初中人教版（2024）锐角三角函数示范课课件ppt

这是一份初中人教版（2024）锐角三角函数示范课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了情景导入，探究新知，课堂小结，正弦函数，正弦函数的概念，正弦函数的应用，已知边长求正弦值，已知正弦值求边长，课堂训练，余弦函数和正切函数等内容，欢迎下载使用。
意大利比萨斜塔 1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线 2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高 54.5 m 的斜塔在大幅度摇摆后仍魏然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至 5.2 m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从 1990 年对斜塔进行维修纠偏，2001 年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了 43.8 cm． 　
你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角 θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
问题　为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角(∠A)为 30º，为使出水口的高度为 35 m，那么需要准备多长的水管？
根据“在直角三角形中，30º角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB＝2BC＝70(m)，即需要准备 70 m 长的水管．如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？如果出水口的高度为 80 m，那么需要准备多长的水管？
在上面求 AB(所需水管的长度)的过程中，我们用到了下面的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30º，那么无论这个三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 ．
如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C＝90º，∠A＝45º，计算 ∠A 的对边与斜边的比 你能得出什么结论？由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝2BC2， 因此
结论：在直角三角形中，当一个锐角等于 45º 时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
思考：一般地，当 ∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
如图，任意画 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90º，∠A＝∠A′，那么 与 有什么关系？你能解释吗？
解：∵　∠C＝∠C'＝90º，∠A＝∠A'， ∴　Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．∴ 即
结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作 sin A，即当∠A＝30º时，∠A的正弦为多少？∠A＝45º或 60º呢？答：
注意：正弦的三种表示方式：sin A (省去角的符号)，sin 30º，sin∠BAC．
例 1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，求 sin A 和 sin B 的值．
解：如图 ①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 因此如图 ②，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得因此
判断对错． (　　) (　　) (　　)sin A＝0.6 m (　　)sin B＝0.8 m (　　)
例 2　在 △ABC 中，∠C＝90º，AC＝24 cm，sin A＝ ，求这个三角形的周长．
解：设 BC＝7x，则 AB＝25x，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得即 24x＝24，解得 x＝1．故 BC＝7x＝7 cm，AB＝25x＝25 cm．∴　△ABC 的周长为 AB＋BC＋AC＝7＋24＋25＝56(cm)．
1．在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值(　　)．A．扩大 100 倍 B．缩小 C．不变 D．不能确定
2．如图，sin A 的值为(　　)． A．B．C．D．
3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，若 sin A＝ ，则∠A＝_______， ∠B＝_______．
4．如图，在正方形网格中有△ABC，则 sin∠ABC 的值为_______．方法总结：用定义法求锐角三角函数值时，要注意先判断这个角所在的三角形的形状，只有在直角三角形中才能用定义，若不是直角三角形，则应构造直角三角形．
5．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90º，CD⊥AB，图中 sin B 可由哪两条线段比求得．解：在 Rt△ABC 中，在 Rt△BCD 中，∵　∠B＝∠ACD，∴ 　　方法总结：求一个角的正弦值，除了用定义直接求，还可以转化为求和它相等角的正弦值．
教科书习题 28.1 第 1，2，6 题．
第二十八章　锐角三角函数 28.1　锐角三角函数 第二课时
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，当∠A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定．此时，其他边之间的比是否也确定了呢？　
