第02讲 与三角形有关的角【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版）

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知识点1：三角形内角和定理（重点）
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
【例1】一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A=55°,∠B=60°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ）
A．75°B．65°C．55°D．45°
【答案】B
【分析】由三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=55°,∠B=60°，
∴∠C=180°−∠B−∠A=180°−55∘−60∘=65∘，
故选：B
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【变式1-1】如果三角形的三个内角度数分别为x°，y°，y°，则x，y满足的关系式（ ）
A．x+y=90B．2x=yC．x+2y=90D．x+2y=180
【答案】D
【分析】利用三角形的内角和定理，即可得出结论．
【详解】解：∵x°+y°+y°=180°，
∴x+2y=180；
故选D．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理．熟练掌握三角形的内角和为180°，是解题的关键．
【变式1-2】如图，在△ABC中，∠B=70°，∠ACD=50°，AB∥CD，则∠ACB的度数为（ ）
A．90°B．85°C．60°D．55°
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质求出∠A=∠ACD=50°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=50°，
∴∠A=∠ACD=50°，
又∵∠B=70°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=60°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180°是解题的关键．
【变式1-3】如图，在△ABC中，∠A=100°，△ABC的角平分线BD，CE交于点O，则∠BOC=______．
【答案】140°/140度
【分析】根据角平分线的定义可知∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，然后结合三角形内角和定理即可获得答案．
【详解】解：∵BD，CE为△ABC的角平分线，∠A=100°，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
=180°−(12∠ABC+12∠ACB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12(180°−∠A)
=180°−12×(180°−100°)
=140°．
故答案为：140°．
【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
知识点2：直角三角形的性质与判定（重点）
性质：直角三角形的两个锐角互余.
判定1：有一个角是直角的三角形式直角三角形
判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形
【例2】已知直角三角形的一个锐角的度数为50°，则其另一个锐角的度数为___度．
【答案】40
【分析】根据直角三角形两个锐角互余求解即可．
【详解】解：∵直角三角形的一个锐角的度数为50°，
∴另一个锐角的度数是90°−50°=40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解答本题的关键．
【变式2-1】如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则∠α的大小为（ ）
A．75°B．65°C．60°D．55°
【答案】A
【分析】如图所示，根据直角三角板的特点，可知∠B=∠D=90°，∠CAB=60°，∠EAD=45°，在Rt△BAF中，根据两锐角互余即可求解．
【详解】解：一副三角尺，如图所示，
∴∠B=∠D=90°，∠CAB=60°，∠EAD=45°，
∴∠BAF=∠CAB−∠EAD=60°−45°=15°，
在Rt△ABF中，∠α=90°−∠BAF=90°−15°=75°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中两个锐角的互余的关系是解题的关键．
【变式2-2】如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是______________．
【答案】直角三角形
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论.
【详解】解: 在Rt△ABC 中，
∵∠B＝90°,
∴∠A+∠C=90°,
∵∠DEC＝∠A,
∴∠DEC+∠C=90°,
∴∠EDC=90°,
∴△EDC 是直角三角形,
故答案为 直角三角形.
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握.
【变式2-3】如图，已知∠AON=40°，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A=________．
【答案】90°或50°
【分析】先分类讨论，根据直角三角形的两锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意， △AOP为直角三角形时，
当∠A= 90°，△AOP为直角三角形时，
当∠APO=90°时，∠A=90°−∠AON=90°−40°=50°，
故答案为：90°或50°．
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键．
知识点3：三角形的外角及三角形内角和定理的推论（重点、难点）
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
要点诠释：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
【例3】图中，∠1是△ABC的外角的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【变式3-1】如图，∠A的度数为_______°

【答案】80
【分析】根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：由图可知：∠A=∠ACD−∠B=110°−30°=80°；
故答案为：80．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
【变式3-2】如图，直线a∥b，∠1=39°，∠2=70°，则∠A度数是（ ）

