专题05 二次函数综合压轴题(21题)-五年（2021-2025）中考数学真题分类汇编（含答案）（江西专用）

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1．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论：
①是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②是“不动点函数”，且不动点是；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件；
探究2：
（3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
探究3：
（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．
【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断；
（2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解；
（3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到；
（4）根据题意得，，令，解方程即可求解．
【详解】解：（1）①对于，
由于，
所以不是“不动点函数”，原说法错误；
②对于，代入点，
得，
解得，
所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确．
故答案为：③；
（2）∵一次函数是“不动点函数”，
∴代入点，
得，
整理得，
当即且时，为任意实数；
当即时，；
（3）由抛物线得，
顶点坐标为，
∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
∴；
（4）根据题意得，，
∴令，
整理得，
解得，，
∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键．
2．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
(1)①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
【答案】(1)①3，6；②；
(2)①8，②
【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，
（1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标；
（2）①根据第一问可知最大高度为8米；
②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．
【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∴，
当时，，
故答案为：3，6．
②联立得：，
解得：或 ，
∴点A的坐标是，
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8；
②，
则，
解得（负值舍去）．
3．（2023·江西·中考真题）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系

(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
(3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
【答案】(1)①3；②
(2)，
(3)①4；②
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．
【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
（3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
4．（2022·江西·中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【答案】(1)66
(2)①基准点K的高度h为21m；②b＞；
(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【详解】（1）解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
5．（2021·江西·中考真题）二次函数的图象交轴于原点及点．
感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【答案】（1）①2，0；②见解析；（2）①；②；③m=1．
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为 (3m，)，再根据题意即可求解．
【详解】（1）∵点B(-1，3)与点B′(5，-3)关于点A中心对称，
∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
（2）①当m=−1时，抛物线L为，对称轴为，
它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为：；
②画出草图，
由图象知，这条抛物线的解析式只能是；
故答案为：；
③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，
由题意可知△PMA≌△A，
得 (3m，0)，所以 (3m，)，
∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，
∴=m或=m，
解得m=1或0，
当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴m=1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
6．（2025·江西吉安·一模）某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由；
(3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)米
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求函数表达式，理解题意，将题目中的数据和函数表达式对应是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由题意得，点F的横坐标为，当时，，即可求解；
