专题04 二次函数综合压轴题型（江西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编(原卷版+解析版)

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题型01二次函数的图象共存问题
题型02二次函数的图象和性质
题型03二次函数的实际应用问题
题型04二次函数压轴综合问题
题型01
二次函数的图象共存问题
1．（2025·江西赣州·一模）二次函数 与一次函数（）的图象在同一坐标系中的大致位置是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】根据k的符号，可得一次函数图象经过的象限，根据二次函数图象左加右减，可得答案．
本题考查了一次函数的图象分布，抛物线的平移，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：，一次函数经过一三象限，
二次函数的图象由向右平移k个单位得到，
故B正确；
故选：B．
2．（2025·江西吉安·一模）如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐项判断即可．
【详解】解：由一次函数的图象可知，，
抛物线的开口向上，
对称轴为直线，在轴的右侧，
故A，D选项不符合题意；
与轴的交点坐标在轴的负半轴，
故B选项不符合题意，C选项符合题意；
故选：C．
3．（2024·江西南昌·一模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象的综合．本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可判断．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误．
故选：B．
题型02
二次函数的图象和性质
1．（2025·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，为抛物线上任意两点，当时，满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由，得抛物线开口向上，分情况讨论：当时；当时；当时；即可解答．
【详解】解：因为，所以抛物线开口向上，
因为，所以位于的左侧，且，
当时满足，
所以，当时，，不满足题意；
当时，满足题意，此时；
当时，要满足条件，则点比点低，此时：
；
故选：A．
2．（2025·江西·模拟预测）关于二次函数与，若在同一平面直角坐标系内画出它们的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线与的对称轴都是轴
B．抛物线与关于直线成轴对称
C．抛物线向下平移2个单位得到
D．抛物线与关于点成中心对称
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知两点关于原点对称求参数
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识．根据二次函数的图象与性质，二次函数的平移以及中心对称的知识，逐一判断即可．
【详解】解：A、抛物线与的对称轴都是轴，故该选项正确；
B、设点在抛物线上，则点直线对称的点的坐标为，将代入可得：，即点在抛物线上，故抛物线与关于直线成轴对称，故该选项正确；
C、抛物线向下平移2个单位得到，而不是，故该选项错误；
D、设点在抛物线上，则点关于对称的点的坐标为，将代入可得：，即点在抛物线上，故抛物线与关于成中心对称，故该选项正确；
故选：C．
3．（2025·江西抚州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，设，有以下结论，①点C的坐标随k值的变化而变化；②；③当时，，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，函数的图象和性质，能熟记函数的性质是解此题的关键，数形结合思想的运用．
在中，令，求出，即可判断①；联立两个解析式，即可判断②，将代入②中方程，即可求出点A和点B的坐标，即可判断③．
【详解】解：当时，，
点C的坐标恒为，故①错误；
联立，得，
，
，故②正确；
当时，，
解得，
点A的坐标为，点B的坐标为，
，
，故③错误；
故选：B．
4．（2025·江西·二模）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质．分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：分别过点A，C作y轴的垂线，垂足分别为点M，N．
，，
，，，．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
∴，
，．
．
又，
．
．
，
．
故选：A．
5．（2025·江西吉安·一模）已知二次函数的图象如图所示，抛物线顶点坐标为．则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为实数）有两个不等实根．正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数得图象与一次函数得图象之间的关系等知识；根据图象判断系数的符号，判断①；对称轴判断②；特殊值判断③；对称轴结合顶点坐标，以及特殊点，解不等式，判断④；图象法判断⑤．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为，与轴交于负半轴，
∴，
∴，
∴，故①正确，②错误；
由图象可知：当时，，故③错误；
∵，
∴，
∴，
由图象可知：当时：，解得：；
当时：，解得：，
∴，故④正确；
∵，
∴，此方程的根的个数可以通过观察与两个图象的交点个数，
∵，当时，，
∴直线必过点，如图：
由图可知：与两个图象必有两个交点，
∴有两个不相等的实数根，故⑤正确；
综上：正确的有3个；
故选B．
6．（2025·江西南昌·一模）二次函数的最小值是 ．
【答案】
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握的图象与性质是解题的关键．利用二次函数，当时最小值为，即可解答．
【详解】解：∵二次函数中，，
即开口向上，
∴二次函数的最小值是，
故答案为：．
7．（2025·江西宜春·一模）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得到的新抛物线的表达式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．
根据平移的规律：左加右减，上加下减，即可解题．