如图所示，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A＝∠D，∠C＝∠F＝90º，则 成立吗？为什么？　
证明：∵　∠A＝∠D，∠C＝∠F＝90º，∴　Rt△ABC∽Rt△DEF．∴　即　
如图所示，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A＝∠D，∠C＝∠F＝90º，则 　　 成立吗？为什么？
证明：∵　∠A＝∠D ，∠C＝∠F＝90º，∴ 　Rt△ABC ∽ Rt△DEF．∴　∴　
如图，当∠A 确定时，∠A 的邻边与斜边的比，∠A 的对边与邻边的比都是确定的．我们把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cs A，即把∠A 的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tan A， 即
注意：(1)若角是用一个大写字母或一个小写希腊字母表示的，则 sin A ，cs A，tan A 的写法中可省去角的符号“∠”.(2)sin A，cs A，tan A 是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的．(3)sin A， cs A，tan A 分别是一个整体符号，如 cs A 不表示“cs”乘以“A”．
∠A 的正弦、余弦、正切都叫做 ∠A 的锐角三角函数．对于锐角 A 的每一个确定的值，sin A 有唯一确定的值与它对应，所以 sin A 是 A 的函数．同样地， cs A，tan A 也是 A 的函数．
例 1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，AB＝10，BC＝6，求 sin A，cs A，tan A 的值．解：由勾股定理得因此
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，AC＝12，AB＝13. sin A＝______，cs A＝______，tan A＝______， sin B＝______，cs B＝______，tan B＝______．
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，AC＝2，BC＝3．sin A＝ _______，cs A＝_______，tan A＝_____，sin B＝ _______，cs B＝_______，tan B＝_____．
结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦，一个锐角的正切和它余角的正切互为倒数．sin A＝cs(90º－A)cs A＝sin(90º－A)tan A·tan(90º－A)＝1
例 2　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，BC＝6，sin A＝ ，求 cs A、tan B 的值．解：∵　　　又　　∴　　
余弦：在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦．
正切：在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切．
性质：∠A 的大小确定的情况下，cs A，tan A为定值，与三角形的大小无关．
1．如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 cs A＝(　　)．
2．如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A＝35º，则直角边 BC 的长是(　　)．
3．已知∠A，∠B 为锐角，(1)若∠A＝∠B，则 cs A______cs B；(2)若 tan A＝tan B，则∠A______∠B．(3)若 tan A·tan B＝1，则 ∠A 与 ∠B 的关系为： _____________．4．tan 30º＝______ ，tan 60º＝ ______．
5．如图，直径为 5 的 ⊙A 经过点 C(0，3)和点 O(0，0)，B是 y 轴右侧 ⊙A 优弧上一点，则 ∠OBC 的余弦值为_____．方法总结：在圆中求锐角三角函数值时，常通过直径构造直角三角形，并利用同弧或等弧所对的圆周角相等，将角转化到直角三角形中，进而求出三角函数值．
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，cs A＝ ，求 sin A，tan A 的值．解：设 AC＝15k，则 AB＝17k．∴　∴方法总结：设而不求是设参数法求锐角三角函数值的常用方法．
教科书习题 28.1 第 1，2 题．
第二十八章　锐角三角函数 28.1　锐角三角函数 第三课时
为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：① 含 30º和 60º两个锐角的三角尺；② 皮尺．请你设计一个测量方案，测出一棵大树的高度．你会吗？
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
解：设 30º所对的直角边长为 a，那么斜边长为 2a，另一条直角边长＝∴　
解：设两条直角边长为 a，则斜边长＝∴　　　　
归纳： 30º、45º、60º角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
例 1　求下列各式的值：(1)cs2 60º＋sin2 60º；(2)解：(1)cs2 60º＋sin2 60(2)方法总结：有关特殊角的三角函数值的计算，先写出三角函数值，将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算．
计算：(1)sin 30º＋cs 45º；(2)sin2 30º＋cs2 30º－tan 45º．解：(1)原式＝(2)原式＝
例 2　(1)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，AB＝ ， BC＝ ，求 ∠A 的度数；解：在图中，∵　　∴　 ∠A＝45º.
