第05讲 全等三角形与“SSS”判定三角形全等【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版）

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知识点1.全等形的概念（重点）
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
要点归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
【例1】下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
B.两个图形不能完全重合，不是全等图形，符合题意，
C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
D.两个图形能完全重合，是全等图形，不符合题意，
【变式1-1】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等图形的识别，能够完全重合的平面图形，即形状、大小相同的图形是全等图形，据此即可求解．
【详解】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形，
故选：B ．
【变式1-2】下列说法中，正确的是（ ）
A．面积相等的两个图形是全等图形
B．形状相等的两个图形是全等图形
C．周长相等的两个图形是全等图形
D．能够完全重合的两个图形是全等图形
【答案】D
【分析】本题考查了全等形的概念，做题时一定要严格紧扣概念对选项逐个验证，这是一种很重要的方法，注意应用．
根据全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等求解即可．
【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误；
B、形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误；
C、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误；
D、符合全等形的概念，正确．
故选：D．
【变式1-3】找出下列各组图中的全等图形（ ）
A．②和⑥B．②和⑦C．③和④D．⑥和⑦
【答案】C
【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合，
故A选项不符合题意；
∵图形②和图形⑦不能够完全重合，
故B选项不符合题意；
∵图形③和图形④能够完全重合，
故C选项符合题意；
∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合，
故D选项不符合题意；
知识点2.全等三角形的概念和表示方法（重点）
1.全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点归纳：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
3. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【例2-1】（2022秋·江苏徐州阶段练习）下图中全等的三角形是（ ）
A．①和②B．②和④C．②和③D．①和③
【答案】D
【详解】A、①和②，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
B、②和④，5cm分别是图②和图④的邻边和对边，两个三角形不全等，不符合题意；
C、②和③，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
D、①和③，SAS，两个三角形全等，符合题意；
【例2-2】（2022秋·江苏·专题练习）如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角．
【答案】其他对应边：和．对应角：和，和，和．
【详解】解：∵△ABC≌△CDA，
∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．
【变式2-1】下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等B．周长相等的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等D．形状、大小相同的两个三角形全等
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键．
【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
【变式2-2】如图，已知△ABD≌△ACE，且∠BAD和∠CAE、∠ABD和∠ACE是对应角，则另一对对应角是 ，对应边是 ， ， .
【答案】 ∠ADB和∠AEC AB和AC AD和AE BD和CE
【分析】根据全等三角形的概念，对应角，对应边，直接求解即可．
【详解】解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB和∠AEC是对应角；AB和AC 是对应边；AD和AE是对应边；BD和CE是对应边.
故答案为：∠ADB和∠AEC，AB和AC，AD和AE，BD和CE．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是利用全等三角形的性质写出对应边和对应角，特别注意要应用好“对应关系”.
知识点3全等三角形的性质（重点）
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等.
要点归纳：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【例3】如图，，若，则的长度为（ ）

A．2B．5C．10D．15
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得到即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键．
【变式3-1】如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°．
【答案】85
【详解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°，
∴∠BAC＝25°，
∵∠CAD＝10°，∠B＝50°，
∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°，
故答案为：85．
【变式3-2】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．

(1)当DE=9，BC=5时，线段AE的长为________；
(2)已知∠D=35°，∠C=60°，求∠DBC的度数．
【答案】(1)4
(2)∠DBC=25°
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角的性质；
（1）根据全等三角形的对应边相等，即可求解；
（2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和为180°，即可求解．
【详解】（1）解：∵△ABC≌△DEB，≌
∴AB=DE=9，BE=BC=5，
∴AE=AB−BE=9−5=4，
故答案为：4；
（2）解：∵△ABC≌△DEB，
∴∠A=∠D=35°， ∠DBE=∠C=60°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=180°−35°−60°=85°，
∴∠DBC=∠ABC−∠DBE=∠ABC−∠C=85°−60°=25°．
【变式3-3】如图所示，已知在四边形ABCD中， AD∥BC，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，∠BAE=46∘，且△ABE≌△EDA．
(1)求∠ADE的度数；
(2)若△EDA≌△DEC，试判断AE与CD之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)∠ADE=44°
(2)AE=CD，AE∥CD，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和等于180°，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）由平行线的性质得到∠BEA=∠DAE=90°，再根据三角形内角和等于180°，求得∠B=44°，最后根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案；
（2）由△EDA≌△DEC可得AE=CD，∠AED=∠CDE，再根据平行线的判定，即可得到答案．
【详解】（1）∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠BEA=∠DAE=90°，
∵∠BAE=46°，
∴∠B=180∘−∠BEA−∠BAE=44°，
∵△ABE≌△EDA，
∴∠ADE=∠B=44°；
（2）AE=CD，且AE∥CD．
理由：∵△EDA≌△DEC，
∴AE=CD，∠AED=∠CDE，
∴AE∥CD．
知识点4.三角形全等的基本事实：边边边（重点）
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点归纳：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
【例4】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点在一条直线上，，求证：．

