人教版八年级数学下册基础知识专项讲练专题18.18 平行四边形折叠问题和作图问题（培优篇）（专项练习）（附答案）

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专题18.18 平行四边形折叠问题和作图问题（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，已知，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG、BG，则=（    ）A．B．C．D．2．如图，中，对角线AC与BD相交于点E，，，将沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为，恰好，若点F为BC上一点，则的最短距离是（    ）A．1B．C．D．3．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（    ）A．B．C．D．4．如图，在中，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，若，，，则AF长度为（    ）A．B．7C．6D．205．如图，中，点E是AD上一点，BE⊥AB，△ABE沿BE对折得到△BEG，过点D作DF∥EG交BC于点F，△DFC沿DF对折，点C恰好与点G重合，则的值为（  ）A．B．C．D．6．如图，直线EF分别交平行四边形ABCD边AB、CD于直E、F，将图形沿直线EF对折，点A、D分别落在点A′、D′处．若∠A=60°，AD=4，AB=8，当点A′落在BC边上任意点时，设点P为直线EF上的动点，请直接写出PC+PA′的最小值（）A．4+B．8C．6+D．47．如图，中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点；③画射线，交于点，交对角线于点．若，则的长度为（    ）A．3B．C．D．8．如图，在中，以点A为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点G．若，则的长为（    ）A．B．6C．D．9．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（    ）A．B．C．D．二、填空题10．如图，在▱ABCD中， 分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝5.5，则AB的长是_____．11．如图，在▱ABCD中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则AG＝______，点G到AB的距离为______．12．如图，在中，，，，为斜边的中点，点是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为______．13．如图，在平面直角坐标系中，已知，C为线段的中点，点P是线段上的一个动点，连接，当的值为____________时，将沿边所在直线翻折后得到的与重叠部分的面积为面积的．14．四边形ABCD为平行四边形，已知AB＝，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________．15．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，在同一平面内将△ABC沿AC翻折，得到△AB’C，若四边形ABCD的面积为24cm2，则翻折后重叠部分（即S△ACE) 的面积为________cm2．16．如图，在平行四边形中，，点关于的对称点为，联结交于点，点为的中点，联结，则的面积为_________________．17．如图，在▱ABCD中，M为边CD上一点，将△ADM沿AM折叠至△AD′M处，AD′与CM交于点N．若∠B＝55°，∠DAM＝24°，则∠NMD′的大小为___度．18．如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为  ____________三、解答题19．如图，在平行四边形中，， ，，， 垂足为，在平行四边形的边上有一点，且.将平行四边形折叠，使点与点合，折痕所在直线与平行四边形交于点、．（1）求的长；（2）请补全图形并求折痕的长．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，a＞b，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若PQ⊥AB，由折叠性质可得∠BPC＝　 　°；（2）若a＝8，b＝6，且PQ⊥AB，求C到AB的距离及BP的长；（3）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式．21．如图1，在△ABC中，BC＝6，P是BC边的一点，且不与B，C重合，将△APB沿AP折叠得，过点C作AP垂线，垂足为D，连接．(1) AB和的数量关系是 　 　，AP与的位置关系是 　 　；(2) 如图2，当四边形是平行四边形时，求BP的长；(3) 在（2）的条件下，若BD＝CD，求证：．22．已知在中，，，点 为线段 上一点，连接．(1) 如图 1 所示，在右侧作等腰，其中，．