【详解】解： 将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得到的新抛物线的表达式为，
故答案为：．
8．（2025·江西赣州·一模）已知关于x的函数的图象与坐标轴有且只有2个交点，则 ．
【答案】1，0，，2
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数分别与坐标轴交点的问题，根据函数图象与坐标轴有2个交点，分①一次函数时，②二次函数时，函数图象过坐标原点和顶点坐标在x轴上分别求解即可．
【详解】解：①当，即时，函数为，与坐标轴有两个交点；
②时，若，
则函数为，
函数图象经过坐标原点，与坐标轴有两个交点，
若，顶点在x轴上，
则函数图象与坐标轴有两个交点时有：
即，
解得，．
综上所述，函数图象与坐标轴有两个交点时，0，，2．
故答案为：1，0，，2．
9．（2025·江西新余·二模）如图，已知二次函数的图象顶点为，与轴交于原点和点．若在轴正半轴上有一点，使为直角三角形，则点的坐标为 ．
【答案】或或
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理．先利用二次函数的性质求得和，设点的坐标为，利用勾股定理求得，用表示出和，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：设点的坐标为，，
∵，
∴，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
，
，
①当为斜边时，，
解得或，
∴点的坐标为或；
②当为斜边时，，
解得(舍去)；
③当为斜边时，，
解得，
∴点的坐标为；
综上点的坐标为或或，
故答案为：或或．
题型03
二次函数的实际应用问题
1．（2025·江西抚州·一模）如图，为助力乡付振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为的斜坡上点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计），为坡地进行浇灌，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)若该装置浇灌的最远点为上的点C处，求点C距出水口的水平距离．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查二次函数的实际运用，熟练掌握待定系数法求解析式和函数的交点问题是解题的关键，
（1）根据坡比，求出的长，从而得到点，点坐标，再由题意设抛物线的表达式为，代入即可求得抛物线的解析式；
（2）设直线的解析式为，由点，点坐标求得直线的解析式，再由点是直线和抛物线的交点，联立方程并求解，即可求出点坐标．
【详解】（1）解：，
，
设，则．
，
，
解得，
，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
由条件可设抛物线的表达式为，
将代入，可得，
解得，
水柱所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将点，点代入得：，
解得，
直线的解析式为．
联立，
得，
解得，
点C的横坐标为，
点C距出水口的水平距离为．
2．（2025·江西吉安·一模）小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为元，这款“中国结”的批发单价（元）与一次批发量（为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付元，求此次批发量；
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”（）件，小黄获得的利润为元，当为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)件
(3)当时，小黄获得的利润最大，最大利润为元
【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要涉及一次函数的求解、一元二次方程的应用以及二次函数的最大值问题，解题的关键是通过给定的函数图像和条件，逐步求解函数关系式、批发量以及最大利润．
（1）根据图像中的两点和，利用待定系数法，求解一次函数的系数和即可；
（2）根据支付金额位于元和元之间，确定批发量位于与之间，利用函数关系式，确定，通过方程求解；
（3）利润等于收入减去成本，当时，，通过二次函数的顶点式找到的最大值；当时，，利润随增加而增加，求出的最大值；和的最大值作比较，即可得出答案．
【详解】（1）解：设当时，与的函数关系式为：，
把点和代入解析式得：，，
解得：，，
当时，与的函数关系式为：；
（2）由图可知，当时，所付款为（元），
当时，所付款为（元），
，
购买数量位于与之间，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
答：此次批发量为件；
（3）①当时，，
，
当时，有最大值，最大值为元；
②当时，批发单价固定，批发量越大，则利润越大，
当时，利润最大，最大利润为元；
综上所述，，
当时，最大，最大利润为元．
3．（2025·江西南昌·一模）如图1，是某房前晾衣服的实景图，图2是它的示意图，巴知铁柱和都与地面垂直．晾衣绳可以近似看作一条抛物线，经测量，，，晾衣绳最低点到地面的距离为1.2m．现以O为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求晾衣绳所在抛物线的函数解析式；
(2)如图3，为防止衣服碰到地面，晾衣绳最低点到地面的距离不能小于1.4m.小斌准备用一根长为2m，且与地面垂直的立柱撑起晾衣绳，使晾衣绳分成和两部分，当E为线段的中点时，解析式分别为和．他们的最低点分别是G和H．
①求证：最低点G，H到地面的距离相等；
②晾衣绳的长度可以通过打结处A，D调节.若要使晒在晾衣绳和上的衣服不会碰到地面，则a应满足什么条件？
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，利用顶点设出顶点式是解题的关键．
（1）设顶点式，将代入即可得解；
（2）①设顶点式，将和分别求出即可得证；②由题可知，解不等式即可得解．
【详解】（1）解：依题意得，顶点的坐标为，
设，将代入，
得.
解得.
∴晾衣绳所在抛物线的函数解析式为.
（2）①证明：∵，E为的中点，
∴G，H两点的横坐标分别为2和6.
设抛物线的解析式为，
将代入得.
∴.
∴G到地面的距离为.
同理可得H到地面的距离也为.
∴最低点G，H到地面的距离相等.
②∵要使晒在晾衣绳和上的衣服不会碰到地面，
∴.
解得：.
故a应满足的条件为.
