第07讲 “AAS”与“HL”判定三角形全等-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版）

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知识点1.三角形全等的推论：角角边（重点）
1.全等三角形判定——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点归纳：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
【例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.
解析：先证明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根据AAS即可得出两三角形全等．
证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF.在△ADC和△BDF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DAC＝∠DBF，,∠ADC＝∠BDF，,AC＝BF，))∴△ADC≌△BDF(AAS)．
方法总结：在“AAS”中，“边”是“其中一个角的对边”．
【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．
【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB，
∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠B，
在△ADE与△CAB中，
∠DAE=∠ACB∠AED=∠BAD=AC，
∴△ADE≌△CAB（AAS）．
【变式1-2】（2023八年级·浙江湖州·期末）如图，已知OA=OC，∠B=∠D，∠AOC=∠BOD．求证：△AOB ≌△COD．

【答案】见解析
【分析】利用AAS，证明△AOB ≌△COD即可．
【详解】∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC−∠AOD=∠BOD−∠AOD，
即∠COD=∠AOB，
又∵OA=OC，∠B=∠D，
∴△AOB≌△COD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理，是解题的关键．
【变式1-3】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图,在△ABC中，AD是BC边上的中线,CE⊥AD于点E，BF⊥AD交AD的延长线于点F．
(1)求证：CE=BF；
(2)若AE+AF＝16,求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查了根据三角形的中线求线段长度、全等三角形(AAS)综合,根据条件写全步骤是解决本题的关键．
（1）中线可得BD=CD，通过两个垂直可以判断两个角都为90°，还有对顶角,通过(AAS)即可证明两个三角形全等,进而得证．
（2）通过观察可发现AE+AF根据（1）中的全等可拆分为2AD，从而得出答案．
【详解】（1）证明：∵AD是BC的边上的中线，
∴BD=CD ，
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠BFD=∠CED=90°．
在△BFD和△CED中,
∠BFD=∠CED∠BDF=∠CDEBD=CD，
∴△BFD≌△CED (AAS)，
∴BF=CE．
（2）由（1）知△BFD≌△CED，
∴DF=DE，
∵AE+AF=16，
∴AE+AE+DE+DF=2AE+2DE=16，
∴2AD=16，
∴AD=8．
故AD=8．
知识点2.直角三角形全等的判定方法：HL（重点）
【例2】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.
解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等．
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BF＝CE，,AB＝CD，))
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．
方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．
【变式2-1】（2023八年级·陕西渭南·期末）如图，在Rt△ABC和Rt△DAB中，AC=DB，判断Rt△ABC和Rt△DAB是否全等．
解：在Rt△ABC和Rt△DAB中，
AC=DBAB=BA
∴Rt△ABC≌Rt△DABHL．
上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因．
【答案】不正确，错误原因见解析．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理判定．
【详解】解：不正确，错误原因如下：
∵AB在Rt△ABC中是斜边，在Rt△DAB中是直角边，
∴不满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等的条件，
∴解答过程不正确．
【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定，熟练掌握判定定理是解题的关键
【变式2-2】（2023八年级·山东济南·期末）如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，且CD=C′D′，求证：△ABC≌△A′B′C′．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到CB=2CD，C′B′=2C′D′，由CD=C′D′，得到CB=C′B′，利用HL即可证明△ABC≌△A′B′C′．
【详解】证明：∵AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，
∴CB=2CD，C′B′=2C′D′，
∵CD=C′D′，
∴CB=C′B′，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
AB=A′B′BC=B′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′HL．
【变式2-3】（2023八年级·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE=FB，CF=DE

(1)求证：△CAF≌△DBE；
(2)若∠AFC=25°，求∠D的度数
【答案】(1)见解析
(2)65°
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理：
（1）先证AF=BE，再证△CAF≌△DBEHL即可；
（2）根据△CAF≌△DBE可得∠BED=∠AFC=25°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ CA⊥AB，DB⊥AB，
∴ △CAF和△DBE是直角三角形，
∵ AE=FB，
∴ AE+EF=FB+EF，即AF=BE，
在Rt△CAF和Rt△DBE中，
AF=BECF=DE，
∴ △CAF≌△DBEHL；
（2）解：∵ △CAF≌△DBE，
∴ ∠BED=∠AFC=25°，
∵ DB⊥AB，
∴ ∠B=90°，
∴ ∠D=180°−∠B−∠BED=180°−90°−25°=65°．
考点1：证明线段相等
1.（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，已知在△ABC中，GF∥AC，∠BDE=∠BFG，∠AGH=∠C，BE=AH．求证：BD=CH．
【答案】见解析
【分析】
本题考查了平行线性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，根据两直线平行同位角相等，得到∠BFG=∠C，结合题意以及三角形内角和可得∠B=∠AHG，利用AAS证明△BDE≌△HGA，即可得出结论．
【详解】证明：∵GF∥AC，
∴∠BFG=∠C，
∵∠BDE=∠BFG，
∴∠BDE=∠C，
∵∠AGH=∠C，
∴∠BDE=∠AGH，
∵∠B+∠A+∠C=∠AGH+∠A+∠AHG=180°，
∴∠B=∠AHG，
在△BDE和△HGA中，
∠BDE=∠HGA∠B=∠AHGBE=HA，
∴△BDE≌△HGAAAS，
∴BD=GH．
2.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
解析：根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
3.（2023八年级·湖北十堰·期末）已知：如图，AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC．