当 ， 时，求的长；(2) 如图 2 所示，在右侧作等边，连接，点为 中点，连接 交 点 ．猜想线段 与之间存在的数量关系， 并证明你的猜想；(3) 如图 3， 点为中点，将沿翻折得到，连接，点 为的中点，连接．当的值最小时，连接、，直接写出的值．23．小星在学习了轴对称的性质后，对三角形中角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，将沿折叠，点的对应点是点．(1) 问题解决：如图①，，当点的对应点落在的边上时，______度；(2) 问题探究：如图②，，当点的对应点落在的外部时，若，求的度数；(3) 拓展延伸：如图③，当点与点重合时，将沿折叠．点的对应点是点，与相交于点，若点是的中点，，，求的度数．24．综合与探究：问题情境：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4．点D是AC的中点，点E在BC延长线上，且∠CDE＝60°．保持△ABC不动，将△CDE从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△CD'E'，D、E的对应点分别为D'、E'．初步思考：求证：DE＝AC；操作探究：如图2，当点落在DE边上时，连接AD'，判断此时四边形ACE'D'的形状，并说明理由；拓展延伸：请从A，B两题中任选一题作答，我选择_____题．A．在△CDE旋转过程中，当D'E'//BC时，请直接写出此时旋转角a的度数及B、E'两点间的距离．B．在△CDE旋转过程中，当D'E'//AB时，延长AC交D'E'于点F，请直接写出此时旋转角α的度数及线段CF的长．参考答案1．B【分析】取BC中点H，连接AH，连接CE交AD于N，作交CD的延长线于M，构建计算即可．解：如图，取BC中点H，连接AH，连接CE交AD于N，作交CD的延长线于M，∵，，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，，∵， ，∴ ， ，∵，∴，，∴ ，，∴ 故选：B【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，轴对称图形，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确添加辅助线构建三角形解决问题．2．C【分析】由折叠的性质，可得，，，由和，可得，由平行四边形和折叠的性质可求得，连接，易知是等边三角形，继而可得，然后根据平行四边形和折叠的性质可求得，利用勾股定理可求得，由垂线段最短可知，当时，最短，然后根据勾股定理即可求得答案.解：由折叠的性质，可得：，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴，∴，如图，连接，作，∴是等边三角形，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，在中，，∴，由垂线段最短可知，当时，最短，在中，，，∴，∴.故选：C.【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等，熟练掌握相关定理是解题的关键.3．B【分析】过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以证明四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，可得AC是BE的垂直平分线，利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面积列式可得BF的长，根据勾股定理可得CF的长，进而可得DE的长．解：如图，过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质可知：△ABC≌△AEC≌△CDA，∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA，∴四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，∵AB＝AE，CB＝CE，∴AC是BE的垂直平分线，∵，∴CN＝，BN＝1，∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，∴AC＝＝＝2，∴S平行四边形ABCD＝AB•DM＝AC•BF，∴4×＝2BF，∴BF＝，∴CF＝＝＝，在等腰梯形ADEC中，DE＝AC﹣2CF＝2﹣2×＝．故选：B．【点拨】本题考查了翻折的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰梯形，含30°的直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．4．A【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，∴∠MBC＝90°，MB＝FH，FM＝BH，∵AB＝6，5BE＝AE，∴AE＝5，BE＝，由折叠的性质可知：GE＝AE＝5，GF＝AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABN＝∠A＝45°，∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，∴EN＝BN＝BE＝1，AM＝BM＝AB＝6，∴FH＝BM＝6，在Rt△GEN中，根据勾股定理，得EN2+GN2＝GE2，∴12+GN2＝（5）2，解得GN＝±7（负值舍去），∴GN＝7，设MF＝BH＝x，则GH＝GN﹣BN﹣BH＝7﹣1﹣x＝6﹣x，GF＝AF＝AM+FM＝6+x，在Rt△GFH中，根据勾股定理，得GH2+FH2＝GF2，∴（6﹣x）2+62＝（6+x）2，解得x＝，∴AF＝AM+FM＝6+＝ ．