4．（2025·江西景德镇·一模）滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线．
(1)求“U”型碗池最低点到地面的距离；
(2)①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式；
②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围．
【答案】(1)“U”型碗池最低点到地面的距离为米
(2)①；②
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据题意可得，可得两点关于抛物线对称轴对称，利用抛物线的对称性质即可求出，将代入，求出k的值，即可解答；
（2）①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，根据题意设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，过点作于点H，证明，推出，求出米米，得到，结合，利用待定系数法求解即可；
②由①知，结合，根据题意：，解不等式组即可解答．
【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称，米，米，
∴米，
∴米，
∵米，
∴，
∴两点关于抛物线对称轴对称，
∴，
将代入，则，
解得：，
则“U”型碗池最低点到地面的距离为米；
（2）解：①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，
∵甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，
设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，
过点作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵点为斜坡的中点，
∴，即，
∴米，米，
∴米，
∴，
∵，
∴，
解得：
∴此抛物线的解析式为；
②由①知，
∵，
根据题意：，
解得：；
∴若此次挑战成功，b的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
5．（2025·江西景德镇·一模）在一次设计公园休闲凉亭的数学实践课上，老师提供了两个素材．
素材1：某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱的高为，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面4.5，且最高点到立柱的水平距离为1．
素材2：为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的（两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为3.5的支架．
小艺同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他解答下列各题：
(1)求在第二象限的抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围）．
(2)求与之间的距离．
(3)若是第二象限的抛物线上一点，是点关于立柱的对称点，且在点的下方，的上方，过点分别作于点，于点．为迎接春节，在上悬挂迎新年的主题彩带，求彩带长的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，得出二次函数的解析式以及利用数形结合思想进行分析解决是关键．
（1）由题意设抛物线的顶点式为，代入A点坐标即可得出答案；
（2）由题意得支架高度为3.5，代入得，解出方程即可进一步得出与之间的距离；
（3）先设，与x轴交于点H，表示出，即可得出，注意配方法的使用，进一步分析即可得出的最大值．
【详解】（1）解：，
∴A点坐标为，
∵最高点距离地面4.5，且最高点到立柱的水平距离为1，
∴最高点坐标为，
设抛物线的顶点式为，
将代入，得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）∵支架高度为3.5，即，
当时，有，
解得，，
∴与之间的距离为：；
（3）设，与x轴交于点H，
，
，
，，
，
，
当时，，
∵是点关于立柱的对称点，
∴，
∴，
∴彩带长最大值为．
6．（2025·江西上饶·一模）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动路径可近似看成形状相同的两条抛物线．在如图所示的平面直角坐标系中，x（单位：m）是弹力球距抛出点的水平距离，y（单位；m）是弹力球距地面的高度．甲站在原点处，从离地面的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处着地后弹起．已知弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为．
(1)求a的值及的长．
(2)若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低．
①求弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的函数解析式．
②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离为．若要使得游戏成功，则d的取值范围是________．
【答案】(1),米
(2)；．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与一元二次方程，利用待定系数法求出抛物线解析式是解题的关键．
（）将点坐标代入解析式，即可求出的值；
（）由（）可得弹力球第一次着地前抛物线的解析式，再令，解方程求出的值，即可得出点坐标，再根据条抛物线形状相同，且弹力球在处着地后弹起的最大高度为着地前抛物线最大高度的一半以及点坐标，即可求出弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的表达式；l把代入，解方程求出的值与框的位置比较即可．
【详解】（1）解：∵点是抛物线的起点，
∴，
解得，
则，
当时，，
解得， (不合，舍去)，
∴点的横坐标为；
∴；
（2）解：由（）知，点的横坐标为5；
∵两条抛物线形状相同，弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低．
∴，
设弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线解析式为，