（3）设提高h米，则新抛物线的表达式为，由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为，当时，，则符合要求，即可求解．
【详解】（1）解：把点和点代入得，
，
解得，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：不能，理由：
由题意得，点F的横坐标为，
当时，，
故校车不能完全停到车棚内；
（3）解：根据题意得：新抛物线的表达式为：，
由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为，
当时，，
则，
故米，
7．（2025·江西宜春·二模）如图（1），在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系．
初步感知
（1）当点P由点A运动到点C时，
①若， __________；
②S关于t的函数解析式为__________．
深入探究
（2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图（2）所示．
①的值为__________；
②求S关于t的函数解析式．
延伸探究
（3）当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，．
①求与的数量关系；
②当时，的值为__________．
【答案】（1）①1；②；（2）①16；②；（3）①；②10
【分析】本题考查动点的函数图象，含30度角的直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）①作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；②同①法计算即可；
（2）①把代入（1）①中的解析式，计算即可；②待定系数法求出函数解析式即可；
（3）①根据时，，列出比例式进行求解即可；②联立①的等式和，求出，进而求出，即可．
【详解】解：（1）①当时，，
作于点，
∵，
∴，
∴平行四边形的面积为；
②由题意，得：，
∴，
∴；
（2）①由图象可知，当时，此时点恰好运动到点，由（1）②可知：，
故；
②由图象和①可知，抛物线过，代入，
得
解得，
∴S关于t的函数解析式为
（3）①由题图（2）可知，点P与点C重合时，，点P与点B重合时，，
∴，
由题意可知，，
∴
当时，则：，
∴，
∴，
∴
②联立，解得
∴，，
∴．
8．（2025·江西赣州·二模）已知抛物线：与轴交于点．其中自变量与函数值的部分对应值如下表：
(1)抛物线的对称轴为直线______，点的坐标______；
求抛物线的解析式及的值．
(2)如图，将抛物线绕点旋转后，得到抛物线．
抛物线的解析式为______；
记抛物线，组合得到的新图象为，图象与过点的直线有且仅有一个交点，请求出的取值范围．
【答案】(1)；；，；
(2)；．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据对称轴的求法即可求出对称轴，利用利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求点的坐标；
由可得出抛物线的解析式，把点代入即可求出；
（2）设的顶点为，的顶点为，由题意可知点与点关于点对称，抛物线的开口方向相反，利用中点坐标公式求出点的坐标，即可求解；
直线经过点，即直线为，当过点的直线与、有且仅有一个交点时，解得，当时，直线无限靠近轴，与图象有且仅有一个交点，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可知，当时，或，
对称轴为，
把，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
，
故答案为：，；
由可知，抛物线的解析式为，
把代入，得：，
解得：；
（2）解：如图：设的顶点为，的顶点为，
当时，，
，
将抛物线绕点旋转后，得到抛物线，
点与点关于点对称，抛物线的开口方向相反，
，
，，
，
抛物线的解析式为；
直线经过点，
，即直线为，
当过点的直线与有且仅有一个交点时，
令，即，
，
解得：，
当过点的直线与有且仅有一个交点时，
令，即，
，
解得：，
当时，直线无限靠近轴，与图象有且仅有一个交点，
故图象与过点的直线有且仅有一个交点时，的取值范围是．
9．（2025·江西九江·二模）已知二次函数．
(1)求证：该二次函数的图象与轴始终有两个交点；
(2)若该二次函数图象的顶点坐标为．
①当取不同值时，发现点均在一个函数图象上，求这个函数图象的解析式；
②若①中函数图象上的点在直线的上方，写出点的横坐标的取值范围，并求点到直线的最大距离．
【答案】(1)见解析
(2)①；②，
【分析】（1）根据题意，列出判别式，得出即可作答．
（2）①先整理原式，得次函数图象的顶点坐标为．再设故，则，即这个函数图象的解析式为．②先运算出函数的图象与直线的交点的横坐标为0，2．再证明是等腰直角三角形，过点作轴，交直线于点，过点作，整理得，结合，当时，的值最大为1，满足，最后在中，则，代入数值计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵二次函数，
∴
该二次函数的图象与轴始终有两个交点；
（2）解：①∵二次函数，
∴对称轴为，
把代入，
得
∴二次函数图象的顶点坐标为．
设
．
．
这个函数图象的解析式为．
②∵①中函数图象上的点在直线的上方，
∴令，
整理得
解得．
函数的图象与直线的交点的横坐标为0，2．
记直线与轴，轴的交点坐标分别为点，
令时，则，
∴，
即，
令时，则，
即，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
抛物线的开口向下，
点的横坐标的取值范围为．
过点作轴，交直线于点，过点作，
设，
则
∵
当时，的值最大为1，满足，
∵轴，
∴，
∵，
∴在中，则，
∴
当最大时，就有最大值，
∵当时，的值最大为1，
∴．
点到该直线的最大距离为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形的相关性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
10．（2025·江西吉安·一模）抛物线的顶点坐标为点，与轴交于、两点（点在点的左侧）．
(1)若抛物线经过点，
①的值为______；点的坐标为______．
②______．
(2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到的抛物线恰好经过点，求的值．
(3)若点，在该抛物线上．
①当时，求的值；
②在①的条件下，是否存在实数，使得为等边三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
③当时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)①1，；②6