∴AF长度为 ．故答案为：A．【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．5．B【分析】根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS证明，进而得到，设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=，即可求解．解：在中∵DF∥EG∴∠DEG=∠DFB∵△ABE沿BE对折得到△BEG∴∠DEG=2∠A∵∠DFB=∠C+∠CDF∠A=∠C∴∠CDF=∠A∵△DFC沿DF对折∴∠BGE=∠DGEBG=DGEG=EG∴∵BE⊥AB∴设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=∴故选：B．【点拨】此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明是解题关键．6．D【分析】连接AC交EF于P′，连接P′A′，作CH⊥AB交AB的延长线于H．因为A、A′关于直线EF对称，推出P′A′=P′A，推出P′A′+P′C=P′A+P′C=AC，推出当点P与P′重合时，PA′+PC的值最小，最小值=AC的长；解：如图，连接AC交EF于P′，连接P′A′，作CH⊥AB交AB的延长线于H．∵A、A′关于直线EF对称，∴P′A′=P′A，∴P′A′+P′C=P′A+P′C=AC，∴当点P与P′重合时，PA′+PC的值最小，最小值=AC的长．在Rt△BCH中，∵BC=4，∠CBH=60°，∴BH=2，CH=2，∴AH=AB+BH=10，在Rt△ACH中，AC=．∴PC+PA′的最小值为，故选：D．【点拨】本题考查解直角三角形、轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．7．A【分析】先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝10，再利用勾股定理计算出AC＝8，利用基本作图得到BQ平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点O到BA的距离等于点O到BC的距离，接着利用三角形的面积公式得到S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝OA：OC，所以OAAC．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝10，∵BA⊥CA，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，AC8，由作法得BQ平分∠ABC，∴点O到BA的距离等于点O到BC的距离，∴S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝6：10＝3：5，∵S△ABO：S△BCO＝OA：OC，∴OA：OC＝3：5，∴OA：AC＝3：8，∴OAAC8＝3．故选：A．【点拨】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．8．A【分析】根据作图过程可得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAG=∠DGA，进而得到AD=DG，过A作AM⊥CD于M，依次求出MD、AM、AG即可解决问题．解：过A作AM⊥CD于M，根据作图的方法可得AG平分∠DAB，∵AG平分∠DAB，∴∠DAG=∠BAG，∵,，∴CD∥AB，AD=BC=6，，∴∠DGA=∠BAG，∴∠DAG=∠DGA，∴AD=DG=BC=6，∵，∴∠DGA=30°，∠ADM=60°，∴在Rt△ADM中，，∴，∴在Rt△AGM中，，故选：A．【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、30°直角三角形的性质；根据尺规作图的步骤判断是作角平分线是解决问题的关键．9．B【分析】如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，，，利用角平分线和中位线的性质求得的长度，根据垂线段最短，即可求解．解：如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD，∵∠BAD=45°，AB=10∴为等腰直角三角形，由题意可得，垂直平分，，∴，∴，在中，，当、两点重合时，即的最小值为故选：B．【点拨】此题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，垂线段最短，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用相关性质进行求解．10．