人教版八年级数学下册基础知识专项讲练专题18.16 平行四边形折叠和作图问题（基础篇）（专项练习）（附答案）

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专题18.16 平行四边形折叠和作图问题（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在处，若，则为（    ）A．66°B．104°C．111°D．124°2．如图，已知的一组邻边AB，BC，用尺规作图作，下列4个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（　　　）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1=∠2=36°，则∠B为（    ）A．127°B．126°C．125°D．124°4．如图，在□ABCD中，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交AB 于点E，交CD于点F，交AC于点O，连接CE，若AD＝6，△BCE的周长为14，则CD的长为（    ）A．5B．6C．8D．105．如图，▱ABCD中，点E在边BC上，以AE为折痕，将△ABE向上翻折，点B正好落在CD上的点F处，若△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，则FD的长为（　　）A．5B．6C．7D．86．如图，已知的顶点，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点H，则点H的坐标为（    ）A．B．C．D．7．如图，将▱ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是（    ）A．AF＝EFB．AE＝AFC．AB＝EFD．FD＝EC8．如图，将平行四边形ABCD沿直线BD对折，点A恰好落在AD延长线上的点A′处，若∠A＝60°，BC＝3，则A′B的长为（    ）A．5B．C．6D．9．如图，中，，点E为的中点．按以下步骤作图：①以点E为圆心、任意长为半径画弧，交于点M，N；②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，连接．则（    ）A．B．C．D．10．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝4，将纸片沿对角线AC对折，使得点B落在点B′的位置，连接DB'，则DB'的长为（　　）A．2B．2C．4D．15二、填空题11．把一张长方形纸按如图所示折叠，所得的四边形是___________四边形．12．如图，在▱中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为______．13．如图，将▱进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，，，，则线段的长度为______．14．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD．若∠B＝65°，则∠BCD的大小是_____°．15．▱ABCD中，点E在边BC上，以AE为折痕，将△ABE向上翻折，点B正好落在CD上的点F处，若△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，则FD的长为_____．16．如图，，分别是的边，上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点，则的周长为_________.17．如图，的顶点，按下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E；②分别以点D、E为圆心，大于DE的一半长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线OF，交边AC于点G．则AG的长度为______．18．如图，为平行四边形，对角线与相交于点，，，将沿所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，若点的落点记为则，则的长是_______．三、解答题19．如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF．(1) 求证：四边形是平行四边形；(2) 若，求线段的长．20．将一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E，F均在BD上），折痕分别为DH，BG．(1) 求证：四边形BGDH为平行四边形；(2) 若AB＝6，BC＝8，求四边形BGDH的周长．21．如图，将平行四边形ABCD沿着对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′与AD相交于点E． EB与ED相等吗？证明你的结论；连接AC′，判断AC′与BD的位置关系，并说明理由．22．如图，将□ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，点E在AD上.（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；（2）若，求四边形ABFE的周长.23．如图，将ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E，连接BE（1）求证：四边形是平行四边形（2）若BE平分∠ABC，求证：参考答案1．C【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再由三角形内角和定理求出∠B即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=23°，∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-46°-23°=111°，故选：C．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．2．C【分析】根据各个图形的做法结合平行四边形的判定方法进行判断即可．解：图①，由作图可知，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可知，图①作法与理论依据正确；图②，由作图可知，作AC的垂直平分线，得到AC的中点O，再连接BO并延长到点D，使，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得，图2作法与理论依据正确；图③，作同位角相等，得出，再截取，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得，图3作法与理论依据正确；图④，作同位角相等，得出，再截取，“一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形”，因此图4作法与理论依据不正确；综上所述，作法与理论依据正确的是图①、图②、图③，共3个．故选：C．【点拨】本题考查尺规作图，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法及尺规作图的意义是解题的关键．3．B【分析】根据翻折可得∠B′AC=∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC=∠DCA，从而可得∠1=2∠BAC，进而求解．解：根据翻折可知：∠B′AC=∠BAC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠BAC=∠DCA，∴∠BAC=∠DCA=∠B′AC，∵∠1=∠B′AC+∠DCA，∴∠1=2∠BAC=36°，∴∠BAC=18°，∴∠B=180°-∠BAC-∠2=180°-18°-36°=126°，故选：B．【点拨】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．4．C【分析】根据平行四边形的性质可知AD=BC=6，CD=AB，再由垂直平分线的性质得出AE=CE，据此可得出结论．