第六讲 用“SAS（边角边）”判定三角形全等-2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义（愿卷版+解析版）

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第六讲 用“SAS（边角边）”判定三角形全等（三角形全等的判定）
教学目标：
1.经历作图过程,理解基本事实:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,体会数学的逻辑性,培养抽象概括能力.
2.通过动手操作,理解两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,体会图形的比较,发展几何直观.
教学重点、难点：
会用“SAS”判定三角形全等.
理解“两边和其中一边的对角对应相等”不能判定三角形全等.
TOC \t "标题 2,1" \h \u \l "_Tc31025" 新知预习 PAGEREF _Tc31025 \h 1
\l "_Tc12033" 知识总结 PAGEREF _Tc12033 \h 4
\l "_Tc13288" 高频易错点拨 PAGEREF _Tc13288 \h 5
\l "_Tc21987" 考点讲练1：用SAS（边角边）证明三角形全等 PAGEREF _Tc21987 \h 6
\l "_Tc13008" 考点讲练2：用SAS（边角边）间接证明三角形全等 PAGEREF _Tc13008 \h 10
\l "_Tc5277" 考点讲练3：全等的性质和SAS（边角边）的综合 PAGEREF _Tc5277 \h 17
\l "_Tc488" 中档题真题练 PAGEREF _Tc488 \h 23
\l "_Tc19615" 培优题真题练 PAGEREF _Tc19615 \h 35
新知预习
【复习回顾】
三角形全等“边边边”的判定方法
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）
几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中，
∴△ABC ≌△A′B′C′ （SSS）
【新课导入】
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况：
三个条件：
① 三边(SSS) ② 三角(不能) ③ 两边一角(?) ④ 两角一边
除了“边边边”外，还有其他判定两个三角形全等的方法吗？这节课我们继续探索.
知识点1：三角形全等判定“边角边”
如图，有一池塘，要测池塘两端 A、B 的距离，如何测出呢（假设池塘足够宽）？
分析：
【思考】已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角有几种位置关系？
①两边及夹角 ②两边和其中一边的对角

【探究1】两边及夹角
任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′ =AB，∠A′=∠A，C′A′= CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
【画法】
①画∠DA′E =∠A；②在射线A′D上截取A′B′=AB，在射线A′E上截取A′C′=AC；③连接B′C′．

【结论】这两个三角形全等
【归纳总结】
三角形全等“边角边”的判定方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS” ）
几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中，
∴△ABC ≌△A′B′C′ （SAS）
典例精讲 如图，AC=BD，∠CAB=∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由.
证明：在△ABC与△BAD中，
∴△ABC≌△BAD（SAS）.
∴BC=AD（全等三角形的对应边相等）.
【探究2】两边和其中一边的对角
任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使C′B′ =CB，∠A′=∠A，C′A′= CA（即两边和其中一边的对角分别相等）．把画好的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
【画法】①画∠DA′E =∠A
②在射线A′E上截取A′C′=AC，以C'为圆心，BC为半径画弧，交射线A'D于点B'；
③连接B′C′．
【结论】有两个B'点，两个三角形不一定全等．
【总结】
①两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
②两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
知识总结
知识点01：边角边（SAS）的定义
边角边公理（SAS）是指有两个三角形，如果它们有两边及这两边所夹的角分别对应相等，则这两个三角形全等。即，如果两个三角形ABC和DEF满足AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF，则△ABC≌△DEF。
知识点02：边角边（SAS）的理解与应用
理解边角边公理：
两边相等：两个三角形中，必须有两对对应边分别相等。
夹角相等：这两对对应边所夹的角也必须相等。
全等判定：满足上述两个条件的两个三角形一定全等。
应用边角边公理：
在证明两个三角形全等时，如果已知两边及它们之间的夹角，可以直接应用边角边公理进行判定。
在解决与三角形全等相关的几何问题时，边角边公理是常用的证明手段之一。
知识点03：边角边（SAS）的注意事项
对应性：在应用边角边公理时，必须注意对应边和对应角的对应性，即哪两边对应相等，哪两个角对应相等。
夹角的确定：夹角必须是已知两边所夹的角，而不是其他角。
全等三角形的性质：一旦判定两个三角形全等，就可以利用全等三角形的性质（如对应边相等、对应角相等）进行进一步的推理和计算。
知识点04：边角边（SAS）的例题解析
例题：已知△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF，求证：△ABC≌△DEF。
证明：
已知AB=DE（边对应相等），AC=DF（边对应相等），∠BAC=∠EDF（夹角对应相等）。
根据边角边公理（SAS），当两个三角形有两边及它们之间的夹角分别对应相等时，这两个三角形全等。
因此，△ABC≌△DEF。
高频易错点拨
易错知识点01:忽视隐含条件
易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易忽视题目中给出的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。这些条件往往对证明过程至关重要，但由于它们不是直接给出的，因此容易被忽略。
解析与应对：
在审题时，要仔细分析题目中给出的所有条件，包括直接条件和隐含条件。
善于利用图形的性质来发现隐含条件，如垂直线的性质、平行线的性质等。
在证明过程中，要时刻关注这些隐含条件，确保它们被充分利用。
易错知识点02:判定条件使用错误