【分析】过G点作GM⊥AF于点M，设DE＝BF＝x，由勾股定理求得AM与GM，再证明AF＝EF，用x表示AF，FG，FM，由勾股定理列出x的方程，求得x的值，便可求得AB．解：过G点作GM⊥AF于点M，由折叠知AG＝AD＝4，∵∠GAF＝45°，∴∠AGM＝45°，∴AM＝GM＝＝4，∵DE＝BF，∴设DE＝BF＝x，则由折叠性质知，EG＝DE＝BF＝FH＝x，∵GH＝5.5∴EF＝2x+5.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∵∠AED＝∠AEG，∴∠FAE＝∠FEA，∴AF＝EF＝2x+5.5，∴AB＝AF+BF＝3x+5.5，MF＝AF﹣AM＝2x+1.5，由勾股定理得，FG2﹣FM2＝MG2，即（x+5.5）2﹣（2x+1.5）2＝42，解得，x＝3，或x＝﹣ （舍），∴AB＝3x+5.5＝14.5，故答案为：14.5．【点拨】本题考查勾股定理，平行四边形性质，方程思想的运用，属于综合提高题．11．     2     ##【分析】根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值．解：如图，GF⊥AB于点F，∵点E是CD边上的中点，∴CE=DE=2，由折叠可知：∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2，在▱ABCD中，BC=AD=3，BC∥AD，∴∠D+∠C=180°，BG=AD，∵∠BGE+∠AGB=180°，∴∠AGB=∠D，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠AED，在△ABG和△EAD中，，∴△ABG≌△EAD（AAS），∴AG=DE=2，∴AB=AE=AG+GE=4，∵GF⊥AB于点F，∴∠AFG=∠BFG=90°，在Rt△AFG和△BFG中，根据勾股定理，得AG2-AF2=BG2-BF2，即22-AF2=32-（4-AF）2，解得AF=，∴GF2=AG2-AF2=4-=，∴GF=，故答案为2，．【点拨】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明△ABG≌△EAD是解题的关键．12．或【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，进而根据勾股定理求出BC，分类两种情况讨论：①若与AB交于点F，连接，易得，即可得到，，从而得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解；②若与BC交于点G，连接，交EP于H，同理可得，，根据三角形中位线定理可得，此时点P与点C重合，进而可求解．解：，为斜边AB的中点，∴AB=8，，，①若与AB交于点F，连接，如图1所示，由折叠可得，，，∵点E是AB的中点，∴，由题意得，，，，，∴四边形是平行四边形，，②若与BC交于点G，连接，交EP于H，如图2所示，同理可得，，，，，∴点P与点C重合，∴，故答案为：或．【点拨】本题考查了翻折变换，轴对称图形，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理等知识，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键．13．【分析】根据题意作出图形，根据与重叠部分的面积为面积的，得出为的中点，可得四边形为平行四边形，根据折叠的性质可得，即可求解．解：，，如图，作关于的对称点，连接，，取的中点， C为线段的中点，，为与重叠部分，，与重叠部分的面积为面积的，过点，对称，，与重叠部分的面积为面积的，，，，四边形为平行四边形，，对称，，．故答案为：．【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中线的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．14．≤x≤3－2【分析】如图1，当在AD上，易证由四边形为平行四边形，得到；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE＝，在Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，可求得CE的另一个临界值，问题得解．解：如图1，当在AD上，此时，，，∴， ∵ADBC，∴四边形为平行四边形，∴；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，∴DA＝DE＝，在Rt△ABG和Rt△ACG中，∴∴BG＝2，∴AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，∴CE＝3－2；综上：x的取值范围为：≤x≤3－2． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．15．6【分析】由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，可证点B，点A，点B'三点共线，通过证明四边形ACDB'是平行四边形，可得B'E=CE，即可求解．