解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∵四边形ABCD是平行四边形，AD=6，∴AD=BC=6，CD=AB，∵△BCE的周长为14，∴BE+EC+BC= BE+AE+BC=AB+BC=6+AB=14，则CD=AB=8．故选：C．【点拨】本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．5．C【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AD+DC＝14，此为解题的关键性结论；再运用△FDA的周长为21，求出FD的长，即可解决问题．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AB＝DC．由题意得，BE＝FE，AB＝AF．∵△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，∴CE+CF+EF＝7，DF+AD+AF＝21，∴（CE+EF）+（DF+CF）+AD+AF＝28，即2（AD+DC）＝28，∴AD+DC＝14，即AD+AF＝14，∴FD＝21-14＝7．故选：C．【点拨】本题考查了翻折变换的性质及平行四边形的性质，根据以上性质找到等量关系AD+DC＝14是解题的关键．6．A【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOD中，AD=，依据∠AHD=∠ADH，即可得到AH=AD=，可得H（，2）．解：∵的顶点，∴AO=2，OD=1，∴Rt△ADD中，AD=，由题可得，DG平分∠ADB，∴∠ADH=∠FDH，又∵AH∥DF，∴∠AHD=∠FDH，∴∠AHD=∠ADH，∴AH=AD=，∴H（，2），故选A．【点拨】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解题的关键．7．B【分析】根据平行四边形的性质及折叠变换进行推理，可知A、C、D均成立，只有B不成立．解：∵平行四边形ABCD沿AE翻折，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF，BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAF，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF，故选项A正确，不符合题意；∴AF＝BE∴四边形ABEF为平行四边形，∴AB＝EF＝AF＝BE，故选项C正确，不符合题意，∵AD＝BC，∴AD−AF＝BC−BE，即FD＝EC，故选项D正确，不符合题意；不能证明选项B，故选项B不一定成立，符合题意；故选：B．【点拨】本题考查平行四边形中的翻折问题，已知翻折就是图形全等，翻折是一种对称变换，它属于轴对称，解题的关键是掌握轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．8．C【分析】由折叠可得．，，，根据和三角形内角和定理得，根据平行四边形的性质得，根据直角三角形的性质即可得．解：由折叠可得，，，，∵，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，，∴，∴，故选C．【点拨】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．9．C【分析】根据三角形内角和求出，由平行四边形的性质，求出，由题意得垂直平分，利用垂直平分线的性质求解．解：根据三角形内角和，，，由题意得：垂直平分，∴FB=FC，，而，则，故选：C．【点拨】本题考查了三角形内角和定理、垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．10．A【分析】先利用平行四边形的性质得到，再由折叠的性质得到，，由此可得到，再利用勾股定理求解即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，由折叠的性质可知：，，∴，∴，∴在直角三角形中，故选A．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．11．平行【分析】长方形对边平行，有；由折叠知根据“有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”作出判断．解：纸片为长方形，∴．∴，由叠法知，．∴，∴，是平行四边形．故答案为：平行．【点拨】此题考查了平行四边形的判断，折叠的性质，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．12．6【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明，此为解题的关键性结论；运用的周长为，求出的长，即可解决问题．解：如图，四边形为平行四边形，，；由题意得：，；的周长为，的周长为，，，，即，，即；，故答案为：．【点拨】该题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的方法是准确找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点来分析、判断、解答．13．【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AB=CD=DE+CE=9，ABCD，可得∠=90°，由折叠的性质可得=DE=5，AD=，由勾股定理可求的长，AC的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD=DE+CE=9，ABCD，∴∠BAC=∠ACD=90°，∴∠=90°，∵将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到，∴=DE=5，AD=，∴= =3，∴=AC+3=AD=BC，∵，∴，∴AC=12，故答案为：12．【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求出的长是本题的关键．14．115【分析】根据以为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧，得，，得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求出．解：∵以为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧∴，∴四边形是平行四边形∴∴∵∴故答案为：．【点拨】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．15．7【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AD+DC=14，此为解题的关键性结论；运用△FDA的周长为21，求出FD的长，即可解决问题．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AB=DC；由题意得：BE=FE，AB=AF；∵△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，∴CE+CF+EF=7，DF+AD+AF=21，∴（CE+EF）+（DF+CF）+AD+AF=28，即2（AD+DC）=28，∴AD+DC=14，即AD+AF=14，∴FD=21-14=7，故答案为：7．【点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的方法是准确找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点来分析、判断、解答．16．18【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF，根据折叠的性质得到∠GEF=,推出△EGF是等边三角形，于是得到结论.解：∵四辺形ABCD是平行四辺形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠EGF，∵将四边形沿翻折，得到，∴∠GEF=，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，∴△EGF是等边三角形，∵EF=6，∴△GEF的周长=18.