初中人教版（2024）解直角三角形及其应用优秀课件ppt

这是一份初中人教版（2024）解直角三角形及其应用优秀课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了情景导入，探究新知，最远点，α＝30°，水平线，β＝60°，课堂小结，课堂训练，北偏东30º，南偏西45º等内容，欢迎下载使用。
高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，不仅腿脚容易疲劳，还有可能会“闹笑话”．专家认为当人的脚掌长为 15 cm，鞋跟约在 3 cm 左右高度感觉最舒适，由此你能算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角吗？生活中解直角三角形的应用非常广泛．
例 1　2012 年 6 月 18 日， “神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到离地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为 6400 km， π 取 3.142 ， 结果取整数)？
解：连接 OQ，设∠POQ＝α，∵　FQ 是 ☉O 的切线，∴　△FOQ 是直角三角形．∴　 的长为
当飞船在 P 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离 P 点约 2 051 km．
练习 1　如图，秋千链子的长度为 3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面 0.5 m．秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为 60º，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度．因此，本题可抽象为：已知：∠DAB=60º，DE＝0.5 m，AD＝AB＝3 m，△ACB 为直角三角形，求 CE 的长度．
解：∵　∠CAB＝60º，AD＝AB＝3 m，∴　AC＝AB cs∠CAB＝1.5 m，∴　CD＝AD－AC＝1.5 m，∴　CE＝CD＋DE＝2.0 m．即秋千踏板与地面的最大距离为 2.0 m．
解决有关仰俯角的问题在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角．
例 2　热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30º，看这栋楼底部的俯角为 60º，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高？(结果取整数)
解：α＝30º，β＝60º，AD＝120．答：这栋楼高约为 277 m．
练习 2　建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40 m的 D处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54º，观察底部 B 的仰角为 45º，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位)．
解：由题知∠ACD＝90º，∠BDC＝45º ，∴　BC＝CD＝40.在 Rt△ACD 中，＝40·tan 54°≈1.38×40＝55.2 (m)．∴　AB＝AC－BC＝55.2－40＝15.2(m)．答：旗杆的高约为 15.2 m．
梳理利用解直角三角形解决实际问题的一般过程有哪些？1．将实际问题抽象为数学问题；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．
1．一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点 A 到树根部 C 的距离为 4 米，倒下部分 AB 与地平面 AC 的夹角为 45º，则这棵大树高是_________米．
2．为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的E 处，测得仰角∠ACD＝52º，已知人的高度是 1.72 米，则树高_________(精确到 0.1 米)．
3．如图，沿 AC 方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC 上的一点 B 取∠ABD＝ 140º， BD＝520 m ， ∠D＝50º，那么开挖点 E 离 D 多远正好能使 A ， C ， E 成一直线(精确到 0.1 m)．
解：要使 A，C，E 成一直线，则 ∠ABD 是△BDE 的外角．∴　∠BED＝∠ABD－∠D＝90º．cs∠BDE＝∴　DE＝BD▪cs∠BDE＝520×cs 50º≈334.2(m)．答：开挖点 E 离点 D 334.2 m 正好能使 A，C，E 成一直线．
4．如图，直升飞机在高为 200 米的大楼 AB 上方 P 点处， 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30º和 45º，则飞机的高度 PO＝__________________．
5．如图，直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB 的上方 P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为 37º和 45º，求飞机的高度．(结果取整数．参考数据：sin 37º≈0.8，cs 37º≈0.6，tan 37º≈0.75)
解：作 PO⊥AB 交 AB 延长线于 O．设 PO＝x 米，在 Rt△POB 中，∠PBO＝45º，OB＝PO＝x 米．在 Rt△POA 中，∠PAB＝37º，即 故飞机的高度为 1 200 米．
梳理：仰角、俯角问题的常见基本模型：
教科书习题 28.2 第 3，4，8 题．
第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例第二课时
回顾：还记得我们之前学习的方位角吗？以正南或正北方向为基准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90º的角，叫做方位角．如图：　
例　如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65º方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34º方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？(结果取整数)要求：在图中标出已知的方位角？
解：在 Rt△APC 中，PC＝PA·cs(90º－65º) ＝80×cs 25º≈72.505．在 Rt△BPC 中，∠B＝34º，答：当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34º方向时，它距离灯塔 P 大约 130 n mile ．
练习 1　海中有一个小岛 A，它的周围 8 海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60º方向上，航行 12 海里到达 D 点，这时测得小岛 A在北偏东 30º方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？要求：(1)在图中标出已知的方位角？(2)在图中画出暗礁危险区可能的情况．
解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F，则 AF 长是 A 到 BC 的最短距离．∵　BE∥DG∥AF，∴　∠EBA＝∠BAF＝60º， ∠ADG＝∠DAF＝30º，∴　∠BAD＝∠BAF－∠DAF＝60º－30º＝30º．
又∵　∠ABC ＝∠EBF－∠EBA＝90º－60º＝30º＝∠BAD，∴　BD＝AD＝12 海里，∴　AF＝AD·cs 30º＝故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．方法总结：在解决有关方位角的问题时，有时所给的方位角不一定在直角三角形中，一般利用平行线性质或余角性质等知识转化为所需要的角．
