第08讲 角平分线性质【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版）

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知识点1.作已知角的平分线（重点）
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
【例1】（2023八年级·福建漳州·期末）如图，已知∠AOB，求作射线OC，使∠AOC=∠BOC（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说明其中的道理．
【变式1-1】（2023·四川广元·八年级·期末）已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（ ）
A．20°B．50°C．60°D．40°
【变式1-2】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于eq \f(1,2)EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．
【变式1-3】（2023八年级·福建福州·期末）求证：一条直角边相等且这条边相邻锐角的角平分线也相等的两个直角三角形全等． 要求：根据给出的Rt△ABC和Rt△A′B′C′（∠C=∠C′=90°，AC=A′C′），在此图形上用尺规作出∠CAB和∠C′A′B′的角平分线，不写作法，保留作图痕迹，并据此写出已知、求证和证明过程．

知识点2.角的平分线的性质（重点）
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点归纳：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【例2】如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
【变式2-1】（2023八年级·重庆潼南·期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，交AD于点E，AC=6，DE=2，则△ACE的面积等于 ．

【变式2-2】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，中，，平分，，，求的面积．

【变式2-3】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC于点E，并延长ED交BA的延长线于点F，且CD=DF．求证：AB=BE．

知识点3.证明几何命题的一般步骤（难点）
(1)按题意画出图形.
(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论
(3)在“证明”中写出推理过程
在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线
【例3】求证：三角形两外角的平分线的交点到三角形三边（或所在的直线）距离相等．
要求：画图，写出已知，求证，然后写出证明过程．
【变式3-1】证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
(1)已知：如图，，点在上，______，求证：______．请你补全已知和求证．
(2)并写出证明过程．
【变式3-2】小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证：
已知：如图，，点D在射线上， ，
求证： ．

(1)补全图形，已知和求证；
(2)按小颖的想法写出证明过程．
(3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明．
【变式3-3】（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材第96页的“3．角平分线”部分内容．
【联想证明】在学完角平分线的性质定理后，
①（请填空）爱联想的成成同学先写出了角平分线性质定理的逆命题为：________．
②接着成成同学又对所写的命题进行了证明．请你把下面成成同学的已知、求证、图形补充完整，再进行证明．
已知：如图，点是内部一点，________．
求证：________．
证明：

知识点4.角的平分线的判定（重点）
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点归纳：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【例4】如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
【变式4-1】如图，，是的中点，平分，求证：平分．

【变式4-2】（2023八年级·贵州安顺·期末）如图，AB=AE，∠C=∠D，BC=DE，点F是CD的中点，求证：AF平分∠BAE．
【变式4-3】（2023八年级·辽宁盘锦·期末）如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连接CH．
(1)求证：AD=BE；
(2)求证：CH平分∠AHE；
(3)求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）
考点1：利用角平分线的性质证明线段相等
1．（22-23八年级上·云南昆明·期中）如图，D是平分线上的一点，若，求证：
2．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）感知：如图1，平分，．
探究：如图2，平分，．，求证：．
3．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）四边形中，，平分，于，于．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
4．（23-24八年级上·广东珠海·期中）请回答下列问题：
(1)如图1，已知，利用直尺和圆规，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)如图2所示，是的角平分线分别是上的点，且，求证：．
5．已知和，其中，．

(1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分．
①求证；
②猜想，与之间的数量关系是__________；
(2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由；
(3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系．
考点2：角平分线的性质与三角形面积的综合运用
6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
7．如图．射线是的平分线，是射线上一点，于点，点是射线上一点，若，且的面积是6，则长为（ ）

A．3B．4C．5D．6
8.（2023八年级·江苏镇江·期中）如图，在△ABC中，延长BA到点E，延长BC到点F．∠ABC,∠EAC的角平分线BP,AP交于点P，过点P分别作PM⊥BE,PN⊥BF，垂足为M,N，则下列结论正确的有（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP．

