高中数学苏教版 (2019)必修 第二册复数的运算第2课时一课一练

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册复数的运算第2课时一课一练，共6页。
1．已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i) B．i(1－i)2
C．i2(1＋i)2D．i＋i2＋i3＋i4
2．若复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则( )
A．2z2－2z－1＝0B．2z2－2z＋1＝0
C．z2－2z－2＝0D．z2－2z＋2＝0
3．设i是虚数单位，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－i,1＋i)))2 020＝( )
A．iB．－i
C．1D．－1
4．已知复数z＝ eq \f(－1－2i,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋i))2)，则复数z的共轭复数 eq \(z,\s\up6(－))＝( )
A．－ eq \f(3,4)＋ eq \f(1,4)iB．－ eq \f(1,4)＋ eq \f(3,4)i
C．－1－ eq \f(1,2)iD．－1＋ eq \f(1,2)i
5．已知1＋i是关于x的方程 ax2＋bx＋2＝0(a，b∈R)的一个根，则a＋b＝( )
A．－1B．1
C．－3D．3
6．已知i为虚数单位，若复数z＝ eq \f(1＋2i,2－i)，z的共轭复数为 eq \(z,\s\up6(－))，则z eq \(z,\s\up6(－))＝________．
7．计算： eq \f(（－1＋\r(3)i）3,（1＋i）6)＋ eq \f(－2＋i,1＋2i)＝________．
8．已知 eq \f(3＋i,2＋i)＝(x＋yi)i(其中i是虚数单位，x，y∈R)，则x＋y＝________．
9．计算：(1)i2 021＋( eq \r(2)＋ eq \r(2)i)8－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1＋i)))50＋ eq \f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)；
(2) eq \f(5i,－1＋2i)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋i)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－i)).
10．已知复数z＝1＋mi(m∈R)， eq \f(z－3,1＋2i)是实数．
(1)求复数z；
(2)若复数z0＝ eq \f(1,2)m＋z－1是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的根，求实数b和c的值．
[B 能力提升]
11．下面是关于复数z＝ eq \f(5i,－2＋i)的四个结论，其中正确的是( )
A．z＝1＋2iB．z2＝3－4i
C．z－1为纯虚数D．z的共轭复数为1－2i
12．计算( eq \f(1＋i,1－i))2 021＋( eq \f(1－i,1＋i))2 021＝( )
A．－2iB．0
C．2iD．2
13．设z＝ eq \f(3－4i,4＋3i)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2－x＋1，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(z))＝( )
A．iB．－i
C．－1＋iD．1＋i
[C 拓展探究]
14．(多选)已知集合M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(m))m＝in，n∈N*))，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－i)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋i))B． eq \f(1－i,1＋i)
C． eq \f(1＋i,1－i)D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－i)) eq \s\up12(2)
15．已知ω＝－ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i(i为虚数单位)，求：
(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＋2ω2))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ω＋ω2))2；
(2)ω2＋ eq \f(1,ω2)；
(3)类比i eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(i2＝－1))，探讨ω(ω3＝1，ω为虚数)的性质，求ωn eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈R))的值．
参考答案
[A 基础达标]
1．解析：选C．对于A，i(1＋i)＝i－1不是纯虚数；对于B，i(1－i)2＝－2i2＝2是实数；
对于C，i2(1＋i)2＝－2i为纯虚数；对于D，i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0不是纯虚数．
故选C．
2．解析：选D．因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝2i，2z＝2(1＋i)＝2＋2i，
所以z2－2z＋2＝0.故选D．
3．解析：选C．由于 eq \f(1－i,1＋i)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－i))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－i)))＝ eq \f(－2i,2)＝－i，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－i,1＋i)))2 020＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－i))2 020＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－i))4×505＝1.
故选C．
4．解析：选C．因为z＝ eq \f(－1－2i,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋i))2)＝ eq \f(－1－2i,2i)＝ eq \f(－1,2i)－1＝ eq \f(－i,2i2)－1＝－1＋ eq \f(1,2)i，所以 eq \(z,\s\up6(－))＝－1－ eq \f(1,2)i.
故选C．
5．解析：选A．实系数的一元二次方程的虚根成对(互为共轭复数)出现，所以1±i为方程两根，1＋i＋1－i＝－ eq \f(b,a)，(1＋i)(1－i)＝ eq \f(2,a)，所以a＝1，b＝－2，a＋b＝－1，故选A．
6．解析：依题意，得z＝ eq \f(（1＋2i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝i，所以 eq \(z,\s\up6(－))＝－i，所以
z eq \(z,\s\up6(－))＝i·(－i)＝1.
