第04讲 三角形中的五种常见模型解题技巧【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版）

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题型一、“8”字模型 题型二、飞镖模型
题型三、“A”字模型 题型四、“老鹰捉小鸡”模型
题型五、（双）角平分线模型
一、“8”字模型
三角形三个内角的和等于180°
对顶角相等
二、飞镖模型
三角形三个内角的和等于180°
三角形的外角等子与它不相邻的两个内角的和.
三、“A”字模型
三角形三个内角的和等于180°
三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.
四、“老鹰捉小鸡”模型
三角形三个内角的和等于180°
三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.
五、（双）角平分线模型
1.双内角平分线
2.双外角平分线
3.内角平分线+外角平分线
三角形三个内角的和等于180°
三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.
题型归纳
题型一、“8”字模型
一．填空题（共5小题）
1．（2023秋•宝山区校级月考）如图，则的度数是 ．
2．（2023春•武冈市期末）如图，的度数为
3．（2023秋•新抚区期中）如图，则 ．
4．（2023秋•丰台区校级月考）如图，是由线段，，，，组成的平面图形，，则的度数为 ．
5．（2023春•蓬莱区期中）如图，的度数是 ．
二．解答题（共4小题）
6．（2023秋•惠州校级月考）如图，求的度数．
7．（2023秋•垫江县校级月考）如图所示，求的度数．
8．（2023春•营山县校级期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若，点在、外部，则有，又因是的外角，故．得．将点移到、内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在如图2中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图3，则、、、之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求如图4中的度数．
9．（2023秋•同心县校级月考）已知：如图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）在图2中，若，，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．利用（1）的结论，试求的度数；
（4）如果图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）
题型二、飞镖模型
一．选择题（共2小题）
1．（2023秋•双峰县月考）如图，，，，的度数是
A．B．C．D．
2．（2023秋•天长市期中）如图，中，，为延长线上的一点，于点，，则为
A．B．C．D．
二．填空题（共1小题）
3．（2022秋•富阳区期中）如图，作于点，与相交于点，若，，则 ， ．
三．解答题（共2小题）
4．（2023秋•新建区期中）一个零件的形状如图，按规定应等于，、应分别是和，现测量得，你认为这个零件合格吗？为什么？
5．（2022秋•盐湖区校级期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，，则 ；
②如图3，平分，平分，若，，求的度数；
③如图4，，的10等分线相交于点、、，若，，求的度数．
题型三、“A”字模型
一．选择题（共1小题）
1．（2023秋•德宏州期末）如图，将一个三角形剪去一个角后，，则等于
A．B．C．D．
二．填空题（共1小题）
2．（2022秋•济宁期末）如图，中，，，将沿折叠，点落在形内的，则的度数为 ．
三．解答题（共3小题）
3．（2022秋•平桥区期末）探索归纳：
（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ．
（2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则 ．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是 ．
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由．
4．（2022秋•运城期末）一个三角形纸片沿折叠，使点落在点处．（点在的内部）
（1）如图1，若，则 ．
（2）利用图1，探索，与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中得出的结论求的度数．
5．（2023秋•章贡区校级月考）尝试探究
如图1，在一张三角形纸片上，剪去，得到四边形，与分别为的两个外角
（1）请你试着说明：
（2）如图2，如果沿着再剪一刀，与分别为的两个外角，那么和的数量关系为
（3）如图3，，分别平分外角、，求与的数量关系：
拓展提升
如图4，在四边形中，、分别平分外分、，请写出，、这三个角的数量关系，并说明理由．
题型四、“老鹰捉小鸡”模型
一．选择题（共1小题）
1．（2023秋•增城区期末）如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是
A．B．C．D．
二．填空题（共1小题）
2．（2023秋•玉林期末）纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内（如图），若，则的度数为 ．
三．解答题（共3小题）
3．（2023秋•庄浪县期中）问题1
如图①，一张三角形纸片，点、分别是边上两点．
研究（1）：如果沿直线折叠，使点落在上，则与的数量关系是
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想、和的数量关系是
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想、和的数量关系，并说明理由．
猜想： 理由
问题2
研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形纸片沿折叠，使点、落在四边形的内部时，与、之间的数量关系是 ．
4．（2023秋•嘉祥县期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图②，把纸片沿折叠，当点落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如图③，把四边形沿折叠，当点、分别落在四边形内部点、的位置时，你能求出、、与之间的数量关系吗？并说明理由．
5．（2023•鸠江区校级开学）（1）如图1，设，则 ；
（2）把三角形纸片顶角沿折叠，点落到点处，记为，为．
①如图2，，与的数量关系是 ；
②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由．
（3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中 ．
题型五、（双）角平分线模型
一．选择题（共2小题）
1．（2023秋•新市区校级期中）如图，的三边，，的长分别为15，20，25，点是三条角平分线的交点，则等于
A．B．C．D．
2．（2015•郑州一模）如图，中，，分别是，的平分线，，则等于
A．B．C．D．
二．填空题（共3小题）
3．（2023秋•东莞市校级期中）如图，中，，的角平分线与的角平分线交于点．则 ．
4．（2023秋•南宁月考）如图，在中，，的平分线交于点，过点作交，于点，．当，时，的长为 ．
5．（2023春•天宁区校级期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则 度．
三．解答题（共3小题）
6．（2023秋•郑州期末）综合与实践：如图1，在中，，三个内角平分线交于点，的外角的角平分线交的延长线于点．
【问题初探】：（1）的度数为 ，的度数为 ；
【问题再探】：（2）如图2，过点作．（可直接使用问题（1）中的结论）
①求的度数；
②试判断线段和之间的位置关系，并说明理由；
【拓展探究】：（3）若，将绕点顺时针旋转一定角度后得到△，当所在直线与平行时，请直接写出此时旋转角度与之间的关系．
7．（2022秋•新乡期末）如图1，在中，和的平分线交于点，过点作，交于，交于．
（1）当，，则 ；
（2）当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点，过点作，交于，交于，试判断，，之间的关系，并说明理由．
8．（2022秋•东昌府区校级期末）如图1，中，，、的平分线交于点，过点作交、于、．
（1）猜想：与、之间有怎样的关系．
（2）如图2，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？并说明理由．
（3）如图3，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由．