第02讲 全等三角形 全等三角形的判定一（SAS）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）（原卷版+解析版）

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知识点1 全等三角形的性质
一、对应边相等
全等三角形的三边分别对应相等，即长边对长边，短边对短边。
二、对应角相等
全等三角形的三角分别对应相等，即最大角对最大角，最小角对最小角。
三、对应边上的高、中线、角平分线相等
全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的角平分线分别对应相等。
四、周长和面积相等
由于全等三角形的三边对应相等，因此它们的周长也相等。同时，由于全等三角形的三角对应相等，且对应边上的高也相等，所以它们的面积也相等。
知识点2 全等三角形的判定一（SAS）
我们知道全等三角形的性质，它们的对应边相等、对应角相等；那当两个三角形的角和边具备什么样的条件时，两个三角形就相等呢？
想一想：
（1）当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗？
（2）当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗？
（3）当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全等吗？
动手做一做：
按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．
作法：
1．作∠MAN ＝∠α．
2．在射线AM、AN上分别
作线段AB＝a，AC＝b ．
3．连接BC，△ABC就是所求作的三角形．
通过自己实践后发现：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
几何语言：
∵在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）．
/
考点一、全等三角形中的对应边与对应角
1．如图，， 和，和是对应边，则的对应角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，理解全等三角形的性质是解决问题的关键．
根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴的对应角是．
故选：B．
2．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是 ，的对应角是 ．

【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴的对应边是，的对应角是．
故答案为：，．
3．如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的有关概念，关键是掌握全等三角形的对应顶点，对应边，对应角的定义．由全等三角形的对应顶点，对应边、对应角的定义，即可得到答案．
【详解】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和．
考点二、全等三角形的性质求(证)边
1．如图，，若，，则的长度为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键．
根据全等三角形的性质得到，由即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
故选：D ．
2．如图，已知（与，与分别对应），，，则的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：5．
3．如图，已知，，，，．
(1)求的度数与的长；
(2)求证：．
【答案】(1)，6
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出，，，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中．
（1）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
考点三、全等三角形的性质求(证)角
1．如图，，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的对应角相等得到，再由三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
2．如图，，若，，，则的度数为 °．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．首先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质得到，，最后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
3．如图：在中，、分别是、两边上的高．
(1)求证：；
(2)当时，与的位置关系如何，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的高线，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，即可作答．
（2）先由得出，根据三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，以及角的等量代换，即可作答．
【详解】（1）解：∵、分别是、两边上的高．
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵是两边上的高．
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
考点四、全等依据
1．嘉嘉先画出了，再利用尺规作图画出了，使．图1~图3是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定．根据作图痕迹，利用即可证明．
【详解】解：由作图知，，，，
∴，
故答案为：B．
2．如图．已知，．则可推出．依据是 ．

【答案】/边角边
【分析】本题考查的是三角形全等的判定：熟练掌握和，是解题的关键．
根据三角形全等的判定定理：两边和它们的夹角相等的两个三角形全等（“边角边”或“”） ，即可得出答案．
【详解】解：在与中，
，
∴，
即依据是两边和它们的夹角相等的两个三角形全等（“边角边”或“”）．
故答案为：．
3．人教版初中数学教科书八年级上册第页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
(1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
证明：由作图可知，在和中，
，
．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ．（填序号）
① ② ③ ④
【答案】(1)；；
(2)③
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形判定的方法．
结合题意梳理已知条件，根据的全等三角形判定方法即可判定全等，结合判定过程填空即可．
【详解】（1）解：由题意可得：、、，
在和中，
，
，
故答案为：；；．
（2）解：由可得，这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是，
故答案为：③．
考点五、直接用SAS证全等
1．如图，已知点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先证明，再由平行线的性质可得，据此根据即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
∴．
2．如图，已知，，，，求证：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由垂线的定义得到，则可证明，再利用即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
3．如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．

【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据，得，结合，，证明，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则，
∵，，
∴．
考点六、间接用SAS证全等
1．如图，已知点，在上，，，．求证：；
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，最后根据证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴
2．如图，在和中，，，，连接，．试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证．
【详解】解：因为，
所以，
所以．
在和中，，
所以．
3．如图，已知点、是内两点，且，，，．
(1)求证：≌；
(2)延长、交于点，若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确的找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
（1）先由推导出，再根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）由求得，再由全等三角形的对应角相等求得，则，再由求得的度数．
【详解】（1），
，
，
在和中，
，
∴≌．
（2），
，
，
．
考点七、全等三角形分割问题
1．手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了分割大小形状的图像，先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，画出形状相同、面积相等的图形．
【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下图所示的四种分法：
2．作图题
将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．