A．39°B．21°C．31°D．70°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出∠3=∠2=70°，根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵a∥b，∠2=70°，
∴∠3=∠2=70°，
又∵∠3=∠1+∠A，∠1=39°，
∠A=∠3−∠1=70°−39°=31°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质以及三角形的外角的性质是解题的关键．
【变式3-3】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
考点1：求三角形内角的度数
1.已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，若∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
解析：在Rt△DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数，再在△ABC中求∠ACB的度数即可．
解：在△DFB中，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°.∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．
【解析】由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．
又∵ ∠C＝2∠B，∴ ∠B＝50°．
∴ ∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．
3.已知，如图 ，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
【解析】已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A
设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x
x+2x+2x=180°
解得：x=36°
∴∠C=2x=72°
在△BDC中， BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°
∴∠DBC=180°－90°-72°=18°
4．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A=70°，求∠D的度数．
【答案】125°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，再由角平分线的定义推出∠DBC+∠DCB=55°，进而利用三角形内角和定理求出∠D的度数．
【详解】解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=110°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=12∠ABC+12∠ACB=55°，
∴∠D=180°−∠DBC−∠DCB=125°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和为180°是解题的关键．
考点2：判断三角形的形状
5.一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判定
解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.
6.根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B=50° ，∠C=40°B．∠B=∠C=45
C．∠A，∠B，∠C的度数比为5：3：2D．∠A-∠B=90°
【答案】D
【详解】A.是直角三角形，因为∠B+∠C=90°,根据有两个角互余的三角形是直角三角形,可知△ABC是直角三角形；
B.是直角三角形．因为∠B+∠C=90°，根据有两个角互余的三角形是直角三角形,可知△ABC是直角三角形；
C.是直角三角形．因为∠A:∠B:∠C=5:3:2,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形;
D. 由∠A-∠B=90°无法判断哪个角是直角，
故选D.
7．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，试判断该三角形的形状．
【解析】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．
由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．
解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．
故△ABC是直角三角形．
8.已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2．求证：△ABC是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理可得∠1+∠2=90°，据此即可证明△ABC是直角三角形．
【详解】解：在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2，
∵∠A+∠2+∠1+∠B=180°，
∴2∠1+2∠2=180°，即∠1+∠2=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于180°”是解题的关键．
考点3:三角形的内角与角平分线、高的综合运用
9.在△ABC中，∠A＝eq \f(1,2)∠B＝eq \f(1,3)∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．
解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．
解：∵∠A＝eq \f(1,2)∠B＝eq \f(1,3)∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝eq \f(1,2)×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
10.如图△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠DAE=16°．求∠CAD的度数．
【答案】22°
【分析】先求解∠BAD=90°−∠B=54°，∠BAE=∠BAD−∠DAE=54°−16°=38°，结合角平分线可得∠CAE=∠BAE=38°，从而可得答案．
【详解】解：∵AD为△ABC的高
∴在Rt△ABC中，∠ADB=90°，∠B=36°，
∴∠BAD=90°−∠B=54°（直角三角形两个锐角互余），
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=54°−16°=38°，
又∵AE为∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE=38°，
∴∠CAD=∠CAE−∠DAE=38°−16°=22°．
【点睛】本题考查的是三角形的高与角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，掌握概念与三角形的内角和定理是解本题的关键．
11.如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．
【解析】∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知）
∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°（三角形内角和180°）．
又∵AD平分∠BAC（己知），
∴∠BAD=21°，
∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质）．
又∵AE是BC边上的高，即∠E=90°，
∴∠DAE=90°﹣59°=31°．
12.如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．
【解析】 解：∠BPD＝∠CPG．理由如下：
∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴ ∠1＝∠ABC，∠2＝∠BAC，∠3＝∠ACB．
∴ ∠1+∠2+∠3＝(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°．
又∵ ∠4＝∠1+∠2，
∴ ∠4+∠3＝90°．
又∵ PG⊥BC，
∴ ∠3+∠5＝90°．
∴ ∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．
考点4：直角三角形性质的运用
13.如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数．
解析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF，再根据三角形的内角和定理求出∠C＋∠DBC＝∠F＋∠DEF，然后求解即可．
解：∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°，∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF，∴30°＋∠DBC＝40°＋90°，∴∠DBC＝100°.
14.如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则∠α的大小为（ ）
A．75°B．65°C．60°D．55°
【答案】A
【分析】如图所示，根据直角三角板的特点，可知∠B=∠D=90°，∠CAB=60°，∠EAD=45°，在Rt△BAF中，根据两锐角互余即可求解．
【详解】解：一副三角尺，如图所示，
∴∠B=∠D=90°，∠CAB=60°，∠EAD=45°，
∴∠BAF=∠CAB−∠EAD=60°−45°=15°，
在Rt△ABF中，∠α=90°−∠BAF=90°−15°=75°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中两个锐角的互余的关系是解题的关键．
15.已知直角三角形两个锐角的度数之比为3:2，求这两个锐角的度数．
【答案】这两个锐角的度数为54∘和36∘
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列方程求解即可．
【详解】解：设两个角分别为3x，2x，
根据题意，得3x+2x=90∘，
解得：x=18∘，
∴3x=54∘，2x=36∘，
则这两个锐角的度数为54∘和36∘．
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、解一元一次方程，会通过直角三角形的两锐角互余列方程求解角的度数是解答的关键．
考点5：应用三角形的外角求角的度数
16.如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
17.（1）如图，AB和CD交于交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．
（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．
【答案与解析】
解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，
同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，
所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．
（2）如图，延长线段BD交线段与点E，
在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；
在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，
将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．
18.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，
∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．
【答案与解析】
解：∵ ∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，
∴ ∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，
∴ ∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．
19.如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.
解：∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.
∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.
∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.
∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.
20.如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．
21.（一题多解）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.
解法三：连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
考点6：用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和
22.已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
解析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．
证明：∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
23.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 度．
【答案】如图连接CE，
根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，
在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．
考点7：三角形外角的性质和角平分线的综合应用
24.如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.
(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；
(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；
(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．
解析：先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念解决．
解：(1)根据外角的性质得∠ACD＝∠A＋∠ABC＝60°＋50°＝110°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠1＝eq \f(1,2)∠ACD＝55°，∠2＝eq \f(1,2)∠ABC＝25°.∵∠E＋∠2＝∠1，∴∠E＝∠1－∠2＝30°；
(2)猜想：∠E＝eq \f(1,2)∠A；
(3)∵BE、CE是两外角的平分线，∴∠2＝eq \f(1,2)∠CBD，∠4＝eq \f(1,2)∠BCF，而∠CBD＝∠A＋∠ACB，∠BCF＝∠A＋∠ABC，∴∠2＝eq \f(1,2)(∠A＋∠ACB)，∠4＝eq \f(1,2)(∠A＋∠ABC)．∵∠E＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E＋eq \f(1,2)(∠A＋∠ACB)＋eq \f(1,2)(∠A＋∠ABC)＝180°，即∠E＋eq \f(1,2)∠A＋eq \f(1,2)(∠A＋∠ACB＋∠ABC)＝180°.∵∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，∴∠E＋eq \f(1,2)∠A＝90°.
25.如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则__________．
【答案】
【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P=∠PCM-∠CBP=50°-20°=30°，
故答案为：．
26．（2023秋·八年级课时练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，若，则______．