(2)2
(3)①2；②存在，；③
【分析】（1）①把代入求得，则，即可得出顶点坐标；
②令，则，解得：，，则，，即可求解；
（2）由求得顶点坐标为，再根据抛物线平移规律得出平移后解析式为，把顶点代入求解即可；
（3）①根据，则对称轴为直线，又根据对称轴为直线，即可求解；
②由，则，，所以，不规则根据顶点的坐标为，则点到的距离为，然后根据等边三角形的性质得，，所以，即可求解；
③根据，则，即，再根据，则，求解即可．
【详解】（1）解：①把代入，得：
，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为点的坐标为，
②令，则，
解得：，，
∴，，
∴．
故答案为：①1；；②6．
（2）解：∵，
∴顶点坐标为，
又∵将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度，
∴平移后解析式为，
把代入，得：
，
．
（3）解：①，
对称轴为直线，
又对称轴为直线，
．
②存在，理由如下：
，
，，
，
又顶点的坐标为，
点到的距离为，
又为等边三角形，
∴，，
，
；
③∵，
∴，
即，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数图象平移，等边三角形的性质，解直角三角形，此题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系是解题的关键．
11．（2025·江西·一模）已知抛物线的顶点为点P，抛物线关于直线l：对称的抛物线记为，点Q为抛物线为的顶点，改变n的值，点Q的位置会发生变化，在变化过程中，发现当时，点Q恰好落在x轴上．
(1)则点P的坐标为 ， ；
(2)求抛物线的解析式；
(3)如果抛物线与相交于点，，且．
①直接写出n的取值范围： ；
②求四边形的面积S（用含n的式子表示）；
③当四边形为正方形时，求n的值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)①；②；③
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、正方形的判定等知识点，理解二次函数的性质以及数形结合思想成为解题的关键．
（1）先将抛物线化成顶点式确定顶点，再根据对称性求得，然后根据当时，点Q恰好落在x轴上，列方程求得，进而确定点P的坐标；
（2）先根据对称性求得，再根据抛物线、的开口大小相同，开口方向相反，直接写出函数解析式即可；
（3）①先说明点，在直线上，再根据函数图象即可解答；②如图：连接交直线l于点M，则，则；令，即，易得，进而得到，再根据轴对称的性质可得四边形是菱形，最后根据菱形的面积公式即可解答；③先说明当时，四边形是正方形，即，进而得到关于n的一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：，
∴顶点，
∵抛物线关于直线l：对称的抛物线记为，点Q为抛物线为的顶点，
∴点Q与点P关于直线l：对称，
∴，
∴，
∵当时，点Q恰好落在x轴上，
∴，解得：，
∴．
故答案为：，．
（2）解：由（1）可知抛物线，，
∵点Q与点P关于直线l：对称，
∴，
∵抛物线关于直线l：对称的抛物线记为，点Q为抛物线为的顶点，
∴抛物线、的开口大小相同，开口方向相反，
∴抛物线：．
（3）解：①∵抛物线与相交于点，，
∴点，在直线上，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当时，抛物线与有两个不同的交点，即，．
②如图：连接交直线l于点M，则，
∴，
∵抛物线与相交于点，，
令，即，
∴，
∴，
由对称性可得：，
∴四边形是菱形，
∴．
③∵四边形是菱形，
∴当时，四边形是正方形，
∴，即，
∴，解得：，，
∵，
∴．
12．（2025·江西抚州·模拟预测）综合与实践
特例感知
（1）如图1，在等腰直角中，D为斜边的中点，P是斜边上一动点，过点P分别作与的垂线，垂足分别为E，F，连接，，则，的关系是______．
类比迁移
（2）如图2，在等腰直角中，D为斜边的中点，P是斜边延长线上一动点，过点P分别与的垂线，垂足分别为E，F，连接，，．求证：是等腰直角三角形．
拓展应用
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，C是的中点，P是射线上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为F，D，连接，，，点E与点C关于对称，连接，．
①当点P在线段上运动时，请判断点E是否在一条直线上运动．若在，请直接写出这条直线的解析式；若不在，请说明理由．
②设点F的横坐标为x，四边形的面积为y，求y与x的函数解析式，并在如图4所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
【答案】（1），，证明见解析；（2）证明见解析；（3）①在直线上，理由见详解；②，画图见解析
【分析】（1）如图，连接，证明四边形是矩形，，可得，，，再证明，进一步可得结论；
（2）如图，连接，证明四边形是矩形，，可得，，可得，证明，可得，，证明；可得是等腰直角三角形；
（3）①如图，连接，过分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，为等腰直角三角形，同理可得：，，，结合点E与点C关于对称，可得四边形是正方形，证明，可得，，求解直线为：，
设，，可得，可得在直线上；
②由①得：当在线段上，，则，，如图，当在直线上，同理可得：，而，四边形的面积为，再画图即可.
【详解】解：（1），；理由如下：
如图，连接，
∵在等腰直角中，，，D为斜边的中点，
∴，，，
∵过点P分别作与的垂线，垂足分别为E，F，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
∵在等腰直角中，，，D为斜边的中点，
∴，，，
∴，
∵过点P分别作与的垂线，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
∴是等腰直角三角形；
（3）①如图，连接，过分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵点A，B的坐标分别为，，C是的中点，
∴，为等腰直角三角形，
同理可得：，，，
∵点E与点C关于对称，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点A，B的坐标分别为，，
设直线为：，
∴，解得：，
∴直线为：，
设，则，
∴,，
同理可得：,
∴，，
∴，
∴在直线上；
②由①得：当在线段上，，，，
∴四边形的面积为，
如图，当在线段延长线或线段的延长线上，同理可得：，而，
∴四边形的面积为，
综上：四边形的面积为，
如图，描点画图如下：
.