易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易错误地使用判定条件，如将“SSA”误认为是有效的判定方法，或者在不满足特定条件的情况下使用“HL”定理。
解析与应对：
熟练掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并明确每种方法的适用条件。
在证明过程中，要根据题目给出的条件选择合适的判定方法。
注意“SSA”不是有效的三角形全等判定方法，避免在证明过程中使用。
在使用“HL”定理时，要确保两个三角形都是直角三角形，并且斜边和一条直角边分别相等。
易错知识点03:对应边、对应角找不准
易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易找不准对应边和对应角，导致证明过程出现错误。
解析与应对：
在证明过程中，要仔细分析题目中给出的条件，明确哪个边与哪个边对应，哪个角与哪个角对应。
可以利用图形的性质来辅助判断对应边和对应角，如平行线的性质、垂直线的性质等。
在书写证明过程时，要清晰地标注对应边和对应角，避免出现混淆。
易错知识点04:对全等三角形书写的错误
易错点描述：在书写全等三角形时，学生容易将表示对应顶点的字母写在错误的位置上，导致证明过程出现错误。
解析与应对：
在书写全等三角形时，要严格按照对应顶点的顺序来书写字母。
如果在证明过程中需要标注多个全等三角形，要确保每个全等三角形的对应顶点都标注正确。
易错知识点05:忽视特殊情况
易错点描述：在涉及三角形的高的问题时，学生容易忽视三角形的不同类型（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）对高的位置的影响，导致证明过程出现错误。
解析与应对：
在处理涉及三角形高的问题时，要先明确三角形的类型。
根据三角形的类型来判断高的位置（锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，直角三角形的高在三角形的边上）。
在证明过程中，要充分考虑高的位置对证明过程的影响。
考点讲练1：用SAS（边角边）证明三角形全等
【典例精讲】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角
B．全等三角形对应边上的高相等
C．若，则点是的中点
D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
【答案】B
【思路点拨】本题考查了三角形的外角，全等三角形的判定和性质，中点的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据相关知识点，逐个判断即可．
【规范解答】解：A、直角三角形直角的外角等于直角，故A不正确，不符合题意；
B、全等三角形对应边上的高相等，故B正确，符合题意；
C、若，且点A、E、B在同一直线上，则点是的中点，故C不正确，不符合题意；
D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．
求证：．
【答案】见解析
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题．
【规范解答】证明：，
，即，
在和中，
，
．
【举一反三2】（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，已知 连接．
(1)求证： ；
(2)若 求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；
（1）根据题意由，可得，即可求证；
（2）由，可得，再由内角和为即可求解．
【规范解答】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【举一反三3】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动．
(1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由；
(2)若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？
(3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
【答案】(1)全等，见解析
(2)
(3)秒，点P与点Q在上第一次相遇
【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键．
（1）由“”可证；
（2）根据全等三角形的性质得出，则可得出答案；
（3）由题意列出方程，解方程可得出答案．
【规范解答】（1）解：全等，理由如下：
，点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
，
，点D为的中点，
，
又，，
，
，
又，
，
在和中，
，
；
（2）解：点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
与不是对应边，
即，
，且，
则，
点P，点Q运动的时间，
，
（3）解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得，
解得，
点P运动，
，
点P与点Q在上第一次相遇．
考点讲练2：用SAS（边角边）间接证明三角形全等
【典例精讲】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线．
(1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围；
(2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线；
（1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可；
（2）先用证明，得出，再用证明，即可解答．
【规范解答】（1）解：选方法一来证明，
是的中线，
在和中
，
，
在中，
，
，
即：，
，
（2）解：延长到F使，连接，如图所示；
点D是的中点，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
．
【举一反三1】（2023·广东·模拟预测）如图，，请添加一个条件，使．
(1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）；
(2)利用（1）中添加的条件，求证：．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)见解析
【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由题意得到，推出，，再根据判定定理得添加一个条件为，即可使；
（2）根据三角形全等的判定定理证明即可．
【规范解答】（1）解：∵，
∴，
∴，，
由得添加一个条件为，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）证明：，
，
，
即，
在和中，
，
．
【举一反三2】（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．求证：