将点代入该解析式，得，
解得，，
∵，
∴不合，舍去，
∴，
∴ 弹力球第一次着地后的弹起降落形成抛物线解析式为；
令中，则，
解得，，
∵，
∴不合，舍去，
∴，
∴弹力球第二次落地点距离原点米，
∵筐的最左端与原点的水平距离为．在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，
当代入，
得
解得或，
∵时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，
∴由题意可知,
解得：
∴要使得游戏成功，则d的取值范围是．
故答案为：．
7．（2025·江西抚州·一模）【问题情境】：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案．
如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．榕榕设计的方案如下：
第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花；
第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花．
【方案实施】学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩7m篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式；
(2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离；
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)与之间的距离为1．
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．
（1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解；
（2）先求出直线的解析式，然后设C的横坐标为m，E的横坐标为，表示出，，然后解方程即可．
【详解】（1）解：解法一：
平面直角坐标系如图所示，
设抛物线的解析式为（），
由题意知，，对称轴为直线，
即，，
则，解得，
∴抛物线的解析式为；
解法二：
平面直角坐标系如图所示，
由题意知，，，对称轴为直线，
设抛物线的解析式为（），
则，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，之间的距离等于，
设C的横坐标为m，E的横坐标为，
∴，，
设直线解析式为，代入得：，解得：，
∴直线解析式为，
∴，，
∴，，
∴，
∴，解得或．
∵在的左侧，
∴与之间的距离为1．
8．（2025·江西景德镇·模拟预测）【发现问题】
在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线．
【提出问题】
在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系．
【分析问题】
在某次训练完成一次动作后，记录了全红婵运动时的竖直高度与水平距离的几组数据如下：
（1）根据表中数据，_____，关于的函数解析式为_____．
【解决问题】
（2）全红婵和陈芊汐完成了一次双人10米跳台训练，全红婵的数据如上表中所示，陈芋汐的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．
①用，分别表示全红婵，陈芋汐入水时入水点距跳台的水平距离，则_____；（填“”“”或“”）
②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好是米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由．
【答案】（1），；（2）①；②不会失误，理由见解析
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据表中数据求出对称轴，再由顶点式求出函数解析式，即可得到的值；
（2）①将代入两个函数解析式，求出，的值即可；
②将代入求出，即可进行判断．
【详解】解：（1）由表中数据可知，经过，
故对称轴
顶点坐标为
设关于的函数解析式为，
将代入，
得
解得
故关于的函数解析式为，
将代入，，
，
故答案为：，；
（2）①将代入，
解得（舍去）或，
，
将将代入，
解得（舍去）或，
，
，
故答案为：．
②不会失误，理由如下：
将代入，
即，
，
，
全红婵本次训练不会失误．
9．（2025·江西宜春·一模）【课本再现】九年级上册第51页探究3：
(1)请你完成剩余部分；
(2)【实际应用】赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某市计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，已知水面的宽度为，拱桥最高点到水面的距离为9米，设桥拱上的点到水面的竖直高度米，到点的水平距离米．
①以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求与的函数关系式；
②据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计多少条龙舟赛道．
【答案】(1)，见解析
(2)①；②最多可设计5条龙舟赛道
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查二次函数的应用．
（1）依据题意，令，解方程求出x的值，即可得此时的水面宽度，再减去即可得水面增加的宽度；
（2）①由题意可知，拱桥所在抛物线的顶点为，可设拱桥所在抛物线的解析式为，将代入，求出k的值即可；
②依据题意，令，解方程求出x的值，求出可设计赛道的宽度，再除以8得出可设计赛道的条数．
【详解】（1）解：设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得，
，
即，
∴抛物线表示的二次函数为，
当时，，
解得，
此时水面宽度为，
∴水面下降，水面宽度增加；
（2）①解：由题意可知，拱桥所在抛物线的顶点为，
可设拱桥所在抛物线的解析式为，
将代入得，，
解得，
∴拱桥所在抛物线的解析式为；
②当时，，
解得或，
∴可设计赛道的宽度为，
∵，
∴最多可设计5条龙舟赛道．
10．（2025·广东深圳·一模）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可；
（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