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定与性质，求解一次函数的解析式，列二次函数关系式，画二次函数的图象，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.
13．（2025·江西萍乡·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，抛物线的图象经过点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积；
(3)在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)9.5
(3)存在，
【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式，可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式；
（2）过点C作轴，垂足为点K，首先证明，从而可得到，，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据扫过区域的面积为，求解即可；
（3）当时，过点P作轴，垂足为G，先证明，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可，当，过点P作轴，垂足为点F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可．
【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上，
，解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：过点C作轴，垂足为K．
为等腰直角三角形，
．
又，
．
又，
．
在和中，
，
，
，．
，．
∴当点B平移到点D时，设，
则，解得（舍去）或．
由题意可得扫过区域的面积为平行四边形和的面积和，
即；
（3）解：存在；
当时，过点P作轴，垂足为G．
为等腰直角三角形，
，．
．
又，
．
在和中，
，
，
，，
∴．
当时，，
∴点不在抛物线上．
当，过点P作轴，垂足为F．
同理可知：，
，，
．
当时，，
∴点在抛物线上，
综上，所有符合条件的点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
14．（2025·江西宜春·模拟预测）如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
(1)求此函数的关系式；
(2)在下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？
(3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，分割法表示出的面积，转化为二次函数求最值即可；
（3）分为边，和为对角线，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：，
，
代入，得：
，
解得：；
∴此函数的解析式为；
（2）解：存在．的面积最大为，
如图1，过点作轴于点，交于点，
设的解析式为，将代入，得：，
∴直线解析式为，
设点的坐标为，
则点的坐标为，
，
∴，
∴当时，此时，的面积最大为；
（3）如图2，抛物线对称轴为，
①以为边，则，且．
设，则，
，解得，
当时，；当时，；
故或；
②以为对角线，则与互相平分，
设
的中点
．
把代入，得．
，
综上所述，或或．
15．（2025·江西新余·模拟预测）抛物线 与y轴相交于点 与x轴相交于点 、，点 D 是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上有一点 P，求出使的值最小时点 P 的坐标，并求出此时 的最小值；
(3)在（2）的条件下，在第四象限中的抛物线上是否存在一点 E，过点E作轴 交x轴于点 F，使 与 相似？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点 P，待定系数法求出直线的表达式为 ，再求出点 P 的坐标为，最后求出最小值即可；
（3）设 ，则，得出，，，，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与y轴相交于点，与x轴相交于点、，
∴把点A，点B，点C 的坐标代入 得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点 P，如图所示：
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即的值最小，
∵点B 的坐标为，
∴点的坐标为，
∵，
∴顶点坐标，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为 ，
当时，，
∴点 P 的坐标为；
则最小值为：；
（3）解：在第四象限中的抛物线上存在点 E，使与相似；
理由如下：设 ，则，
∴，，，，
①当时，
∴，
即，
解得：，（舍去），
此时点；
②当时，
∴，
即，
解得：，（舍去），
此时点；
综上所述，点E坐标为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数的解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
16．（2025·江西·模拟预测）如图，抛物线与直线交于，两点，点在抛物线上（点不与点，重合），过点作直线轴，交直线于点．点的横坐标为，点，到直线的距离分别为，．
特例感悟
（1）若抛物线的顶点为，试解答下列问题．
①当，直线与轴重合时，的长为______，______；
②当，直线轴，点的横坐标为时，的长为______，______；
③当，直线的函数解析式为时，的长为______，______．
归纳论证
（2）根据上述情况，在，，没有确定值的情形下，试猜想的长度与之间的数量关系，并证明．
拓展应用