(1)．
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．
（1）根据，得出，再根据证明，即可推出结论；
（2）因为，则，根据，，得出．又因为，则，得出．
【规范解答】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【举一反三3】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）（1）问题背景：

如图1：在四边形中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证，再证明可得出结论，他的结论应是______；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以46海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为，请直接写出此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）；（2）结论仍然成立，详见解析；（3）此时两舰艇之间的距离为232海里
【思路点拨】（1）证，得，再证，得，即可得出结论；
（2）延长至G，使，证，得，再证，得，即可得出结论；
（3）连接，延长相交于点C，由题意可知，①，再证②，然后证③，利用（2）的结论求解即可．
【规范解答】解：（1）结论：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，连接，延长相交于点C．

由题意可知，①，
∵，
∴②，
又∵③，
∴由①②③可知，符合（2）中的条件，
∴结论成立，
∴（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离为232海里．
【考点评析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、方向角以及学生建模能力等知识，本题综合性强，利用问题背景提供的方法解决新问题是解题的关键，属于中考常考题型．
考点讲练3：全等的性质和SAS（边角边）的综合
【典例精讲】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，根据，求出，再根据三角形全等证明即可．
【规范解答】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【举一反三1】（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，．
(1)如图1，点在延长线上，且．
①若，求的长；
②判断和的关系，并证明；
(2)如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长．
【答案】(1)①8；②且，证明见详解
(2)3
【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）①利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由，即可获得答案；②延长，交与，由全等三角形的性质可得，结合，，易得，即可证明；
（2）首先证明，由全等三角形的性质可得，易得，故当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，再证明，由全等三角形的性质可得，故，即可获得答案．
【规范解答】（1）解：①∵，动点，分别在边和射线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
②且，证明如下：
如下图，延长，交与，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
如下图，
当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【举一反三2】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点 ，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【思路点拨】（）由为中点得，然后用“”证明即可；
（）由，得， 三角形的内角和得，最后由平行线的性质即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【规范解答】（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【举一反三3】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，是的平分线，，点P在上，，，M，N分别是垂足．
(1)与全等吗？为什么？
(2)吗？为什么？
【答案】(1)全等；理由见解析
(2)；理由见解析
【思路点拨】本题主要考查了的是全等三角形的判定定理与性质定理．全等三角形的判定定理：．
（1）根据“”即可证明；
（2）根据可得，再根据等角的补角相等可得，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论．
【规范解答】（1）解：是的平分线，
，
在和中，
，
．
（2）解：由（1），
．
．
，，
，
又，
，
．
中档题真题练
1．（2024七下·济南期中）如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【规范解答】解：A、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA）；不符合题意；
B、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（AAS）；不符合题意；
C、在△ABD和△ACD中，DB=DC，AD=AD，∠1=∠2，用边边角不能判断这两个三角形全等；符合题意；
D、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）；不符合题意.
故答案为：C.
【思路点拨】根据全等三角形的判定“①三边对应相等的两个三角形全等；②两边及夹角对应相等的两个三角形全等；③两角及夹边对应相等的两个三角形全等；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”并结合各选项和图形即可判断求解.
2．（2024八下·衡阳开学考）已知：如图在 ， 中， ， ， ，点C、D、E点在同一条直线上，连结BD，BE以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中结论正确的个数有（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【规范解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确；
④∵∠ABC>∠DBC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB>∠DBC，故④不正确；
综上可知，正确的结论有3个.