(1)若△ABC中，∠B90°，D在CB的延长线上，AE交CB的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)结论成立，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，找出角度之间的关系是解题的关键．
（1）求出∠BAC=∠DAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B=∠ADE，然后利用“角角边”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）作出图形，与（1）的证明思路相同进行证明即可．
【详解】（1）解：证明：∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，
即∠BAC=∠DAE，
∵ ∠BAD+∠B=∠ADE+∠EDC，
∴ ∠B=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE∠B=∠ADEAC=AE，
∴ △ABC≌△ADEAAS，
∴ AD=AB；
（2）明：结论AD=AB成立．
证明如下：如图，

∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD−∠BAE=∠EAC−∠BAE，
即∠BAC=∠DAE，
∵ ∠BAD+∠ADB=∠ABC，
∠ADB+∠EDC=∠ADE，
∵ ∠BAD=∠EDC
∴ ∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE∠ABC=∠ADEAC=AE，
∴ △ABC≌△ADEAAS，
∴ AD=AB．
考点2：证明角相等
4.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.
解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角相等．
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AD，,AC＝AC，))∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2.
方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．
5.（2023八年级·浙江温州·期中）已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF．求证：∠B=∠C．完成下面的证明过程．
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=__________=90°．
∵D是BC的中点，
∴BD=__________，
又∵BE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF__________．
∴∠B=∠C．
【答案】∠CFD，CD，HL
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明Rt△BDE≌Rt△CDFHL，得出∠B=∠C即可．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°
∵D是BC的中点，
∴BD=CD
又∵BE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDFHL
∴∠B=∠C．
6．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在△ABF与△DCE中，点E，F在线段BC上，BE=CF，AF=DE，∠B=∠C=90°，求证：∠A=∠D．

【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△DCE，可得结论．
【详解】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
AF=DEBF=CE，
∴Rt△ABF≌Rt△DCEHL，
∴∠A=∠D．
7．（2023·云南·模拟预测）如图，D是△ABC内部的一点，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且BE=CF．求证：∠DBE=∠DCF．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．根据HL可证明Rt△DBE≌Rt△DCF，再由全等三角形的性质可得结论．
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BE=CFBD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠DBE=∠DCF．
考点3：证明线段之间的关系
8.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.
解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB＝AC，利用AAS即可得证；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝EC，根据DE＝DA＋AE等量代换即可得证．
证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ADB＝∠CEA＝90°，,∠ABD＝∠CAE，,AB＝AC，))
∴△BDA≌△AEC(AAS)；
(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
9.（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在四边形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB．求证：∠3+∠4=180°；OA+OB=2OE．

【答案】详见解析
【分析】过点C向OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论．
【详解】如图，过点C作CF⊥OB与点F，则∠F=∠CEO=90°，
∵∠1=∠2，OC=OC，
∴△FOC≅△EOC，
∴CE=CF，OE=OF，
∵CA=CB，∠CEA=∠CFB=90°，
∴Rt△CAE≅Rt△CBFHL，
∴∠4=∠CBF，AE=BF，
∵∠3+∠CBF=180°，
∴∠3+∠4=180°，
∴OA+OB=OE+AE+OF−BF=OE+OF=2OE．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．
10.如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．

(1)求证：；
(2)求证：．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
．
（2）连接，
由证明可得，
，
在和中，
．
，
，
．