【答案】
【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线，
，，
又，，
，
，
同理可得：，
，
则，
故答案为：．
易错点：忽视分类，造成漏解
27.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?
【解析】分两种情况讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，
∵ BD是AC边上的高(已知)，
∴ ∠ADB＝90°(垂直定义)．
又∵ ∠ABD＝30°(已知)，
∴ ∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．
又∵ ∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠ABC+∠C＝120°，
又∵ ∠ABC＝∠C，∴ ∠C＝60°．
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，
∵ ∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．
∴ ∠BAC＝120°．
又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠ABC+∠C＝60°．
∴ ∠C＝30°．
综上，∠C的度数为60°或30°．
一、单选题
1．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，点是内一点，分别是和的平分线，则等于（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，根据即可求解.
【详解】解：∵分别是和的平分线，
∴，
∴
∵
∴
∴
故选：B
2．（23-24八年级上·河北保定·期末）在中，是的角平分线，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，先由三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义得出，最后由三角形外角的定义及性质即可得出答案．
【详解】解：，，
，
是的角平分线，
，
，
故选：A．
3．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点，下列结论中正确的结论有（ ）
①；
②；
③；
④．
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，根据三角形外角的定义及性质以及三角形内角和定理对各个选项进行角度的转化化简即可判断正误，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，，
，，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确，符合题意；
，
，
，
，
，故③正确；
，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：D．
4．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别进行变形结合，进行逐一求解，即可判断．
【详解】解：A.，，，，解得：，，，不是直角三角形，故符合题意；
B. ，，，，解得：，是直角三角形，故不符合题意；
C.，设，，，，，解得：，，是直角三角形，故不符合题意；
D.，，，，
，解得：，，， 是直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握定理是解题的关键．
5．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图．在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②④．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，，，
∴，，即，
∴，
又∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，分别平分，∠ACB，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，故②正确；
故选D
二、填空题
6．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）将一副三角尺按如图方式进行摆放，则的度数为 ．
【答案】/165度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角板中角度的计算．根据三角板中角度的特点得到，，再由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则 ．
【答案】/10度
【分析】本题主要查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由三角形外角的性质求得的度数，再利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知，在中，，则是 三角形．
【答案】直角
【分析】
主要考查了三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理求解即可.
【详解】
解：根据三角形内角和定理知 ，
，
∴ ，
，
故是直角三角形
故答案为：直角．
9．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质是解决本题的关键．利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系，先用表示出、并找出规律，再利用规律得到结论．
【详解】解：和的平分线交于点，
，．
，
．
，
．
同理可得：，
．
．
故答案为：
10．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，恰有，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，，则由平行线的性质得到，进而得到，则，再由三角形内角和定理可得．
【详解】解：∵，
∴
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，分别是的高线和角平分线，若与构成的角为，则 度．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，由，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数， 结合， 可求出的度数， 由平分， 利用角平分线的定义，可求出的度数， 再在中，利用三角形内角和定理， 即可求出的度数，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
在中， ， ，
∴，
∴，
∵平分，
∴
在中，，
∴
故答案为：．
12．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图,在中,是高,是角平分线,若,则 ．