答案：1
7．解析：因为i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
所以 eq \f(（－1＋\r(3)i）3,（1＋i）6)＋ eq \f(－2＋i,1＋2i)
＝ eq \f(（－1＋\r(3)i）2（－1＋\r(3)i）,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（1＋i）2))3)＋ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2＋i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2i)))
＝ eq \f(（－2－2\r(3)i）（－1＋\r(3)i）,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2i))3)＋ eq \f(－2＋4i＋i－2i2,5)＝ eq \f(8,－8i)＋i＝2i.
故答案为2i.
答案：2i
8．解析：因为 eq \f(3＋i,2＋i)＝(x＋yi)i，所以 eq \f(3＋i,2＋i)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－i)))＝ eq \f(7,5)－ eq \f(1,5)i＝(x＋yi)i＝－y＋xi，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,5)，,－y＝\f(7,5)，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,5)，,y＝－\f(7,5)，))
所以x＋y＝－ eq \f(8,5).故答案为－ eq \f(8,5).
答案：－ eq \f(8,5)
9．解：(1)i2 021＋( eq \r(2)＋ eq \r(2)i)8－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1＋i)))50＋ eq \f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)
＝i4×505＋1＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋\r(2)i))2))4－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1＋i)))2))25＋ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2\r(3)＋i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2\r(3)i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2\r(3)i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2\r(3)i)))
＝i＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4i))4－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,i)))25＋ eq \f(13i,13)＝i＋256－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－i))＋i＝256＋3i.
(2) eq \f(5i,－1＋2i)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋i)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－i))＝ eq \f(5i\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－2i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋2i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－2i)))＋3－i＝2－i＋3－i＝5－2i.
10．解：(1)因为z＝1＋mi(m∈R)，
可得 eq \f(z－3,1＋2i)＝ eq \f(mi－2,1＋2i)＝ eq \f(（mi－2）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝ eq \f(2m－2,5)＋ eq \f(m＋4,5)i，
由 eq \f(z－3,1＋2i)是实数，可得 eq \f(m＋4,5)＝0，解得m＝－4，所以z＝1－4i.
(2)因为z0＝ eq \f(1,2)m＋z－1＝－2－4i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)的根，
所以(－4i－2)2＋b(－4i－2)＋c＝0，即(16－4b)i－2b＋c－12＝0，
可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16－4b＝0，,－2b＋c－12＝0，))解得b＝4，c＝20.
[B 能力提升]
11．解析：选C．因为z＝ eq \f(5i,－2＋i)＝ eq \f(5i（－2－i）,（－2＋i）（－2－i）)＝ eq \f(5i（－2－i）,5)＝1－2i，
所以其共轭复数为 eq \(z,\s\up6(－))＝1＋2i，z2＝1＋4i2－4i＝－3－4i，z－1＝－2i.故选C．
12．解析：选B．因为 eq \f(1＋i,1－i)＝ eq \f(（1＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝ eq \f(2i,2)＝i， eq \f(1－i,1＋i)＝－i，
所以( eq \f(1＋i,1－i))2 021＋( eq \f(1－i,1＋i))2 021＝(i4)505·i＋[(－i)4]505·(－i)＝i－i＝0.故选B．
13．解析：选A．因为z＝ eq \f(3－4i,4＋3i)，所以z＝ eq \f(3－4i,4＋3i)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－4i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－3i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋3i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－3i)))＝－i.
因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2－x＋1，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(z))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－i))2－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－i))＋1＝i，故选A．
[C 拓展探究]
14．解析：选BC．根据题意，在M＝{m|m＝in，n∈N*}中，当n＝4k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈N*))时，in＝1；
当n＝4k＋1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈N*))时，in＝i；当n＝4k＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈N*))时，in＝－1；
当n＝4k＋3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈N*))时，in＝－i，所以M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，i，－i)).
选项A中， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－i)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋i))＝2∉M；选项B中， eq \f(1－i,1＋i)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－i))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－i)))＝－i∈M；
选项C中， eq \f(1＋i,1－i)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋i))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋i)))＝i∈M；选项D中， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－i))2＝－2i∉M.故选BC．
15．解：(1)因为ω＝－ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i，
所以ω2＝－ eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i＝ eq \(ω,\s\up6(－))，ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω· eq \(ω,\s\up6(－))＝1，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＋2ω2)) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ω＋ω2))2＝ω2＋4ω3＋4ω4＋4ω2＋4ω3＋ω4
＝5ω2＋5ω＋8＝3.
(2)ω2＋ eq \f(1,ω2)＝ eq \f(ω4＋1,ω2)＝ eq \f(ω＋1,ω2)＝ eq \f(－ω2,ω2)＝－1.
(3)由(1)可知ω2＝－ eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i＝ eq \(ω,\s\up6(－))，ω3＝1，
所以ωn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n＝3k，,ω，n＝3k－2，k∈Z.,\(ω,\s\up6(－))，n＝3k－1，))