故答案为：18．【点拨】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．17．【分析】如图，先利用勾股定理计算出OA＝，再利用基本作图和平行线的性质得到∠AOG＝∠AGO，则AG＝AO＝，从而求解．解：如图，∵▱AOBC的顶点A的坐标为，∴ACOB，OA＝，由作法得OG平分∠AOB，∴∠AOG＝∠BOG，而ACOB，∴∠AGO＝∠BOG，∴∠AOG＝∠AGO，∴AG＝AO＝，故答案为：．【点拨】本题考查了作图−基本作图，解题的关键是熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．18．【分析】利用折叠的性质和平行四边形的性质得到△B′ED是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质解答即可．解：根据折叠的性质知，∠BEA=∠B′EA=45°，则∠B′ED=90°．又由折叠的性质得BE=B′E∵平行四边形ABCD∴BE=DE，∴BE=DE=B′E，∴△B′ED是等腰直角三角形，∴DB′=DE=×BD=．故答案为：．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及翻折变换（折叠的性质）．推知DB′=BB′是解题的关键．19．(1) 见分析(2) 【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明；（2）作AG⊥BE于点G，因为D′F=DF，再证明DF=BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可．（1）解：证明：∵点C与点A重合，折痕为EF，∴∠AEF=∠CEF，AE=EC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AF=EC，又∵AF∥EC，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AE=AF，∴四边形AFCE为菱形．（2）如图，作AG⊥BE于点G，则∠AGB=∠AGE=90°，∵点D的落点为点D′，折痕为EF，∴D'F=DF．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC．又∵AF=EC，∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE．∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=，∴AG=GB=6．∵四边形AFCE为平行四边形，∴AE∥FC．∴∠AEB=∠FCE=60°．∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，∴GE==，∴BE=BG+GE=，∴D′F=．【点拨】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F=BE是解题的关键．20．(1) 见分析(2) 10＋6.【分析】（1）由折叠的性质及平行线的性质证得BH∥DG，AD∥BC，则结论得证；（2）设CG=x，则FG=x，BG=8-x，由勾股定理得出（8-x）2=42+x2．解方程可求得x的值，进一步计算即可求解．（1）证明：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB，又由折叠可得：∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠ABD=∠CDB=∠3，∴BH∥DG，∵AD∥BC，∴四边形BGDH为平行四边形；（2）解：由折叠可得FG=CG，DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，在Rt△BCD中，∵BD2=BC2+CD2，∴BD==10，∴BF=10-6=4，设CG=x，则FG=x，BG=8-x，在Rt△BGF中，∵BF2+FG2=BG2，42+x2=（8-x）2，解得：x=3，即FG=CG=3．∴BG=8-3=5，DG==3，∴四边形BGDH的周长为2(BG+DG)=10+6．【点拨】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，平行线的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．21．(1) EB与ED相等，证明过程见分析(2) AC′∥BD．理由见分析【分析】（1）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB=∠CBD，进而得出BE=DE；（2）由BE=DE，进而得出AE=CE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'=∠EC'A=∠EBD=∠EDB，进而得出AC'∥BD．(1)解：EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD=∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE；(2)解：AC′∥BD．理由如下：∵四边形ABCD平行四边形，∴AD=BC， 由折叠知，BC'=BC，∴AD=BC'，由（1）知BE=DE，∴AE=C'E，∴∠DAC'=（180°-∠AEC'）=90°-∠AEC'，同理：∠ADB=90°-∠BED，∵∠AEC'=∠BED，∴∠DAC'=∠ADB，∴AC'∥BD，故答案为：AC′∥BD．【点拨】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．22．（1）见分析；（2）12.【分析】（1）根据折叠的性质得到∠CFE=∠CDE，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，∠B=∠D，由平行线的判定得到AE∥BF，即可得到结论；（2）根据折叠的性质得到ED=EF，则AE+AB=AE+ED=AD，从而求出四边形ABFE的周长．解：（1）证明：∵将 □ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，∴∠CFE=∠CDE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B=∠D，∴AE∥BF，∠B=∠CFE，∴AB∥EF，∴四边形ABFE为平行四边形；（2）∵将 □ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，∴DE=EF，∵四边形ABFE为平行四边形，∴EF=AB=ED，∵BC=6，∴AD=6，∴AE+AB=AE+ED=AD=6，∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+EA=12，故四边形ABFE的周长为：12.【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形及平行四边形知识是解题的关键．23．见分析【分析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，然后根据平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；（2）根据平行线的性质利用勾股定理得出答案．解：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABDC，ABDC∴CED′B，CED′B，∴四边形BCED′是平行四边形；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠EBA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵∠DAE=∠BAE，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∴AB2=AE2+BE2．【点拨】考点：1.平行四边形的判定与性质2.勾股定理