故答案为：B.
【思路点拨】①由题意用边角边可证△BAD≌△CAE，由全等三角形的性质可得BD=CE；
②由①中的全等三角形可得∠ABD=∠ACE，结合已知条件可得∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，由垂直的定义可得BD⊥CE；
③由等腰直角三角形的性质和②中的结论可得∠ACE+∠DBC=45°；
④由角的构成和等腰直角三角形的性质可得∠ACB>∠DBC.
3．（2024八上·播州期末）数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝如图，，，他准备用刻度尺量和的长是否相等．
小英却说：“不用再测量，因为≌，所以”
小英用到的判定三角形全等的方法是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【规范解答】解：在△CBD和△ABD中，
∴△CBD≌△ABD(SAS)，
∴AB=BC.
故答案为：A.
【思路点拨】利用全等三角形的判定方法和性质定理即可求解.
4．（2024八上·鹿寨期末）如图，在中，、分别是、边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．为等腰直角三角形D．
【答案】D
【规范解答】解：∵、分别是、边上的高，
∴，
∴，
∴在与中，
BD=AC∠ACG=∠DBAAB=CG，
∴，
∴，，
∵，
∴，即．
∴是等腰直角三角形．
故选项A，B，C结论正确，不符合题意.
故答案为：D．
【思路点拨】由题意，由同角的余角相等得，从而用SAS证，由全等三角形的性质得，，证明，可得答案．
5．（2024八下·昭平期中）如图，中，，，，点为边上的动点，过点作于点，则的最小值为 .
【答案】
【规范解答】解：如图，作点关于的对称点，
过点作于点，交于点，
点即为所求作的点，此时有最小值，
连接，根据对称性的性质，
，
在中，，，，
，
在和中，
≌，
，
即，
，
.
故答案为：.
【思路点拨】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，点即为所求作的点，此时有最小值，最小值为B'D的长，求出此时B'D的长即可.
6．（2024八上·浦江期末）在中，是斜边上的两点，且．现将绕点A旋转后得到，连，有下面结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．
【答案】①②④
7．（2024八上·成都期末）如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点D，点F在上且，连接，则的周长为 ．
【答案】11
8．（2024八上·衡山期末）如图，在中，，，，则的度数是 ．
【答案】
【规范解答】在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BDE=∠CFD，∠BED=∠CDF，
∵∠B=60°，
∴∠BED+∠BDE=180°-∠B=120°，
∴∠CDF+∠BDE=120°，
∴∠EDF=180°-（∠CDF+∠BDE）=60°，
故答案为：60°.
【思路点拨】先利用“SAS”证出△BDE≌△CFD可得∠BDE=∠CFD，∠BED=∠CDF，再利用角的运算和等量代换可得∠EDF=180°-（∠CDF+∠BDE）=60°.
9．（2023八上·平潭月考）如图，已知中，．
（1）请用基本尺规作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使，连接．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：
【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：平分，
，
在与中
AE=AC∠DAE=∠DACAD=AD，
，
，，，
．且，
，
，
，
，
．
【思路点拨】（1）利用尺规作图作出∠BAC的角平分线得到AD，然后在AD上截取AE，使AE=AC，最后连接DE即可；
（2）利用"SAS"证明，得到，，，然后利用三角形外角的性质和题目已知信息得到，然后根据等线段代换即可.
10．（2024八下·东坡月考） 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
【答案】（1）证明：∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质准备条件，用SAS证明△DAC≌△BAE，根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEA=∠ACD ，根据外角性质求出∠BPC =120°。
11．（2024八上·成武期末）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，
（1）如图1，求证：BE＝CD．
（2）如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形．
【答案】（1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ABD与△ACE中，
∠A=∠A∠ADB=∠AEC=90°AC=AB，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE＝AD，
∵AC＝AB，
∴AC-AD＝AB-AE，
即BE＝DC；
（2）解：△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS）
【规范解答】解：（2）由（1）可得： △ABD≌△ACE（AAS）， BE=DC，
∴∠B=∠C，AD=AE，
∵∠BFE=∠CFD，
∴△BEF≌△CDF，
∴BF=CF，EF=DF，
∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS） .