（3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为，
将代入得，，解得，
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴，
将代入得，，解得，
∴，
将代入得，，解得，
∴，
∴，
综上所述，的取值范围是或．
题型04
二次函数压轴综合问题
1．（2025·江西新余·二模）在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线的顶点为，与轴交于点，．
(1)点的坐标为_____，（用含的代数式表示），点_____直线上（填“在”或“不在”）；
(2)将直线向上平移4个单位长度得到直线，若直线经过点，求直线的解析式；
(3)将直线向下平移得到直线，直线交轴于点．交抛物线的对称轴于点，且点的纵坐标为．
①若四边形为菱形，求的值；
②若直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小，求点的坐标．
【答案】(1)，在
(2)
(3)①；②点的坐标为
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）求出点坐标，代入一次函数解析式，进行判断即可；
（2）令，求出点坐标，利用平移规则求出的解析式，将点坐标代入，求出直线的解析式．
（3）①求出的长，根据菱形的边长相等，列出方程进行求解即可；
②设直线的解析式为，令，根据抛物线开口向上，直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小，得到直线与抛物线有且只有一个交点，得到，得到，平移得到，进而得到，求出的值，进而求出的值，进一步求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：，
．
∵当时，，
点在直线上．
故答案为：，在；
（2）解：令，
解得，，
点的坐标为，
由平移可得直线的解析式为．
将代入．
得，解得．
直线的解析式为；
（3）解：①点的纵坐标为，，
，
若四边形为菱形，则，
，
，
或0（舍去）；
②设直线的解析式为，
令，则．
抛物线开口向上，直线经过抛物线上一点，且点的纵坐标最小．
，
解得．
．
由平移可得，
，解得，
．
由，得，
解得，
点的横坐标为，
将代入，得，
点的坐标为．
2．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，设直线与y轴相交于点M，与抛物线相交于点A，B（A在B的左侧），取的中点P，的中点Q．
(1)当时，求P，Q两点的坐标；
(2)当时，求证：；
(3)对于范围内的所有k值，所对应的所有P，Q两点是否均在某一抛物线上？如果是，求此抛物线的解析式；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)P，Q两点的坐标分别为，
(2)见解析
(3)对于范围内的所有k值，所对应的所有P，Q两点均在抛物线上
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、其他问题(二次函数综合)、中点坐标
【分析】本题主要考查了抛物线与一次函数的交点问题，已知两点坐标求两点坐标等知识，求出二次函数与一次函数的交点是解题的关键．
（1）当时，得．联立抛物线和一次函数解析式，得出A，B两点的坐标，再根据中点坐标求解即可．
（2）证法一：联立抛物线和一次函数解析式，得出，进而求出A，B两点的坐标，再根据中点坐标期初P，Q两点的坐标，再根据两点之间的距离得出，再根据时，即可得出．
证法二：当时，得，，可推出当时，．
再根据，即可证得．
（3）解法同（2）证法一，解出P，Q两点的坐标，再令，消去k， ，进一步即可得出点Q也在抛物线上．
【详解】（1）解：当时，得．
根据题意，有，
解得，．
∴A，B两点的坐标分别为，．
∵的中点为P，的中点为Q，
∴P，Q两点的坐标分别为，．
（2）证明：方法一：
由直线与抛物线相交，
得．解得．
此时直线与抛物线的交点坐标为
，．
∵的中点为P，的中点为Q，
∴P，Q两点的坐标分别为和．
∴．
∴当时，总成立．
方法二：
当时，得，，
∴．
∴当时，．
∵，
∴当时，．
（3）解：∵，
由直线与抛物线相交，
得．解得．
此时直线与抛物线的交点坐标为
，．
∵的中点为P，的中点为Q，
∴P，Q两点的坐标分别为和．
令，
消去k，可得．
当时，，
∴点Q也在抛物线上．
∴对于范围内的所有k值，所对应的所有P，Q两点均在抛物线上．
3．（2025·江西·模拟预测）如图，二次函数的图象经过，两点，C为抛物线的顶点，其纵坐标为．
(1)直接写出顶点C的坐标；
求二次函数的解析式．
(2)若经过点A的抛物线与具有相同的对称轴．
判断：点B_____（填“在”或“不在”）在抛物线上．
将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，记为，D为的顶点，将C，D两点间的距离记为d，求d的取值范围．
【答案】(1)，（或）
(2)①在，②
【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值、垂线段最短、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题主要涉及二次函数的性质及应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）利用已知点的坐标可求出对称轴，可知顶点C的坐标；
已知顶点C的坐标，设二次函数解析式（顶点式），代入已知点，可得二次函数的解析式；
（2）因为抛物线与具有相同的对称轴，根据抛物线的对称性，所以点B在抛物线上；
直线为抛物线的对称轴．F为抛物线的顶点，F，B，D三点共线，且．过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E，可得的长，由D点在上，且点到直线的距离垂线最短，可得d的取值范围
【详解】（1）解：二次函数的图象经过，两点，
对称轴为
C为抛物线的顶点，其纵坐标为．
点C坐标为．
设二次函数解析式，将代入，
得，解得．
二次函数的解析式为或．
（2）解∶ ①在，
因为抛物线与具有相同的对称轴，且经过点，根据抛物线的对称
性，点关于对称轴的对称点为，所以点B在抛物线上．
如图，直线为抛物线的对称轴．
F为抛物线的顶点，
∴F，B，D三点共线，且．
过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E，
，．
∵将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，
点D在直线上运动.