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，S△ABC==12cm2，∵在同一平面内将△ABC沿AC翻折，得到△AB′C，∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，∴∠BAB'=180°，∴点B，点A，点B'三点共线，∵AB∥CD，AB'∥CD，∴四边形ACDB'是平行四边形，∴B'E=CE，∴S△ACE=S△AB'C=6cm2，故答案为：6．【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B，点A，点B'三点共线是本题的关键．16．【分析】如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．先证明是等边三角形进而，，结合30°直角三角形性质可求线段长，再利用计算即可；解：如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，．故答案为．【点拨】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形（含30°或45°）解决问题，属于中考常考题型．17．22.【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=55°，由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，由三角形的外角性质求出∠AMN=79°，与三角形内角和定理求出∠AMD'=101°，即可得出∠NMD'的大小.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=55°，由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，∴∠AMN=∠D+∠DAM=55°+24°=79°，∠AMD'=180°-∠MAD'-∠D'=101°，∴∠NMD'=101°-79°=22°；故答案为22.【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AMN和∠AMD'是解决问题的关键.18．45【分析】连接，作点D关于直线的对成点T，连接、、．首先证明B、A、T共线，求出，证明四边形EGCD是平行四边形，推出，进而得到，根据，即可解决问题．解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，∴，，，∵，∴，∵D、T关于对称，∴，，∴，∵，∴B、A、T共线，∴，∵， ，∴四边形EGCD是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，则的最小值为45．故答案为：45．【点拨】本题考查轴对称，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会运用转化的思想思考问题．19．（1）；（2）补全图形见分析；折痕的长为5或．【分析】（1）在Rt△ADE中，，，求得，再根据勾股定理即可求解；（2）分点O在AB和AD两类讨论，当点在上时，可得是等边三角形.求得；点点O在AD上时，过点、分别作， ，垂足分别为、， 连接，.求出，，，根据折叠性质，结合勾股定理，求出，进而求出，利用面积法即可求得．解：(1)∵，， ，∴.∴.∴.（2）如图1所示，当点在上时，∵， ， ∴.∵四边形是平行四边形，∴，， .∴.∵将平行四边形折叠，使点与点重合，∴折痕垂直平分，即，.∵折痕与平行四边形的边交于点， ∴点与点重合.∵，∴.∴.∴.∵，∴是等边三角形.∴.如图2所示，当点在上时，过点、分别作， ，垂足分别为、， 连接，.∵四边形是平行四边形，，∴，， ∴， ∵， ，∴.∵在中， ，∴.∴，.∴在中，，由折叠可知，，.∴在中，，即.∴.∴，，∴.∴四边形为矩形.∴，∵，∴∴.综上所述，折痕的长为5或.【点拨】（1）见60°角一般转化为直角三角形或等边三角形解决问题；（2）点在平行四边形的边上，要根据题意进行分类讨论求解．20．（1）45°；（2）CH=;（3）a=．【分析】（1）先由翻折的性质可得，再由题意可得=90°，进而得到∠APC=135°，最后根据邻补角的性质即可解答；（2）如图，作CH⊥AB于H，先说明CH=PH，再求出AB，最后根据等面积法列方程解答即可；（3）如图:连接BQ，由翻折的性质可得：PA=PQ、∠QPC=∠APC，再利用平行四边形的性质得到∠QPC+∠PCB=180°进而得到∠PCB=∠BPC，即PB=BC=AP=b、AB=2b，最后运用勾股定理即可解答．解：（1）证明：由翻折的性质可得∵PQ⊥AB∴=90°∵180°，∴∴∠APC=135°∴∠BPC=180°-∠APC=45°；（2）如图，作CH⊥AB于H由翻折的性质可知：∠APC=∠QPC∵CH⊥AB，∠BPC=45°∴CH=PH在Rt△ABC中，∵，即∴CH=；（3）如图:连接BQ由翻折的性质可得：PA=PQ，∠QPC=∠APC∵四边形BCPQ是平行四边形∴PQ=BC=PA=b，PQ//BC，∴∠QPC+∠PCB=180°∵∠BPC+∠APC=180°∴∠PCB=∠BPC∴PB=BC=b∴AP=PB=b，AB=2b，在Rt△ABC中，则有（2b）2=a2+b2∴a2=3b2∵a>0.b>0，∴a=．【点拨】本题主要考查了翻折变换、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解正确辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．