【思路点拨】（1）根据垂直求出 ∠ADB＝∠AEC＝90°， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠B=∠C，AD=AE，再求出△BEF≌△CDF，最后利用全等三角形的判定方法证明求解即可。
12．（2024八上·黔西南期末）已知，如图①，是等边三角形，，是线段上的动点．
（1）问题解决：在图①中，若，根据给出的已知条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
（2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，以线段为边在右侧作等边，连接，猜想与的数量关系并证明；
（3）拓展延伸：如图③，以线段为边在右侧作等边，在点从点向点的运动过程中，猜想点的运动路径是什么？当的值最小时，点运动路径的长度？（直接写出结果）
【答案】（1）解：∵是等边三角形，，
∴（答案不唯一）；
（2）解：与的数量关系为：，
理由如下：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在与中，
∴，
∴；
（3）解：连接，
由（2）得：，
∴，
∴点的运动路径是一条线段，当时，有最小值，此时，
∵，
∴
∴点的运动路径长度是3
【思路点拨】（1）根据等腰三角形的“三线合一性质”即可求解；
（2）利用等边三角形的性质得到 ， 根据SAS证明 ，根据全等三角形的性质即可求解；
（3）连接，由（2）得：， 从而得到 ， 进而得到 当时，有最小值，此时， 根据含30°直角三角形的性质，从而求解.
13．（2024七下·南海期中）两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若图2中的BE＝3CE，CD＝6，求 △DCE的面积．
【答案】（1）证明：∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴∠BAC+∠CAE= ∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD．
在 和 中， ，
∴ ．
（2）由（1）中 知： ．
∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴CE=2，
∴ ．
【思路点拨】（1）由 和 均为等腰直角三角形， 得出 ∠BAE=∠CAD． 利用全等三角形的性质得出 △ABE≌△ACD；
（2） 由（1）中 知： ． 由 和 均为等腰直角三角形，得出 ，根据 ，即 ，得出CE=2， 再根据三角形面积公式求解即可。
培优题真题练
14．（2024八下·滕州月考）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和，相交于点，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
15．（2024八下·冷水滩开学考）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【规范解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故答案为：C．
【思路点拨】首先根据三角形内角和求得，再根据角平分线的定义求得（）=60°，进一步根据三角形内角和定理，即可求得 ； 即可得出①正确；假定 ，即可得出，根据条件无法证明，故②不正确；如图，延长至G，使，连接，可根据SAS证明，从而得出，进一步得出，从而得出是等腰三角形，再根据EG=EC，即可得出，故而得出③正确；如图，作的平分线交于点G，可证明，，从而得出，进而得出，故而得出④正确，综上即可得出说法正确的由3个。
16．（2024八上·黄石港期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（ ）
A．①③B．①②④C．①②③D．②③
【答案】C
【规范解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确；
∴∠BPD=180°-∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确；
∵∠DAB=∠CAD，
∴∠PAH=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确；
连接HD，ED，如图：
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，PH=PD，
∴∠HDP=∠DHP=45°
∴∠HDP=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，④不正确；
故正确的有①②③；
故答案为：C.
【思路点拨】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC+∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线和三角形的内角和是180°可得∠BPD=45°，求得∠FPB=135°，判断①正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，判断②正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AH=FD，等量代换可判断③正确，连接HD，ED，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，根据等边对等角和三角形的内角和是180°可推得∠HDP=∠BPD，根据内错角相等，两直线平行可得HD∥EP，根据平行线之间的距离处出相等可得S△EPH=S△EPD，等量代换可判断④不正确，即可得出答案.
17．（2024八上·双牌期末）如图，在和中，，以点D为顶点作，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则的周长为 ．
【答案】6
【规范解答】延长AC到点E，使得CE=BM，连接DE，如图所示：
∵∠A=40°，∠BDC=140°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-40°-140°=180°，
∵AB=AC=3，BD=CD，
∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB，
∴∠ABD=∠ACB=90°，
∴∠DCE=180°-∠ACD=90°，
在△DCE和△CBM中，
，
∴△DCE≌△CBM（SAS），
∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=∠CDE+∠CDN=∠BDM+∠CDN=70°，
∴∠EDN=∠MDN，
在△EDN和△MDN中，
，
∴△EDN≌△MDN（SAS），
∴EN=MN，
∴AM+AN+MN=AM+AN+EN=AM+AN+CN+CE=AM+BM+AN+CN=AB+AC=6，
故答案为：6.