A．1个B．2个C．3个D．4个
考点3：角平分线性质和判定的综合
9.如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023秋·北京海淀·八年级北京市师达中学校考开学考试）点在内，且到三边的距离相等，若，则 ．
11．（2023八年级·广东深圳·期中）如图所示，D，E在∠BAC两边上且AD=AE，AG是∠BAC内部的一条射线且AG⊥DE于点F，
(1)求证AG平分∠BAC；
(2)分别作∠BDE和∠CED的平分线，相交于P，求证P同时也在∠BAC的平分线AG上．
考点4：添加辅助线解决角平分线的问题
12.如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．
13．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在中，和的平分线相交于点，，连接．

(1)求的度数；
(2)求证：平分．
14．（2023秋•黄冈期末）如图①，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点，且于，于．
（1）求证：；
（2）请你判断并与之间的数量关系，并证明；
（3）如图②，在中，如果不是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
考点5：利用角平分线的判定求角的度数
15.在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
16.（2023八年级·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=70°，AB=4，AC=2，若S△ABD=2S△ACD，则∠CAD的度数为（ ）
A．45°B．40°C．35°D．30°
17.（2023八年级·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠EBF= ．
考点6：三角形内角平分线的应用
18.（2023八年级·黑龙江大庆·期末）Rt△ABC中，∠C是直角，O是两内角平分线的交点，AC=6，BC=8，BA=10，O到三边的距离是 .
19.（2023·甘肃武威·八年级期末）如图，△ABC的三边 AB、BC、CA的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则 S△ABO:S△BCO:S△CAO= ．
20.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•邹平市期末）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是
A．点B．点C．点D．点
2．（2023秋•廉江市期末）如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于
A．2B．4C．6D．8
3．（2023秋•东丰县期末）如图，在中，，平分交于点，，，，若点是上的动点，则线段的最小值是
A．3B．2.4C．4D．5
4．（2023秋•肥东县期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是
A．3B．4C．6D．5
5．（2023秋•南宁期末）如图，在中，，是的平分线，若，，则点到的距离是
A．2B．3C．4D．5
6．（2023秋•廉江市期末）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数
①平分；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023秋•博兴县期末）如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④．其中错误的个数为
A．1B．2C．3D．4
8．（2023秋•公安县期末）如图，在中，，平分，，，则的面积是
A．12B．8C．24D．11
9．（2023秋•定陶区期末）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为
A．B．C．D．
10．（2023秋•安顺期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是
A．12B．18C．24D．36
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋•伊犁州期末）如图中，，平分，，，则的面积是 ．
12．（2023秋•庆阳期末）如图，在中，，是的一条角平分线，若，则点到的距离为 ．
13．（2023秋•高邮市期末）如图，中，，，，与的角平分线交于点，则点到的距离为 ．
14．（2023秋•北京期末）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于点，当，的面积为3时，的长为 ．
15．（2023秋•平泉市期末）如图，已知点是角平分线上的一点，，，，如果点是上一个动点．
（1）若时，与的位置关系 ；
（2）最小值为 ．
16．（2023秋•福田区校级期末）如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点，若过点的直线平分面积，那么的值为 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋•广安期末）如图，于，于，和交于，且，求证：平分．
18．（2023秋•湖北期末）如图，在中，是的平分线，于点，于点，的面积是，，，求的长．
19．（2023秋•盘山县期末）如图，中，，的平分线交于点，，，，求的面积．
20．（2023秋•盐池县期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，．求证：是的角平分线．
21．（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）联结，求证：．
22．（2023秋•长兴县期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23．（2023秋•大同期末）已知：如图，是的平分线，是上的一点，，，垂足分别为、，点是上的另一点，连接，．求证：．
24．（2023秋•龙山区期末）已知：在中，平分，平分．
（1）如图1，若，，求的度数．
（2）如图2，连接，作，，，求的面积．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
会作一个角的平分线，能区别角的平分线与三角形的角平分线的异同点。
掌握角的平分线的性质和判定，会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题
通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实。