即，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作于，

由题意知，最小，
∵，，，
∴，即，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短．解题的关键在于确定最小的线段．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形中，已知，，且，，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】连接，取的中点，连接，勾股定理求得，进而证明是等边三角形，结合题意，根据角平分线的性质得出即可．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴是的角平分线，
又∵，
∴
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．
2．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在四边形中，于点E，且点E为的中点．若，，，，则四边形的面积为 ．

【答案】
【分析】连接，先求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：连接，

为的中点，，
∴是的垂直平分线，，
∵，
，
∵，
，
∵，，
，
∴是直角三角形，，
四边形的面积
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形．
3．（2023春·四川广安·八年级广安中学校考阶段练习）如图，，，，，，点是的中点，求的长为 ．
【答案】6.5
【分析】先由勾股定理求得的长度，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：在中，，
，，
，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，
点是的中点，
．
【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，能根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形是解答此题的关键．
4．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图所示的一块地，已知，求这块地的面积．
【答案】．
【分析】连接，根据勾股定理先求，再用勾股定理逆定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，正确作出辅助线是关键．
5．（2021春·广东阳江·八年级校联考期中）如图，，，．

(1)求证：．
(2)若，，，求的度数，
(3)在（2）的条件下，直接写出的长为_______．（只填结果，不用写计算过程）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由可以证明，得到；
（2）由勾股定理的逆定理可以证明是直角三角形，得到，由是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数；
（3）由勾股定理求出的长，由是等腰直角三角形，即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）由（2）可知，，，即，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形，综合应用以上知识点是解题的关键．
【经典例题十 勾股定理逆定理的拓展】
【例10】（2023春·八年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2
C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形
D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形
【答案】D
【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，故不符合题意；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确．
【变式训练】
1．（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在中，，，，，
在中，，，
∴
∴是直角三角形，且．
∴
∴这块菜地的面积是
故选：B

【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形．
【答案】3或2或．
【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，


当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，

由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或．
故答案为：3或2或．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
3．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形．
【答案】 锐角三角形 或 钝角
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x=13，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x=，
综上所述：x=13或．
故答案为：13或；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键．
4．（2023春·河南开封·八年级开封市第三十三中学校考期中）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x2的值；
（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴，
∴，
若△ABC是锐角三角形，
则或，
则或，
∴或；
若△ABC是直角三角形，
则或，
则或；
若△ABC是钝角三角形，
则或，
则或，
∴．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．
5（2023春·福建南平·八年级统考阶段练习）先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：，，； 第二组：，，；
第三组：，，； 第四组：，，；

（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．
【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3）
【分析】（1）根据已知数据即可得到结果；
（2）根据勾股定理判断即可；
（3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可；
【详解】（1）∵第一组：，，；
第二组：，，；
第三组：，，；
第四组：，，；
，
∴第组：，，．
（2）直角三角形；
证明：为正整数，
．
以，，为三边的三角形是直角三角形．
（3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
这组数为第九列：，，，
即，，．
，
．
，，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键．
a
b
c
3
4
5
8
6
10
15
8
17
24
10
26
…
…
…
x
14
y
3，4，5；
9，40，41；
5，12，13；
……；
7，24，25；
，，．
勾m
3
5
11
…
股
4
12
60
…
弦
5
13
61
…
m
2
3
3
4
4
4
5
5
6
…
n
1
2
1
3
2
1
4
3
5
…
3
5
8
7
12
15
9
16
11
…
4
12
6
24
16
8
40
30
60
…
5
13
10
25
20
17
41
34
61
勾m
3
5
7
9
11
…
股
4
12
24
40
60
…
弦
5
13
25
41
61
…
m
2
3
3
4
4
4
5
5
5
5
6
…
n
1
2
1
3
2
1
4
3
2
1
5
…
3
5
8
7
12
15
9
16
21
24
11
…
4
12
6
24
16
8
40
30
20
10
60
…
5
13
10
25
20
17
41
34
29
26
61