【思路点拨】延长AC到点E，使得CE=BM，连接DE，先利用“SAS”证出△DCE≌△CBM可得∠CDE=∠BDM，DE=DM，再利用角的运算求出∠EDN=∠MDN，再利用“SAS”证出△EDN≌△MDN可得EN=MN，最后利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
18．（2024八上·洪山期末）如图，等腰直角中，，，为中点．点为射线上的一个动点，以为直角边向右上方构造等腰直角，，连接．在点的运动过程中，长度的最小值是 ．
【答案】2
【规范解答】解：连接BE，过点M作于点G，过点A作交BD的延长线于点K，如下图，
∵， ，
∴，
∴是等腰直角三角形
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中：
∴，
∴
∴是等腰直角三角形，
∵.
∴
∵M为AB中点，
∴，
∴，，
当时，EM的值最小，
∴
故答案为：2.
【思路点拨】连接BE，过点M作于点G，过点A作交BD的延长线于点K，可得是等腰直角三角形，根据是等腰直角三角形，从而证明，得，可得是等腰直角三角形，可求得MG的长，当时，EM的值最小，据此解答.
19．（2024八上·瑞安期中）如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为 ， ．
【答案】；
20．（2020八上·九龙坡月考）如图，在等腰 中， ，点 是 边上一点，连接 ，且 .
（1）如图1， ，若 ，求 的度数.
（2）如图2，若点 在 边上且 ，连接 .点 为线段 的中点，过 点作 交 于点 ，求证： .
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：连接AM，
∵DC=DA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠CDA=180°-2∠DAC，
同理可得∠EDB=180°-2∠B，
∵AC=BC，
∴∠DAC=∠B，
∴∠CDA=∠EDB，
∴∠CDA+∠CDE=∠EDB+∠CDE，
即∠ADE=∠CDB，
又∵DE=DB，DC=DA，
∴△ADE≌△CDB，
∴AE=BC=AC，
又∵M为CE的中点，
∴AM⊥CE（三线合一），
∴∠AMB=90°，
∴∠B+∠MAB=90°，∠NMB+∠AMN=90°，
∵MN∥DE，
∴∠NMB=∠DEB，
∴∠NMB=∠B，
∴MN=BN，∠MAB=∠AMN
∴AN=MN，
∴AN=BN，
∴CD=AD=AN+DN=BN+DN，
【思路点拨】（1）利用等腰三角形的性质及三角形内角和，先求出，再求出利用直角三角形的性质可得，据此计算即可；
（2）连接AM，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，求出∠CDA=180°-2∠DAC，
∠EDB=180°-2∠B，根据SAS可证△ADE≌△CDB，可得AE=BC=AC，利用三线合一的性质得出∠AMB=90°，根据直角三角形的性质及余角的性质得出AN=MN，利用等腰三角形的性质得出MN=BN，从而得出AN=BN，继而得出CD=AD=AN+DN=BN+DN.