∵，
d的取值范围为．
4．（2025·江西赣州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)若抛物线过点，求出抛物线的解析式．
(2)已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到轴的距离相等，求的值；
(3)如图，作与抛物线关于轴对称的抛物线，当抛物线与抛物线围成的封闭区域内（不包括边界）共有个横、纵坐标均为整数的点时，求出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】求不等式组的解集、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，解不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据待定系数法即可求解；
（）直线及抛物线与轴的交点都是，则可知另一交点坐标为，然后代入抛物线解析式即可求解；
（）根据题意列出由题意得，然后不等式组即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵直线及抛物线与轴的交点都是，
∴直线与抛物线的两个交点到轴的距离都是，且其中一个交点坐标为，
∴另一个交点的纵坐标为，
当时，由，得，
∴另一交点坐标为，
把代入得，
解得；
（3）解：由题意可知，抛物线与抛物线围成的封闭区域是以轴为对称轴的轴对称图形，
∴该区域内轴上有三个横、纵坐标均为整数的点，轴的下方和上方各有四个这样的点，且两两关于轴对称，如图所示：
对于抛物线，当时，，
当时，，
由题意得，
解得．
5．（2025·江西吉安·一模）抛物线的顶点坐标为点，与轴交于、两点（点在点的左侧）．
(1)若抛物线经过点，
①的值为______；点的坐标为______．
②______．
(2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到的抛物线恰好经过点，求的值．
(3)若点，在该抛物线上．
①当时，求的值；
②在①的条件下，是否存在实数，使得为等边三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
③当时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)①1，；②6
(2)2
(3)①2；②存在，；③
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、已知抛物线上对称的两点求对称轴、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）①把代入求得，则，即可得出顶点坐标；
②令，则，解得：，，则，，即可求解；
（2）由求得顶点坐标为，再根据抛物线平移规律得出平移后解析式为，把顶点代入求解即可；
（3）①根据，则对称轴为直线，又根据对称轴为直线，即可求解；
②由，则，，所以，不规则根据顶点的坐标为，则点到的距离为，然后根据等边三角形的性质得，，所以，即可求解；
③根据，则，即，再根据，则，求解即可．
【详解】（1）解：①把代入，得：
，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为点的坐标为，
②令，则，
解得：，，
∴，，
∴．
故答案为：①1；；②6．
（2）解：∵，
∴顶点坐标为，
又∵将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度，
∴平移后解析式为，
把代入，得：
，
．
（3）解：①，
对称轴为直线，
又对称轴为直线，
．
②存在，理由如下：
，
，，
，
又顶点的坐标为，
点到的距离为，
又为等边三角形，
∴，，
，
；
③∵，
∴，
即，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数图象平移，等边三角形的性质，解直角三角形，此题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系是解题的关键．
6．（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．
(1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号）
①；②；③
(2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值；
(3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系．
【答案】(1)①③
(2)；
(3)．
【知识点】y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质、等腰三角形的定义
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质．
（1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可；
（2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可；
（3）由（2）的结论，列式整理即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同，
∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等；
故答案为：①③；
（2）解：设交轴于，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
设点坐标为，代入抛物线，
得，
∴，（舍去），
∴，
∴，
∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等，
∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8，
∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8，
∴，∴；
（3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为，
抛物线的“完美三角形”的斜边长为，
∵，
∴，
整理得．
7．（2025·江西·模拟预测）如图，抛物线与直线交于，两点，点在抛物线上（点不与点，重合），过点作直线轴，交直线于点．点的横坐标为，点，到直线的距离分别为，．
特例感悟
（1）若抛物线的顶点为，试解答下列问题．
①当，直线与轴重合时，的长为______，______；
②当，直线轴，点的横坐标为时，的长为______，______；
③当，直线的函数解析式为时，的长为______，______．
归纳论证
（2）根据上述情况，在，，没有确定值的情形下，试猜想的长度与之间的数量关系，并证明．
拓展应用
（3）当点，的横坐标分别为，，且点在直线下方时，请利用上述结论求的最大面积．
【答案】（1）①；②；③；（2），见解析；（3）8
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)
【分析】本题主要考查二次函数图象的综合，掌握二次函数顶点式，二次函数与线段的关系，二次函数与几何图形面积的计算方法是关键．
（1）①根据题意抛物线的解析式为，即，当，，，，由此即可求解；②当，，，，，则，，，由此即可求解；③当，，，，，，，，，由此即可求解；
（2）如答图4，设点，的横坐标分别为，，直线的解析式为，，，，，由此即可求解；
（3）根据题意，有，，，，由（2）中结论得，根据几何图形面积的计算即可求解．
【详解】解：（1）抛物线的顶点为，
∴抛物线的解析式为，即，
∴抛物线与轴的交点为，，与轴的交点为，
如图所示，过点作直线轴，交直线于点．点的横坐标为，点，到直线的距离分别为，，