【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中
∴．
【变式4-1】如图，△ABC中，AB=AC，BE=EC，直接使用“SSS”可判定（ ）
A．△ABD≌△ACDB．△ABE≌△EDC
C．△ABE≌△ACED．△BED≌△CED
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵AB=AC，BE=EC，AE=AE，
∴△ABE≌△ACESSS，
根据现有条件无法直接利用SSS判定△ABD≌△ACD，△ABE≌△EDC，△BED≌△CED，
故选：C．
【变式4-2】如图，E、B、F、C四点在同一直线上，DE=AC，BE=FC，AB=DF．求证：△DFE≌△ABC
【答案】见解析
【分析】先证明EF=BC，进而根据SSS证明△DFE≌△ABC，即可．
【详解】证明：∵BE=FC
∴BE+BF=BF+FC
∴EF=BC
在△DEF,△ACB中
DE=ACEF=BCDF=AB
∴△DFE≌△ABC
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式4-3】莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，该剧中“油纸伞”是最重要的道具．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD=CD，AB=AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，为什么？
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，利用SSS证明△ABD≌△ACD即可求解．
【详解】解：AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
理由：在△ABD和△ACD中，
AB=ACAD=ADBD=CD，
∴△ABD≌△ACDSSS，
∴∠BAD=∠CAD，
即AP平分∠BAC．
考点1：根据全等图形的定义作图
1．在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：

【分析】根据全等图形的定义和方格的特点解答即可．
【详解】解：如图：

【点睛】本题考查了图形的分割和全等图形的定义，熟练掌握方格纸的特点是解答本题的关键．
2.如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了画全等图形，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义．
【详解】解：如图所示：
3.沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：

【答案】见解析
【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可．
【详解】解：如图所示：

4.沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．

【答案】见解析
【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一）
【详解】
【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
考点2:全等三角形性质的应用
5．如图，已知△ABF≌△CDE．
（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．
【解答】解：（1）∵△ABF≌△CDE，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；
（2）∵△ABF≌△CDE，
∴BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，
∵BD＝10，EF＝2，
∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，
∴BF＝BE+EF＝6．
6.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，
∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，
∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝3；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°，
∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°，
∵∠ABC＝85°，
∴∠DEB＝85°，
∴∠AED＝95°，
∴∠AFD＝∠A+∠AED＝35°+95°＝130°．
7.如图，△ABC≌△DEF，且点A，D，C，F在同一直线上，点B，C，E在同一直线上．

(1)若CD=CF，求证：AD=CD．
(2)若∠A=30°，∠B=80°，求∠CEF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40度
【分析】（1）先证明AC=DF，可得AD=CF，结合CD=CF，可得AD=CD；
（2）先求解∠ACB=180°−∠A−∠B=70°，可得∠ECF=∠ACB=70°，再证明∠F=∠ACB=70°，结合三角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，
∴AC−CD=DF−CD，即AD=CF．
∵CD=CF，
∴AD=CD．
（2）∵∠A=30°，∠B=80°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=70°，
∴∠ECF=∠ACB=70°．
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠ACB=70°，
∴∠CEF=180°−∠ECF−∠F=40°．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记全等三角形的对应角相等与三角形的内角和是解本题的关键．
8.已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，2m−2,n+1．
(1)求m，n的值；
(2)若分别以3，m，n为边长的三角形存在，试确定m，n的值，并说明理由．
【答案】(1)m=5，n=9或m=6，n=7；
(2)m=6，n=7，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系，
（1）有两种情况：2m−2与8、n+1与10分别是对应边；2m−2与10、n+1与8分别是对应边；分别求出m与n即可；
（2）根据（1）中结果，分两种情况理由三角形三边关系分析即可．
熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键．
【详解】（1）解：当2m−2与8、n+1与10分别是对应边时，则2m−2=8，n+1=10，
∴m=5，n=9；
当2m−2与10、n+1与8分别是对应边时，则2m−2=10，n+1=8，
∴m=6，n=7；
综上，m=5，n=9或m=6，n=7；
（2）由（1）得m=5，n=9或m=6，n=7；
当m=5，n=9时，3+5