(2)如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO＝ OB，求 α 的度数．解： 在图中，∵　tan α＝ ∴ 　α ＝ 60º．方法总结：根据一个锐角的特殊三角函数值，也可以求出角的度数．
例 3　如图，在△ABC 中，∠A＝30º， 求 AB． 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，∠A＝30º，　
方法总结：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，当此锐角所在的三角形不是直角三角形时，必须通过作辅助线构造出直角三角形求解 ．
1． tan(α＋20º)＝1，锐角 α 的度数应是(　　)． A．40º B．30º C．20º D．10º2．已知 sin A＝ ，则下列正确的是(　　)． A．cs A＝ B．cs A＝C．tan A＝ 1 D．tan A＝
3．求下列各式的值：(1) 1－2 sin 30ºcs 30º；(2) 3tan 30º－tan 45º＋2sin 60º ；(3) 答案：(1) ；(2) ；(3) 2．
教科书习题 28. 1第 3 题．
第二十八章　锐角三角函数 28.1　锐角三角函数 第四课时
要测量教学楼的高度，小英身高 1.6 m．她在距离教学楼 30 m 处测得仰角为 25º，你能借助计算器估算出教学楼的高度吗？(精确到 0.1 m)
通过前面的学习，我们知道当锐角 A 是 30º、45º、60º等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角函数值；如果锐角 A 不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢？
例 1　(1)用计算器求 sin 18º的值；解：第一步：按计算器 键；第二步：输入角度值 18；屏幕显示结果 sin 18º＝0.309 016 994．
(2)用计算器求 tan30º36′ 的值；解：方法 ①：第一步：按计算器 键；第二步：输入角度值 30.6 (因为30º36′＝30.6º)；屏幕显示答案：0.591 398 351．方法 ②：第一步：按计算器 键；第二步：输入角度值 30，分值 36 (使用 键) ；屏幕显示答案：0.591 398 351．
(3)已知 sin A＝0.501 8，用计算器求 ∠A 的度数．解：第一步：按计算器 键；第二步：输入函数值 0. 501 8；屏幕显示答案：30.119 158 67º(按实际需要进行精确)．还可以利用 键 ，进一步得到 ∠A＝30º07′08.97″ (这说明锐角 A 精确到 1′ 的结果为 30º7′，精确到 1″ 的结果为 30º7′9″)．方法总结：已知锐角三角函数值，利用计算器求锐角的度数时要注意先按 键．
1．用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1)：(1)sin 47º； (2)sin 12º30′；(3)cs 25º18′；(4)sin 18º＋cs 55º－tan 59º.答案：(1)0.731 4； (2)0.216 4； (3)0.904 1； (4)－0.781 7．
2．已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B 的度数 (结果精确到 0.1º) ：(1)sin A＝0.7，sin B＝0.01；(2)cs A＝0.15，cs B＝0.8；(3)tan A＝2.4，tan B＝0.5．答案：(1)∠A≈44.4º；∠B≈0.6º．(2)∠A≈81.4º；∠B≈36.9º．(3)∠A≈67.4º；∠B≈26.6º．
用计算器求下列各组锐角的三角函数值，从中你能发现什么？
由上述数据可以看出：(1)对于锐角 A，sin A 随锐角 A 的增大而增大，且 sin A满足 0＜sin A＜1．(2)对于锐角 A，cs A 随锐角 A 的增大而减小，且 cs A 满足 0＜cs A＜1．(3)对于锐角 A，tan A 随锐角 A 的增大而增大，且 tan A 满足 tan A＞0．
(1)利用计算器求值，并提出你的猜想：sin 20º＝______，cs 20º＝______，sin2 20º＝______；cs2 20º＝______ ；sin 35º＝______，cs 35º＝______，sin2 35º＝______；cs2 35º＝______ ；猜想：已知 0º＜∠A＜ 90º，则 sin2 A＋ cs2A ＝ ______．
(2)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，请验证你在 (1) 中的结论．证明：∵　在 Rt△ABC 中，a2 ＋b2 ＝c2，
1．利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为： 先按 键或 键或 键，再按角度值，就可求出相应的三角函数值．2．已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键顺序为：先按 键，再按 键或 键或 键，然后输入三角函数值，就可求出相应角度．
1．如图，是我们数学课上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算 cs 55º，按键顺序正确的是(　　)． A． B．C． D．
2．利用计算器求值：(1)sin 40º≈________ (精确到0.000 1)；(2)sin 15º30′≈_______ (精确到 0.000 1)；(3)若sin α＝0.522 5，则 α≈ ______ (精确到 0.1º)；(4)若sin α＝0.809 0，则 α≈ ______ (精确到 0.1º)．3．已知： sin2 32º＋cs2 α＝1，则锐角 α＝______ ．4．用计算器比较大小： 20 sin 87º______tan 87º．