考点4:解决实际问题
11.（2023八年级·安徽·专题练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小间的关系是（ ）
A．∠ABC=∠DFEB．∠ABC＞∠DFE
C．∠ABC＜∠DFED．∠ABC+∠DFE=90°
【答案】D
【分析】由题意易证Rt△ABC≌Rt△DEF，从而可得∠BCA=∠DFE，再利用直角三角形两锐角互余即可得正确结论．
【详解】∵∠CAB=∠FDE=90°
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
BC=EFAC=DF
∴△ABC≌△DEFHL
∴∠BCA=∠DFE
又∵在Rt△ABC中,∠ABC+∠BCA=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
故选：D
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质在实际问题中的应用，问题简单．
12.（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是42cm，当小敏从水平位置CD下降16cm时，小明离地面的高度是 cm．
【答案】58
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，将实际生活与全等三角形的知识结合是解题关键．
【详解】解：由题意得：OC=OD，∠FCO=∠GDO=90°，DG =16cm
∵∠FOC=∠GOD，
∴△FOC≌△GOD
∴CF=DG=16cm
∵支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是42cm，
∴小明离地面的高度是：42+16=58cm
故答案为：58
13.（2023八年级·河北邢台·期中）在一次数学活动中，为了测一堵墙上点A的高度AM，嘉淇设计了如下方案：
第一步：找一根长度大于AM的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角∠ABM=55°；
第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得∠MDC= °，标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量地面上线段 的长度，即为点A的高度．
若测得BM=5m，DM=7m，直杆下滑的高度AC= m．
【答案】 35° DM 2
【分析】测一堵墙上点A的高度AM，可构造Rt△AMB≌Rt△DMC，则DM=AM，即DM的长度就是点A的高度AM，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，∠ABM=55°，AM⊥DM，通过构造直角三角形DMC与直角三角形AMB全等，
∴∠MDC=90°−55°=35°，
∵利用“角角边”构造Rt△AMB≌Rt△DMC(AAS)，
∴AM=DM，
∴测量DM的长即为墙上点A的高度AM，
∵Rt△AMB≌Rt△DMC(AAS)，
∴BM=MC=5m，DM=AM=7m，AC=AM−MC，
∴AC=7−5=2m．
【点睛】本题主要考查全等三角形性质的应用，构造三角形全等是解题的关键．
14.（2023八年级·陕西西安·期末）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼AB的高度．他们的测量方案如下：在大树DE与博智楼AB之间找到一点C，使得此时树的顶端点D处的视线CD与博智楼的顶端A处的视线交于点C，此时，测量得知∠ACB与∠DCE互余，且BC=DE=10米，BE=28米．请你求出博智楼AB的高度．

【答案】博智楼AB的高度是18米
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据∠B=∠E=90°，得出∠A+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°，结合角的等量代换得出∠A=∠DCE，即可证明△ABC≌△CEDAAS，然后进行边的运算，即可作答．
【详解】解：由题意，得∠B=∠E=90°．
∵∠A+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠A=∠DCE．
在△ABC与△CED中，
∠A=∠DCE,∠B=∠E,BC=DE,
∴△ABC≌△CEDAAS，
∴AB=CE．
∵BE=28，BC=10，
∴CE=28−10=18，
即AB=18．
答：博智楼AB的高度是18米．
15.（2023八年级·湖北孝感·期中）如图所示，为了固定电线杆AD，将两根长均为10m的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚B,C离电线杆底部D的距离相等吗？为什么？

【答案】相等，见解析
【分析】根据直角三角形全等的判定方法即可得．
【详解】相等．理由如下：
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，AB=ACAD=AD，
∴Rt△ADB≌Rt△ADCHL．
∴BD=CD，
即两个针B,C离电线杆底部D的距离相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定．
16.（2023八年级·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.1m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC=90°．
(1)△OBD与△OCE全等吗？请说明理由；
(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．）
【答案】(1)全等，见解析
(2)1.5m
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
（1）根据AAS证明△COE与△OBD全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出CE=OD，OE=BD，求出DE=OD−OE=CE−BD=2−1.6=0.4，根据AE=AD+DE求出结果即可．
【详解】（1）解：△COE≌△OBD．理由如下：
由题意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°．
∴∠COE=∠OBD．
在△COE和△OBD中，
∠COE=∠OBD∠CEO=∠ODBOC=OB，
∴△COE≌△OBDAAS.
（2）解：∵△COE≌△OBD，
∴CE=OD，OE=BD．
∵BD=1.6，CE=2，
∴DE=OD−OE=CE−BD=2−1.6=0.4．
∵AD=1.1，
∴AE=AD+DE=1.5m．
答：爸爸是在距离地面1.5m的地方接住张华的．
考点5：巧构全等三角形解决问题
(1)．作公共边可构造全等三角形：
17.如图：在四边形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求证：∠B＝∠D.
【思路点拨】∠B与∠D不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.
【答案与解析】
证明：连接AC，

∵AD∥CB，AB∥CD.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
在△ABC与△CDA中

∴△ABC≌△CDA（ASA）
∴∠B＝∠D
【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证∠A＝∠C，则连接对角线BD.
18.在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C
【答案】
证明：过点A作AD⊥BC

在Rt△ABD与Rt△ACD中

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）
∴∠B＝∠C.
(2)．倍长中线法：
19.己知：在ΔABC中，AD为中线.求证：AD＜
【答案与解析】
证明：延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD为中线，
∴BD＝CD
在△ADC与△EDB中

∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE
在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD
∴AD＜.
【总结升华】用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°.
20、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．
方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴AC=BE，∠E=∠2
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2[来源:Z。xx。k.Cm]
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
方法2：
如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E
∵BE∥AC
∴∠E=∠2
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（AAS）
∴BE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：
21、在ΔABC中，AB＞AC.求证：∠B＜∠C
【答案与解析】
证明：作∠A的平分线，交BC于D，把△ADC沿着AD折叠，使C点与E点重合.