【答案】/28度
【分析】
本题考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和等知识，解题的关键从已知条件入手，逐步推得待求的结论．
先由是高与求得，再求得，再由角平分线推得，最后由三角形的内角和求得的度数．
【详解】∵是高，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是角平分线，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：．
三、解答题
13．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在中，平分交于点D，是边上的高，且，，求的度数．

【答案】
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的性质等知识，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和是求出，再由直角三角形的两锐角互余即可求解，根据，即可得解．
【详解】解：平分，，
，
，
，
，
，
，
．
14．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）【问题背景】观察小猪的主题，从中可以抽象出如图1所示的图形，

【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数．
【答案】（1），见解析；（2）
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
（1）过点E作，从而可得，结合平行线的性质即可求解；
（2）由三角形的内角和可求得，由对顶角相等得 ，再结合（1）的结论进行求解即可．
【详解】解：（1），
理由如下：点作，如图1，
，
，
，，
，
；
（2），，
，
，
由（1）可得．
15．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）探究三角形的内角和

(1)下面是证明三角形内角和定理的一种添加辅助线的方法，请完成证明．
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于．
已知：如图，
求证：
证明：在上任取一点，过点作，交于点，过点作，交于点．
(2)请再用一种不同的方法证明三角形内角和定理．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明；
（1）在上任取一点，过点作，交于点，过点作，交于点，根据平行线的性质将三个内角转化到平角，即可得证；
（2）如图，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为．
【详解】（1）证明：在上任取一点，过点作，交于点，过点作，交于点

，
，
，
，
，
（2）证明：如图，过点A作，

则，．(两直线平行，内错角相等）
∵点，，在同一条直线上，
∴．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为．
16．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，平分平分，过点作的平行线与分别相交于点．若．
(1)求的度数；
(2)求的周长．
【答案】(1)
(2)14
【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线定义，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先利用三角形内角和定理及角平分线定义得出，再根据内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可证明，，进而求解即可．
【详解】（1）解：
，
平分，平分，
，
；
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
的周长．
17．（22-23八年级上·天津东丽·期末）如图，是边上的高，平分交于点，若，，求和的度数．
【答案】；
【分析】此题考查了三角形内角和定理，利用角平分线和直角三角形的性质．分析题意，根据是边上的高可得，，再根据可求得，根据平分，可得，根据，可得．
【详解】解：是边上的高，
，
，
，
，
平分，
；
，
，
．
18．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，，，，．
(1)直线与有怎样的位置关系？并证明你的结论；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理以及外角的性质，解题的关键是：
（1）利用三角形外角的性质求出，进而求出，结合，推出，即可推出；
（2）利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，延长交于点P，
∵，，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
19．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：．

【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，从而得出，即可得证．
【详解】证明：∵在中，，，
∴．
∵平分，
∴．
∵．
∴．
20．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）小明同学在学习了三角形内角和定理和外角的相关知识后，对三角形角之间的关系进行了探究学习．如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点．
(1)【问题解决】
如图1，若，则______度，______度；
(2)【问题探究】
如图2，和是的两个外角，的角平分线与的角平分线相交于点，试确定和之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图3，在四边形中，延长到点的角平分线与的角平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)125；70
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：
（1）根据角平分线的定义得到，，进而推出，，据此利用三角形内角和定理即可求出答案；
（2）由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．
（3）如图所示，连接，设，，则由三角形内角和定理得到，，，进而得到；由角平分线的定义得到，，进而得到，，则，则．
【详解】（1）解：∵在中，的角平分线与的角平分线相交于点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
故答案为：125；70；
（2）解：，理由如下：
∵的角平分线与的角平分线相交于点，，，
∴在中，
，
又，
；
（3）解：如图所示，连接，
设，，
∴，，，
∴
∵的角平分线与的角平分线相交于点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．理解三角形内角和定理及其证明方法．(难点)
2．能用三角形的内角和定理解决一些简单问题．(重点)
3．掌握三角形外角的定义和三角形内角和定理的两个推论．(重点)
4．能运用三角形内角和定理的两个推论进行相关的几何计算和证明，并体会几何图形中的不等关系．(难点)
方法总结：求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．
方法总结：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解．
方法总结：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和角平分线的性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答．
方法总结：本题主要利用了直角三角形两锐角互余的性质和三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．
方法总结：解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．
方法总结：对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E＝eq \f(1,2)∠A；图②中，∠E＝90°－eq \f(1,2)∠A.