①当，即点的横坐标为，直线与轴重合，如答图1，
∴，，，
∴，
故答案为：；
②如答图2，当，直线轴，点的横坐标为，
当时，，
∴当时，，
解得，，
∴，，
∵点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：；
③如答图3，
由，
得，，
，，
又，，
，，，，；
（2）猜想结论：，
证明：如答图4，设点，的横坐标分别为，，直线的解析式为，
则，．
，，，，
∴
，
又，，
，
；
（3）如答图5．
根据题意，有，，，，
由（2）中结论得，
的最大面积为8．
8．（2025·江西·一模）已知抛物线的顶点为点P，抛物线关于直线l：对称的抛物线记为，点Q为抛物线为的顶点，改变n的值，点Q的位置会发生变化，在变化过程中，发现当时，点Q恰好落在x轴上．
(1)则点P的坐标为 ， ；
(2)求抛物线的解析式；
(3)如果抛物线与相交于点，，且．
①直接写出n的取值范围： ；
②求四边形的面积S（用含n的式子表示）；
③当四边形为正方形时，求n的值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)①；②；③
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据正方形的性质求线段长、面积问题(二次函数综合)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、正方形的判定等知识点，理解二次函数的性质以及数形结合思想成为解题的关键．
（1）先将抛物线化成顶点式确定顶点，再根据对称性求得，然后根据当时，点Q恰好落在x轴上，列方程求得，进而确定点P的坐标；
（2）先根据对称性求得，再根据抛物线、的开口大小相同，开口方向相反，直接写出函数解析式即可；
（3）①先说明点，在直线上，再根据函数图象即可解答；②如图：连接交直线l于点M，则，则；令，即，易得，进而得到，再根据轴对称的性质可得四边形是菱形，最后根据菱形的面积公式即可解答；③先说明当时，四边形是正方形，即，进而得到关于n的一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：，
∴顶点，
∵抛物线关于直线l：对称的抛物线记为，点Q为抛物线为的顶点，
∴点Q与点P关于直线l：对称，
∴，
∴，
∵当时，点Q恰好落在x轴上，
∴，解得：，
∴．
故答案为：，．
（2）解：由（1）可知抛物线，，
∵点Q与点P关于直线l：对称，
∴，
∵抛物线关于直线l：对称的抛物线记为，点Q为抛物线为的顶点，
∴抛物线、的开口大小相同，开口方向相反，
∴抛物线：．
（3）解：①∵抛物线与相交于点，，
∴点，在直线上，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当时，抛物线与有两个不同的交点，即，．
②如图：连接交直线l于点M，则，
∴，
∵抛物线与相交于点，，
令，即，
∴，
∴，
由对称性可得：，
∴四边形是菱形，
∴．
③∵四边形是菱形，
∴当时，四边形是正方形，
∴，即，
∴，解得：，，
∵，
∴．
9．（2025·江西·模拟预测）如图，已知二次函数的图象经过点，，且其顶点为．
(1)求二次函数的解析式及图象的对称轴．
(2)把二次函数的图象位于直线上方的部分向下翻折，将向下翻折后得到的部分与原二次函数图象位于直线下方的部分组合的图象记作图象，若直线（为常数）与图象有四个交点，从左到右依次记作，设点关于直线AB的对称点为点．
①求的取值范围；
②当为等边三角形时，求代数式的值．
【答案】(1)，直线
(2)①；②
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数与x轴交点坐标，二次函数的图象和性质，翻折的性质．
（1）把，，代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）①由（1）可得顶点的坐标为，由翻折的性质可得点的坐标为，结合图象即可得出的取值范围；
②作，垂足为，由直线与交于两点，得，设，则，，，再根据等腰三角形的性质得关于m的方程，解方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，把，，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为，
而，
二次函数图象的对称轴为直线；
（2）解：①由（1）可得顶点的坐标为，
点与点关于直线对称，
点的坐标为，
；
②如图，作，垂足为，
，
折叠部分图象的解析式为，
即，
直线与交于两点，
则，即，
设，
，
，
，
是等边三角形，
，
，即，
解得（舍去），，
，
．
10．（2025·江西·模拟预测）抛物线：中（是常数，且），函数值与自变量x之间的部分对应关系如下表：
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；
(2)求抛物线的解析式及m，n的值；
(3)现将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线：，试求的解析式；
(4)在（3）的条件下，将抛物线向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，B．
①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不少于6个单位长度？
②在最初的状态下，若向下平移个单位时，对应的线段长为n，请直接写出m与n的等量关系．
【答案】(1)下；直线；
(2)；
(3)；
(4)①至少向下平移9个单位长度；②
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点、平移变换、翻折变换等知识点，熟练掌握二次函数的三种形式是解题的关键．
（1）由表格信息可知，该函数有最大值可得抛物线开口方向向下，然后根据二次函数的对称性即可确定对称轴；
（2）先运用待定系数法求得抛物线的解析式，再分别令、即可求得m、n的值；
（3）根据题意求出抛物线的顶点坐标以及a的值即可解答；
（3）①抛物线向下平移过程中，对称轴，当之间的距离为6时，可知，此时抛物线C2的解析式为，即，据此即可解答；②抛物线下平移个单位后的解析式为，再求得，即，然后整理即可解答．
【详解】（1）解：由表格信息可知，该函数有最大值可得抛物线开口方向向下，
由表格信息可知：当时，函数值相同，则该抛物线的对称轴为：．
故答案为：向下，直线．
（2）解：由表格信息可知：抛物线过三点，
则，解得：，
∴抛物线的解析式为；
当时，；
当时，．
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，抛物线开口方向向下，
将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，根据对称性可知，抛物线的顶点为，，
∴的解析式为，即．
（4）解：①抛物线向下平移过程中，对称轴，当之间的距离为6时，可知，
∴此时抛物线的解析式为，即，
抛物线至少向下平移9个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位．
②抛物线下平移个单位后的解析式为，
令，有，解得：，
∴，
∴，即．
11．（2025·江西南昌·模拟预测）综合与实践：
【问题提出】如图（1）在中，，D为的中点，点P沿折线D—A—C运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y．
【初步感悟】（1）当点P在上运动时，①若，则_________；②y关于x的函数关系式为_________；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】（3）当时，的长为________，此时y关于x的函数图象上点的坐标为_________；
（4）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，求点A在内部时x和y的取值范围．