在△ADC与△ADE中

∴△ADC≌△ADE（SAS）
∴∠AED＝∠C
∵∠AED是△BED的外角，
∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C.
【总结升华】作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形.
(4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形：
22.如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．
【思路点拨】因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．
【答案与解析】
证明：∵AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．
在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．
在△AMC和△AME中，
∴ △AMC≌△AME（SAS）．
∴ MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．
又∵ BE＝AB－AE，
∴ BE＝AB－AC，
∴ MB－MC＜AB－AC．
【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.
(5)．巧用“延长法”构造全等三角形：
23.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=12BD
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明△ABD≌△ACF(ASA)，得出BD=CF，证明△BCE≌△BFEASA得出CE=EF，进而即可得证．
【详解】证明：如图所示，延长CE、BA相交于点F．
∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°
∴∠EBF=∠ACF．
又∵AB=AC，∠BAC=∠CAF
∴ △ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF，
在△BCE和△BFE中
∠EBF=∠CBEBE=BE∠CEB=∠FEB
∴ △BCE≌△BFEASA
∴CE=EF，
∴CE= 12 CF= 12 BD．
考点6：利用全等三角形解决设计测量方案问题
24.池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．八年级一班甲，乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图②，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
请分析两种方案可行的理由．

【详解】解：甲同学方案：
在和中，
，，，
，
；
乙同学方案：
在和中，
，，，
，
．
25.如图，有一条河流（假设河流两岸平行，即），由于河水湍急，无法下水，为了测量河的宽度，林师傅给出了以下方法：

在河岸上确定点A（如图），利用红外线光束，在河岸上确定点，使得与河岸垂直；
从A点沿河岸向东直走，记为点（如图），继续向东直走，到达点；
从点沿垂直河岸的方向行走，行走过程中，用红外线光束一直对准，当点刚好出现在红外线光束上时，停下，记为点；
测得的长为．
(1)根据上述方法，河流的宽度为______ m；
(2)请你根据林师傅的方法，利用三角板和刻度尺，在图中画出，，的位置，并结合题意说明林师傅作法的科学性．
【答案】(1)8
(2)见解析
【详解】（1）解：根据题意可得，
河流的宽度为，
故答案为：；
（2）解：画出图形如下：

根据题意可得：，，，
，
∴．
26．（2023秋·江苏·八年级专题练习）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可．
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？
(2)请说明方案可行的理由．
【答案】(1)甲同学的方案可行
(2)见解析
【详解】（1）解：甲同学的方案可行；乙同学方案不可行；
（2）甲同学方案：
在和中，
，
∴，
∴；
乙同学方案：
在和中，
只能知道，，不能判定与全等，故方案不可行．
考点7：全等三角形的探究题
27.已知：如图，，是的中点，平分．
(1)若连接，则是否平分？请你证明你的结论；
(2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
【详解】（1）平分，理由为：
证明：过点作，垂足为，
∵平分，
∴，
∵，
∴（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵，
∴，
∵，，
∴平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2），理由如下：
∵，
∴，
∴（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补）
又∵（角平分线定义）
∴，
∴，
∴．
即．
28.如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
考点8：动点问题
29.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
解析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
解：根据三角形全等的判定方法HL可知：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AP＝BC，,PQ＝AB，))∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AP＝AC，,PQ＝AB，))∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
30.（2023八年级·山东淄博·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为 ．
【答案】5
【分析】如图，作辅助线；首先证明ΔDOE≅ΔOMC，得到OC=DE，CM=OE；其次证明BE=DE，求出OE，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥OB于点E；
∵∠DEO=∠DOM=∠C，
∴∠DOE+∠COM=∠COM+∠CMO，
∴∠DOE=∠OMC；
由题意得：OD=OM；
在ΔDOE与ΔOMC中，
∠DOE=∠OMC∠DEO=∠OCMOD=OM，
∴ΔDOE≅ΔOMC(AAS)，
∴DE=OC=1，CM=OE；
∵ΔABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∠BDE=45°，
∴BE=DE=1，OE=7−1−1=5，
∴CM=OE=5，
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造全等三角形；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答.
31.（2023八年级·湖北武汉·期中）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作MD⊥l于点D，NE⊥l于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ．
【答案】173或7或10
【分析】分0≤t≤5，5