21．（2024八上·顺庆期末）如图，已知，轴于B，且满足．
（1）求A点坐标；
（2）分别以为边作等边和，如图1，试判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若P为y轴上异于O和B的一个动点，连接，过P作，且，连接，射线交延长线于Q，当P点在y轴上移动时，线段的值是否发生变化，若不变化，求出的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）6
22．（2024八上·鹿寨期末）在中，，是上一点，且．
（1）如图，延长至，使，连接求证：；
（2）如图，在边上取一点，使，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，连接，，若，猜想与的数量关系并证明．
【答案】（1）证明：，
，
，
即，
在和中
，
，
；
（2）证明：延长至点，使得，连接，
由得，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
由（1）可 得，
，
，
，
即；
（3）解：，
证明如下：
在上截取，连接，
由可知，均为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又为等边三角形，
，
，
，
．
【思路点拨】（1）由等边对等角及等角的补角相等可得∠ADB=∠ACE，从而用SAS科证△ABD≌△AEC，进而根据全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）延长到E，使，由（1）知，，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可证明是等边三角形，是等边三角形，则，即可得到结论；
（3）在上取点E，使，连接，由等边三角形的性质及AAS证△APE≌△PFD，由全等三角形的性质得，结合等边三角形的性质得到，由即可得到结论．
23．（2024八上·黔南期末）八年级学生芳芳放学后去幼儿园接弟弟回家，姐弟俩双手相牵在幼儿园门口开心地旋转起来．芳芳突然想起某天数学活动课上老师提出的一个问题：如图，在△AOB和△EOF中，OA＝OB，OE＝OF，且∠1＝∠2，连接AE，BF交于点M．试猜想AE与BF的数量关系，并加以证明．
（1）独立思考：如图①，请解决老师提出的问题。
（2）实践探究：如图②．当∠1＝45°时，∠AMB＝ 度；当∠OAB＝65°时，∠AMB＝ 度；
（3）解决问题：如图③，连接OM，MO平分∠BME吗？并加以说明．
【答案】（1）解：结论：AE=BF.
理由：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AOF=∠2+∠AOF，
∴∠AOE=∠BOF，
∵OA=OB，OE=EF，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴AE=BF；
（2）45；50
（3）解：结论：MO平分∠BME；
理由：作OI⊥EM于点I，作OW⊥BM于点W，如图所示：
∵OI⊥EM，OW⊥BM，
∴∠BWO=∠AIO=90°，
由（2）可得∠EAO=∠FBO，
∵OA=OB，
∴△AIO≌△BWO（AAS），
∴OI=OW，
∴MO平分∠BME.
【规范解答】解：（2）如图所示：
设OA与BF的交点为X，
由（1）可得△AOE≌△BOF，
∴∠EAO=∠FBO，
∵∠AXM=∠BXO，
∴∠AMB=∠1=45°，
∵OA=OB，∠OAB=65°，
∴∠OBA=∠OAB=65°，
∴∠1=180°-2×65°=50°，
∴∠AMB=∠1=50°，
故答案为：45；50；
【思路点拨】（1）利用角的运算求出∠AOE=∠BOF，再结合OA=OB，OE=EF，利用“SAS”证出△AOE≌△BOF可得AE=BF；
（2）利用全等三角形的性质可得∠EAO=∠FBO，再结合∠AXM=∠BXO，求出∠AMB=∠1=45°，再利用角的运算求出∠1=180°-2×65°=50°，即可得到∠AMB=∠1=50°；
（3）作OI⊥EM于点I，作OW⊥BM于点W，先利用“AAS”证出△AIO≌△BWO可得OI=OW，再利用角平分线判定方法可得MO平分∠BME.
24．（2024八上·赣州期末）【问题背景】
在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．
（1）【初步探索】
小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ．
（2）【探索延伸】
在四边形中如图2，，，E、F分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
（3）【结论运用】如图3，，，，，，，，直接写出的长度．
【答案】（1）
（2）解：仍成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：5
【规范解答】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）解：延长到点G，使，连接，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【思路点拨】（1）按照【初步探索】先证明的提示，已知两组对边及其夹角分别对应相等，可直接应用SAS定理判定全等，全等的性质提供了由SAS定理判定的条件，可推导出的结论；
（2）在上一问的基础上，仍然作辅助线将BE等量平移到DG，把问题转化为求证EF=GF，进一步转化为求证，由已知的可推出，故同第一问证明全等思路，SAS定理仍然成立，的结论也仍然成立；
（3）捋顺前两问的思路，同理作辅助线、先证明，再证明，再得出的结论，代入求证即可。
25．（2024八上·斗门期末）在中，，，为边延长线上一点，连接．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，求证：；、
（3）如图3，当时，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，在上截取一点E使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（3）证明：如图所示，在射线上取一点H，使得，连接，
∴
由（1）同理可证明，
又∵，
∴，
∴点H和点D重合，
∴．
【思路点拨】（1）利用等腰三角形的性质和判定得到三条边相等，进而证明结论；
（2）从结论出发看出需要通过截长补短来进行证明，添加辅助线之后，利用全等和等腰三角形，证明结论；
（3）借助第一轮的结论，利用同一法来证明D，H重合.