8.2 多边形的内角和与外角和 华师大版数学七年级下册教案

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8.2 多边形的内角和与外角和 教学目标 1.理解多边形的概念和正多边形的概念. 2.了解多边形的内角、外角、对角线等概念.3.在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理. 3.经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会和别人交流自己的思想和方法. 4.让学生体验猜想得到证实的喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学中充满着探索和创造. 【教学重点】 多边形内角和定理的探索和应用. 【教学难点】 多边形的内角和，外角和定理的推导. 教学过程 一、 情境导入，初步认识 什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？ 二、思考探究，获取新知 探究1 多边形的概念 三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：△ABC. 四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：四边形ABCD. 五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：五边形ABCDE. 一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形. 注意：①我们现在只研究多边形，如图(2)，(3)； ②图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围. ③与三角形类似，如图(5)所示，∠A，∠D，∠C，∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角. 探究2 正多边形 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形. 如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等. 连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 探究3 多边形的内角和 我们知道三角形的三个内角和是180度，那么四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？ 由下图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180度，这样我们就可以求出多边形的内角和. 根据我们的分析，完成下表： 由此，我们可以得出： 【归纳结论】n边形的内角和为(n-2)·180°. 探究4 多边形对角线的条数 你能根据上面的分析，总结出多边形对角线的条数吗？ 分析：n边形从一个顶点可以画出（n-3） 条对角线，n边形共有n个顶点，这样n边形一共可以画n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两遍，所以n边形一共有n(条对角线. 探究5 多边形的外角和 与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和. 如图(1)四边形ABCD，∠1.∠2.∠3.∠4分别是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数. 因为∠1+∠DAB=∠2+∠CBA=∠3+∠DCB=∠4+∠ADC=180° 又因为∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360°（四边形内角和等于360°）所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°. 所以四边形的外角和等于360°. 根据n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得n边形的外角和，填表： 【归纳结论】任意多边形的外角和都为360°. 我们是把多边形的问题转化成三角形，再由三角形内角和为180°，求出多边形内角和与外角和，从而使问题得到解决！ 三、运用新知，深化理解 1.如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形是（ ） A.九边形 B.八边形 C.七边形 D.六边形 2.若n边形的内角和与外角和的比为7∶2，则n为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 3.如果一个正多边形的一个内角和它相邻外角的比是2∶1，那么这个多边形是（ ） A.正六边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十二边形 4.四边形的内角和为 度，四个内角中最多可有 个锐角. 5.若四边形的四个内角之比为1∶3∶5∶6，则这个四边形各内角顺次 是 度. 6.多边形的每一个内角都相等，它的一个外角等于正十边形的一个内角的 .求这个多边形的边数. 7.(1)一个多边形的内角和等于2340°，求它的边数； (2)一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形吗？ 8.一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数. 9.(1)四边形有几条对角线？ (2)五边形有几条对角线？六边形呢？n边形呢？ 10.已知多边形的内角和等于1440°，求(1)这个多边形的边数，(2)过一个顶点有几条对角线，(3)总对角线条数. 【答案】 1.B 2.D 3.A 4.360， 3 5.24，72，120，144 6. 6 7.解：(1)设边数为n，则有 (n-2)·180°=2340° n-2=13， n=15； (2)设这个多边形为n边形，则有(n-2)·180°=150°n n=12 这个多边形是十二边形. 8.分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360°. 解：设一个外角为x°，则内角为(x+36)° 因为多边形的内角与相邻的外角互补； 所以 x°+x°+36°=180° 解得 x°=72° 360°÷72°=5 答：这个多边形是五边形. 9.解：(1)四边形有两条对角线. (2)如图2，以A为顶点的对角线有两条AC.AD同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA.DB与AD.BD分别表示同一条线段，所以只有5条，以此类推六边形有9条对角线，从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，那么n个顶点就有n(n-3)条，但其中每一条都重复计算一次，所以n边形一共有条对角线. 10.解：(1)(n-2)·180°=1440° n=10 (2)n-3=10-3=7 答：这个多边形是十边形，过一个顶点的对角线有7条，共有35条对角线. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业 1.布置作业:教材第99页“习题8.2”中第1，2，3题. 2.完成练习册中本课时练习.