21．(1) ，(2) 2(3) 详见分析【分析】（1）由轴对称的性质即可得到，；（2）延长AP交于E，由△APB沿AP折叠得，有，根据四边形 是平行四边形，可得＝＝，即得BP＝BC＝2；（3）连接交BC于G，由勾股定理可得CD＝2，再求出DP＝＝2，BE＝，PE＝＝1，在中，，可得，中，可得，从而，而，即可证得．（1）解：∵△APB沿AP折叠得，∴直线AP是的对称轴，∴，故答案为：AB＝AB'，AP⊥BB'；（2）延长AP交于E，作CP中点T，PD中点K，连接KT，则KT是△PCD的中位线，如图：∵△APB沿AP折叠得，∴，即，∵四边形是平行四边形，∴，∵KT是△PCD的中位线，∴，KT＝CD，  ∴BE＝KT，，∴∠PBE＝∠PTK，∠PKT＝∠PEB，∴△BEP≌△TKP（ASA），∴BP＝PT，∴BP＝PT＝CT＝BC，而BC＝6，∴BP＝BC＝2；（3）连接交BC于G，如图：由（2）知：四边形是平行四边形，BP＝2，∴PC＝BC﹣BP＝4，∵BD＝CD，∴四边形是菱形，∴，BG＝CG＝BC＝3，∵CD⊥AP，∴∠DGC＝∠PDC＝90°，由勾股定理可得，，∴，即 ，解得DG＝（负值舍去），∴CD＝2，DP＝2，由（2）知：，∴BE＝，在Rt△BPE中，PE＝＝1，∴DE＝DP+PE＝3，  Rt△ABE中，，∴，Rt△ADC中，，∴，而，∴．【点拨】本题考查对称变换，涉及平行四边形、菱形的性质与判定，勾股定理的应用等知识，解题的关键是勾股定理的灵活运用，表达出．22．(1) (2) ，理由见分析(3) 【分析】（1）如图1中，过点作与点，证明推出，，解直角三角形求出，，可得结论；（2）结论：，理由如下：如图2中，延长到，使得，连接，，，以为边向下作等边，连接，，利用全等三角形的性质证明，，可得结论；（3）如图3中，连接，取的中点，连接，，由，推出当点落在上，的值最小，如图4中，设，则，，，利用三角形的中线的性质求出的面积和四边形的面积，可得结论．解：（1）如图1中，过点作与点，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，．故答案为：．（2）结论：，理由如下：如图2中，延长到，使得，连接，，，以为边向下作等边，连接，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）如图3中，连接，取的中点，连接，，，定值，是定值，，当点落在上，的值最小，如图4中，设，则，，，，，，，，，，，，．【点拨】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题是解本题的关键．23．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用翻折变换的性质求解即可；（2）设，在中，利用三角形内角和定理，构建方程求解；（3）如图中，连接，，延长交于点．求出，利用全等三角形的性质证明四边形是平行四边形即可．（1）解：如图中， 由翻折变换的性质可知，，，．故答案为：．（2）如图中，设． ，，，由翻折变换的性质可知，，，，，．（3）如图中，连接，，延长交于点． 由翻折变换的性质可知，，，，，，，，，，，，，，，≌，，，四边形是平行四边形，，．【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．(1) 见分析(2) 四边形是平行四边形，理由见分析(3) A：旋转角的度数为150°；B，E两点间的距离为2．B：旋转角的度数为105°；线段CF的长为【分析】（1）由含30°角直角三角形的性质可得DE=2CD，再由D是中点即可得到结论；（2）由旋转的性质及（1）得，且，从而可得，则由平行四边形的判定即可证得结论；（3）选择A：如图3，连接，由旋转的性质及平行线的性质可得，则可求得的度数，从而得到旋转角的度数；再由及已知可得四边形是平行四边形，从而可得；选择B：如图4，过点C作，由平行条件可得∠CFG=45°，再由旋转性质及三角形外角的性质可求得的度数，即旋转角的度数；分别在与中即可求得CF的长．解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠DCE=90°，∴∠E=90°−∠CDE=30°，∴DE=2CD，∵D是AC的中点，∴AC=2CD，∴DE=AC；（2）四边形是平行四边形，理由如下：由旋转的性质得：，，，由（1）知，DE=AC，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（3）选择A：如图3，由旋转的性质得：，∵D'E'//BC，∴，∴，即，连接，∵AC=BC，AC=DE，，∴∵D'E'//BC，∴四边形是平行四边形，∴，∵D是AC的中点，∴，∴；选择B：如图4，过点C作于G，∵AB=AC，∠ACB=90°，∴∠A=45°， ∵D'E'//AB，∴∠CFG=∠A= 45°，∵，∴，即旋转角α的度数为105°；∵，，∠CFG = 45°，∴，，∴，CG=FG，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：．【点拨】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，平行线的性质等知识，具有一定的综合性，灵活运用这些知识是解决问题的关键．