第06讲 “SAS”与“ASA”判定三角形全等【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版）

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知识点1.三角形全等的基本事实：边角边（重点）
1. 全等三角形判定——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点归纳：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.
【变式1-1】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF．
求证：△ABC≌△DEF．
【变式1-2】如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．
求证：△ABC≌△DEC．
【变式1-3】如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【例2】下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
【变式2-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）使的条件是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
知识点2.三角形全等的基本事实：角边角（重点）
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

【例3】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.
【变式3-1】如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交于点O．
求证：△AEC≌△BED；
【变式3-2】如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE．
【变式3-3】已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
考点1：利用三角形全等证明线段相等
1.如图，在△ABC中，∠B=∠C，在边BC上顺次取点D，E，使BD=CE．作FD⊥BC，GE⊥BC，分别与CA，BA的延长线交于点F，G．求证：GB=FC．

2.如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1=∠2，∠E=∠C，AE=AC，求证：AB=AD．
3.已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．
4.已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.
考点2：三角形全等的判定与性质的综合应用
5.已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数．
6.如图，已知点B,E,C,F在一条直线上，AC=DE，AC∥DE，∠A=∠D．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)若BF=20，EC=8，求BE的长．
7.如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°至△ADE．连接BD,CE．

(1)若∠ABC=40°，∠DAC=50°，求∠AED的度数．
(2)若AB=AC，求证△ABD≌△ACE．
8.如图，在△ABD中，∠D=90°，延长AB至点C，使BC=AD，过点B作BE⊥BD，使BE=AB，连接EC．
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)若AD=6，AC=16，求BE的长．
9.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且AB>AD，∠BAC=∠DAE，BD的延长线交CE于点F．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)写出∠BFC与∠BAC的数量关系，并证明你的结论．
考点3：全等三角形与其他图形的综合
10.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.
11.如图，已知正方形ABCD，点E是AB上的一点，连接CE，以CE为一边，在CE的上方作正方形CEFG，连接DG．
求证：
(1)△CBE≌△CDG；
(2)AB=AE+DG．
12.如图，某村庄有一块五边形的田地，AB=AE=CD=60m，∠ABC=∠AED=90°，连接对角线AC，AD，∠BAE=2∠CAD．
(1)∠BAC，∠DAE与∠CAD之间的数量关系是____________．
(2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长CB至点G，使BG=DE）
(3)在△ADE和△ABC区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为11.25克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种．
考点4：添加辅助线证明与计算
13.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥CD，△ABD的面积为9，△BCD的面积为4，则△ACD的面积等于 ．
14.在△ABC中，AC=4，中线AD=5，则边AB的取值范围是 ．
15.如图，△ABC中，∠BAC=2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC=7.6，AB=4.4，则AD= .
16.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC>AD，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
17.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=12BD
一、单选题
1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（ ）
A． B．C． D．
2．（2023八年级·湖南岳阳·开学考试）如图，AD和BC相交于O点，若OA=OC，用ASA证明△AOB≌△COD还需增加条件（ ）

A．AB=CD B．∠A=∠C C．OB=OD D．∠AOB=∠COD
3．（2023八年级·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
4．（2023八年级·安徽合肥·期末）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE，连接BE、CD，则BE与CD之间的大小关系是（ ）
A．BE=CD B．BE>CDC．BE