练习 2　如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60º方向上，航行半小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东 30º方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是_________．
1．如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50º方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40º方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 等于_______．
2．如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15º方向的 A 处，若渔船沿北偏西 75º方向以 40 海里/时的速度航行，航行半小时后到达 C 处，在 C 处观测到监测点 B 在 C 的北偏东 60º方向上，则 B，C 之间的距离为__________． (参考数据： ≈1.732， ≈1.414)
3．如图，A、B 两城市相距 200 km．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30º和 B 城市的北偏西 45º的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，100 km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)．
解：过点 P 作 PC⊥AB，C 是垂足．则∠APC＝30º，∠BPC＝45º，AC＝PC·tan 30º，BC＝PC·tan 45º．∵　AC＋BC＝AB，∴　　PC·tan 30º＋PC·tan 45º＝200，即 PC＋PC＝200，解得 PC ≈ 126.8 km＞100 km．方法总结：直角三角形中没有确定的边长时，经常通过设未知数找相等关系建立方程来求解．
4．如图，我国两艘海监船 A，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 C，此时，B 船在 A 船的正南方向 5 海里处，A 船测得渔船 C 在其南偏东 45º方向，B 船测得渔船 C 在其南偏东 53º方向，已知 A 船的航速为30 海里/时，B 船的航速为 25 海里/时，问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援？ (参考数据：sin 53º ≈ cs 53º ≈ tan 53º ≈ ≈1.41．)
解：过点 C 作 CD⊥AB 于 D，设 AD＝x 米．则 BD＝(x－5)米．∵　在 Rt△ACD 中， ∠DAC＝45º，∴　CD＝AD＝x 米．∵　在 Rt△BCD 中， ∠CBD＝53º，∴　tan 53º＝即 解得　　　　　　　　 x＝20．
∴　CD＝AD＝20 米．∴　CA＝　 　≈28.2 ，BC＝ ≈ 25． ∴　A 船到 C 的时间：　　B 船到 C 的时间：∴　C 船至少要等待 0.94 小时才能得到救援．
教科书习题 28.2 第 10，11 题．
第二十八章　锐角三角函数28.2　解直角三角形及其应用 28.2.2　应用举例第三课时
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？
知识链接1．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α ，如上图． 2．坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比) ，记作 i，即 i＝h∶l ，如上图． 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i＝1∶6．
思考：坡度与坡角有什么的关系？即坡度等于坡角的正切值．
1．斜坡的坡度是 ，则坡角 α ＝_______ 度．2．斜坡的坡角是 45º，则坡比是 _______．3． 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是______．
4．如图，一山坡的坡度为 i＝1∶2．小刚从山脚 A 出发， 沿山坡向上走了 240 m 到达点 C．小刚上升了大约______米(精确到 0.1 m)．
例 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 5 m，斜坡 AB 的坡度 i＝1∶3，斜坡 CD 的坡度 i＝1∶2.5，求：(1)斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1º) ；(2)坝底 AD 与斜坡 AB 的长度(精确到 0.1 m)．
解： (1) 斜坡 CD 的坡度 i＝tanα＝1∶2.5＝0.4，由计算器可算得 α≈22º．故斜坡 CD 的坡角 α 为 22º．
(2)过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，由题知 BE＝CF＝5 m，EF＝BC＝6 m．在 Rt△ABE 中，∴　AE＝3BE＝3×5＝15(m)． 在 Rt△DCF 中，同理可得 　∴　FD＝2.5CF＝2.5×5＝12.5(m)．
则 AD＝AE＋EF＋FD ＝15＋6＋12.5＝33.5(m)．在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得故坝底 AD 的长度为 33.5 m，斜坡 AB 的长度为 15.8 m．
5．如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD(图中 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，由图中数据可得∠C≈_______，斜坡 AB_______ m(精确到 0.1)．
1．如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的 B 点出发时，测得坡面 AB 的坡度为 1∶2，走 　　米到达山顶 A 处．这时，他发现山的另一坡面 AC 的最低点 C 的俯角是 30º，则 BC＝______________ 米．
2．如图，小王在长江边某瞭望台 D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为 40º，若 DE＝3 米，CE＝2 米，CE 平行于江面 AB，迎水坡 BC 的坡度 i＝1∶0.75，坡长 BC＝10 米，则此时 AB 的长约为(　　)．(参考数据：sin 40º≈0.64， cs 40º≈0.77，tan 40º≈0.84)A．5.1 米 B．6.3 米 C．7.1 米 D．9.2 米
3．如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线)上修一条路，需测量山坡的坡度，即 tanα 值．现在山坡 P 处 (不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖 C 的仰角为 37º，塔底 B 的仰角为 26.6º．已知塔高 BC＝80 米，塔所在的山高 OB＝220 米， OA＝200 米， O，B，C，A，P 在同一平面，求山坡坡度．(参考数据 sin 26.6º≈0.45，tan 26.6º≈0.50；sin 37º≈0.60，tan 37º≈0.75)
解：过点 P 作 PD⊥OC 于 D ， PE⊥OA 于 E ，则四边形 ODPE 为矩形．在 Rt△PBD 中，∵　∠BDP＝90º，∠BPD＝26.6º，∴　BD＝PD·tan∠BPD ＝PD·tan 26.6º．在 Rt△CPD 中，∵　∠CDP＝90º，∠CPD＝37º，∴　CD＝PD·tan∠CPD＝PD·tan 37º．
∵　CD－BD＝BC，∴　PD·tan 37º－PD·tan 26.6º＝80．∴　0.75PD－0.50PD＝80．解得　　　　　　　PD＝320．∴　BD＝PD·tan 26.6º≈320×0.50＝160．∴　PE＝OD＝OB－BD＝60．
∵　OE＝PD＝320，∴　AE＝OE－OA＝320－200＝120．∴　tan α＝ ＝0.5．∴　山坡的坡度为 1∶2．