【答案】见解析
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形．
【详解】解：如图所示，（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形．
3．沿着图中的虚线（小正方形虚线边），用四种不同的方法（构成4种不同图形）将下面的图形分成两个全等的图形．
【答案】见解析
【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形进行求解即可．
【详解】解：如图所示，即为所求；
【点睛】本题主要考查了考查了全等图形的概念，熟知相关概念是解题的关键．
考点八、全等三角形动点求t
1．如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，，两点同时出发．当点返回点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为．
(1)试说明：；
(2)写出线段的长（用含的式子表示）；
(3)连接，当线段经过点时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)线段的长为或
(3)当线段经过点时，的值为1或2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定及一元一次方程的应用等知识，证明三角形全等是正确解题的关键．
（1）由证明，得，根据平行线的判定定理即可得出结论；
（2）由得到，分两种情况列代数式即可得答案；
（3）先证明，得，分两种情况列方程并解方程即可．
【详解】（1）解： ，，，
，
，
所以．
（2）解：分两种情况：①当时，；
②当时，，
．
综上所述，线段的长为或．
（3）解： ，，，
，
．
分两种情况：①当时，，解得；
②当时，，解得．
综上所述，当线段经过点时，的值为1或2．
2．如图，已知在中，，，D为的中点．点P在线段上以的速度由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C出发向终点A运动，设点P的运动时间为．
(1)求的长；（用含的式子表示）
(2)若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，且和是对应角，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依题意得到，然后利用求解；
（2）先利用等腰三角形的性质得到，讨论：当时，则利用“”可判断，即；当时，则根据“”可判断，即，然后分别解方程即可．
【详解】（1）∵，
∴；
（2）∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，
即，
解得；
当时，，
即，
解得；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想思考问题．
3．如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当与全等时，求出相应的x与t的值．
【答案】(1)，，见解析
(2)3或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）利用证明即可，由全等三角形的性质可得，求出即可得解；
（2）分两种情况：①若，则，，②若，则，，分别求解即可．
【详解】（1）解：，线段和线段的位置关系是，理由如下：
，，
，
∵当时，，
，
，
在和中，
，
．
．
，
，
又，
，
．
（2）解：由题意可得：，，
∴，
∵
∴分两种情况讨论：
①若，则，，
可得，，
解得，；
②若，则，，
可得，，
解得，．
综上，当与全等时，的值为3或．
知识导图记忆
1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求出，再利用全等三角形的性质求解．
【详解】解：如图，在第一个三角形中，．
由全等三角形的性质可知．
故选：C．
2．如图，，，，垂足分别为、，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余；熟记性质并准确识图判断出对应角是解题的关键．依据直角三角形两锐角互余，即可得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等，即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴中，
又∵
∴
故选：C．
3．测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意，利用“”证明即可．
【详解】解：由题意，，，又，
∴，
故选：B．
4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与全等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，先判定是直角三角形，再进一步判断即可；
【详解】解：根据题意可得：，，
A．两条直角边分别为，图中的三角形（阴影部分）与不全等．
B．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等．
C．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等．
D．两条直角边分别为，图中的三角形（阴影部分）与全等．
故答案为：D．
5．如图，，，垂足分别为，，，则下列结论正确的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
先证明，得到，，推出，，，无法判定，，即可得到答案．
【详解】解：，， ，
，
，，
，，
，
，，，
，，
，
无法判定，，
故选：D．
6．如图，若，且，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等可得，据此由线段的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
7．如图，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质得出，计算即可得到答案
【详解】解：，
，
故答案为： ．
8．如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是 （填序号）．
【答案】①②
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，．根据三角形全等的判定方法进行解答即可．
【详解】解：①中有两个完整的角和一条完整的边，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形；
②中有两条完整的边和一个完整的角，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形；
③中只有一个完整的角，因此不能画出和原来完全一样的三角形；
综上分析可知，①和②可以，
故答案为：①②．
9．如图，，，将绕D逆时针旋转90°至，连接AE，若，则的面积是 ．
【答案】3
【分析】由旋转可得，可求得，可求得的面积．
【详解】解：如图，过D作于点H，过E作交的延长线于F，则四边形是矩形，，
∴，
∴
∴，
∴，且，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等图形是解题的关键．
10．如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质和已知条件证明，再证明得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．如图所示，已知，试说明．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出对应角是解题的关键．
根据全等三角形对应角相等可得，然后相减即可得解．
【详解】解：，
，
，
即．
12．将沿方向平移，得到．
(1)若，求的度数；
(2)若，求平移的距离．
【答案】(1)80°
(2)1cm
【分析】本题考查图形的平移：
（1）根据平移的性质，得到，得到，利用三角形的内角和进行求解即可；
（2）用，求解即可．
【详解】（1）解：∵平移，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）∵，
∴．
∴平移的距离为1 cm．
13．如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据，可得，再由，可得，再由边角边可证得，即可求解．
【详解】证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
．
14．如图，四边形中，，，E，F是对角线上两点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据得，证明即可．
【详解】∵，
∴，
在和中
∴．
15．在等腰直角中，，点在射线上运动（不与点，重合），连接，以为直角边作等腰直角（点与点在直线的两侧），，连接．设．
(1)如图1，点在线段上运动．
①求的度数（用含的代数式表示）；
②用等式表示线段之间的数量关系并证明；
(2)如图2，当点在线段的延长线上运动，直接用等式表示线段，，之间的数量关系．
【答案】(1)①；②，证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角的和差计算．
（1）①先得到，再由角的和差计算即可；
②在延长线上截取，连接，先证明，再证明，再，进行线段和差计算证明即可；
（2）同上证明即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∴，
∴；
②，
证明：在延长线上截取，连接，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
在延长线上截取，连接，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．教材习题01
如图，已知，判断与的位置关系．
解：,理由如下：
∵，
∴，
∴．
教材习题02
如图，，，，与全等吗？请你说出理由．
解：与全等，理由如下：
，
，
即：，
在与中，
，
．
教材习题03
滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，小夏买来通过测量得到一组数据：，.你能帮助小夏找到一组全等的三角形并证明它吗？
解：，理由如下：
∵，，
∴
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M交于点N．
（2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线．
（3）以点A为圆心，先以长为半径画弧，与边交于点D，再以长为半径画弧，与射线交于点E连接．
已知：．
求作：，使得．
作法：如图．
（1）画；
（2）在射线上截取，在射线上截取；
（3）连接线段，则即为所求作的三角形．