【答案】（1）①3；②；（2）；（3）0或1；或；（4）点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为．
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可；
（2）当时，点与点重合，求得，由题图（2）可知点与点重合时，，即，在中，利用勾股定理即可求解；
（3）分当和当时，即可求解；
（4）取的中点，连接，分析点的运动规律可求得，点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为．
【详解】解：（1）①若，则；
②y关于x的函数关系式为；
故答案为：3；；
（2）由题意可知，当时，点与点重合，
∴，此时，
连接，
由题图（2）可知点与点重合时，，即，
在中，，即，
∴（负值已舍），
当点在上运动时，，
∴，
∴在中，，
∴，
即当点在上运动时，y关于x的函数关系式为；
（3）当时，，
则时，，
解得（舍去）或（舍去）；
当时，，
则时，，
解得或；
当时，，此时，
当时，，此时，
∴当时，的长为0或1，此时y关于x的函数图象上点的坐标为或；
故答案为：0或1；或；
（4）由（2）知，，，
又∵D为的中点，
∴，
取的中点，连接，
∴，是的中位线，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
分析点的运动规律可知，当点运动到，即点运动到点处时，点与点重合，
点在线段(不含点)上运动时，点在内部，
当点运动到点处时，，此时；
当，；
∴点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为．
【点睛】本题是正方形综合题，主要考查了正方形的性质、求函数解析式、勾股定理、三角形中位线等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
12．（2025·江西九江·模拟预测）综合与实践
问题提出
如图，在中，，过点A作于点D，，点E从点B出发沿向点A运动，速度为1个单位长度/秒，点P从点D出发沿向点C运动，速度为2个单位长度/秒，过点E作，过点P作，点P在点E出发2秒后出发，当一动点到达终点时另一动点也停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积为S．
初步感知
（1）如图1，当时，解答下列问题：
（1）若，则S的值为________；
（2）S关于t的函数解析式为________．
（2）如图2，当时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图3所示的不完整的图象．请根据图象信息，解答下列问题：
①求图象最高点的坐标，并直接写出自变量t的取值范围；
②连接，若四边形是平行四边形，求S的值．
延伸探究
（3）当时，是否存在某一时刻t，使以点A，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②；（2）①最高点，；②；（3）存在，或或
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）①②当时，记交于点，过点E作于点M，由题意得，，可得，那么，可证明四边形为平行四边形，则，故，再把时代入即可求解；
（2）①当时，如图，过点E作于点M，记交于点，此时同上：，那么，再化为二次函数求最值；②由平行四边形的性质得到四边形，而四边形为平行四边形，则，故，即可求解面积；
（3）分三种情况讨论，结合相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质即可．
【详解】解：（1）①当时，记交于点，过点E作于点M，如图：
由题意得，
∵，
∴，
∴，
∵， ，，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，
故答案为：，；
解：②，解析见①，
故答案为：；
（2）①当时，如图，过点E作于点M，记交于点，
此时
同上：
∴，
∴，
∵，
∴最高点为：；
②如图：
∵，
∴四边形是平行四边形时，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
当时，如图：
由题意得：，
解得：；
当时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
解得：
当时，如图，过点作于点K，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
综上：或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数求最值问题，勾股定理等知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．（2025·江西·模拟预测）综合与实践
基础尝试
如图，抛物线经过，两点，与轴另一交点为．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
深入探究
（2）若将抛物线变为，为了使得与一直都有四个交点，求出的取值范围；
拓展运用
如果点是线段上一动点，过点的直线轴，分别交直线、抛物线于点、．连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止．
（3）当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为（2）（3）
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算
【分析】利用待定系数法求解即可；
由绝对值的性质可得的图象在轴及上方部分，找到翻折后顶点坐标，结合图象确定直线的运动范围，进而即可得解；
首先点的运动的时间值等于折线的长度值，由垂线段最短得出折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段，进而通过求直线交点即可得解．
【详解】解：由抛物线经过，两点可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令，
，
∴，
将，代入直线中，得：，解得，
∴直线的解析式为
由题意得，抛物线变为，
由(1)得，，
对于抛物线，将其化为顶点式，
抛物线的顶点坐标为，
的图象是将抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，而轴上方的部分保持不变，
翻折后顶点变为，
要使与一直都有四个交点，那么直线应该在轴和翻折后的抛物线顶点之间，图象如图所示，
的取值范围为．
如图，过点作轴于点，则，，，
，
．
过点作轴交直线于点，则，，如上图，
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，
，即运动的时间值等于折线的长度值，
由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．
过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点，如上图，
直线的解析式为，
点横坐标为，
，
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
水平距离
3
4
竖直高度
10
10
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．水面下降，水面宽度增加多少？
分析：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系．
解：设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得，
，即，…
x
…
0
1
2
…
y₁
…
m
n
…