（3）当点，的横坐标分别为，，且点在直线下方时，请利用上述结论求的最大面积．
【答案】（1）①；②；③；（2），见解析；（3）8
【分析】本题主要考查二次函数图象的综合，掌握二次函数顶点式，二次函数与线段的关系，二次函数与几何图形面积的计算方法是关键．
（1）①根据题意抛物线的解析式为，即，当，，，，由此即可求解；②当，，，，，则，，，由此即可求解；③当，，，，，，，，，由此即可求解；
（2）如答图4，设点，的横坐标分别为，，直线的解析式为，，，，，由此即可求解；
（3）根据题意，有，，，，由（2）中结论得，根据几何图形面积的计算即可求解．
【详解】解：（1）抛物线的顶点为，
∴抛物线的解析式为，即，
∴抛物线与轴的交点为，，与轴的交点为，
如图所示，过点作直线轴，交直线于点．点的横坐标为，点，到直线的距离分别为，，
①当，即点的横坐标为，直线与轴重合，如答图1，
∴，，，
∴，
故答案为：；
②如答图2，当，直线轴，点的横坐标为，
当时，，
∴当时，，
解得，，
∴，，
∵点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：；
③如答图3，
由，
得，，
，，
又，，
，，，，；
（2）猜想结论：，
证明：如答图4，设点，的横坐标分别为，，直线的解析式为，
则，．
，，，，
∴
，
又，，
，
；
（3）如答图5．
根据题意，有，，，，
由（2）中结论得，
的最大面积为8．
17．（2025·江西·模拟预测）如图，已知二次函数的图象经过点，，且其顶点为．
(1)求二次函数的解析式及图象的对称轴．
(2)把二次函数的图象位于直线上方的部分向下翻折，将向下翻折后得到的部分与原二次函数图象位于直线下方的部分组合的图象记作图象，若直线（为常数）与图象有四个交点，从左到右依次记作，设点关于直线AB的对称点为点．
①求的取值范围；
②当为等边三角形时，求代数式的值．
【答案】(1)，直线
(2)①；②
【分析】本题考查二次函数与x轴交点坐标，二次函数的图象和性质，翻折的性质．
（1）把，，代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）①由（1）可得顶点的坐标为，由翻折的性质可得点的坐标为，结合图象即可得出的取值范围；
②作，垂足为，由直线与交于两点，得，设，则，，，再根据等腰三角形的性质得关于m的方程，解方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，把，，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为，
而，
二次函数图象的对称轴为直线；
（2）解：①由（1）可得顶点的坐标为，
点与点关于直线对称，
点的坐标为，
；
②如图，作，垂足为，
，
折叠部分图象的解析式为，
即，
直线与交于两点，
则，即，
设，
，
，
，
是等边三角形，
，
，即，
解得（舍去），，
，
．
18．（2025·江西·模拟预测）抛物线：中（是常数，且），函数值与自变量x之间的部分对应关系如下表：
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；
(2)求抛物线的解析式及m，n的值；
(3)现将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线：，试求的解析式；
(4)在（3）的条件下，将抛物线向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，B．
①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不少于6个单位长度？
②在最初的状态下，若向下平移个单位时，对应的线段长为n，请直接写出m与n的等量关系．
【答案】(1)下；直线；
(2)；
(3)；
(4)①至少向下平移9个单位长度；②
【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点、平移变换、翻折变换等知识点，熟练掌握二次函数的三种形式是解题的关键．
（1）由表格信息可知，该函数有最大值可得抛物线开口方向向下，然后根据二次函数的对称性即可确定对称轴；
（2）先运用待定系数法求得抛物线的解析式，再分别令、即可求得m、n的值；
（3）根据题意求出抛物线的顶点坐标以及a的值即可解答；
（3）①抛物线向下平移过程中，对称轴，当之间的距离为6时，可知，此时抛物线C2的解析式为，即，据此即可解答；②抛物线下平移个单位后的解析式为，再求得，即，然后整理即可解答．
【详解】（1）解：由表格信息可知，该函数有最大值可得抛物线开口方向向下，
由表格信息可知：当时，函数值相同，则该抛物线的对称轴为：．
故答案为：向下，直线．
（2）解：由表格信息可知：抛物线过三点，
则，解得：，
∴抛物线的解析式为；
当时，；
当时，．
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，抛物线开口方向向下，
将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，根据对称性可知，抛物线的顶点为，，
∴的解析式为，即．
（4）解：①抛物线向下平移过程中，对称轴，当之间的距离为6时，可知，
∴此时抛物线的解析式为，即，
抛物线至少向下平移9个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位．
②抛物线下平移个单位后的解析式为，
令，有，解得：，
∴，
∴，即．
19．（2025·江西九江·模拟预测）综合与实践
问题提出
如图，在中，，过点A作于点D，，点E从点B出发沿向点A运动，速度为1个单位长度/秒，点P从点D出发沿向点C运动，速度为2个单位长度/秒，过点E作，过点P作，点P在点E出发2秒后出发，当一动点到达终点时另一动点也停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积为S．
初步感知
（1）如图1，当时，解答下列问题：
（1）若，则S的值为________；
（2）S关于t的函数解析式为________．
（2）如图2，当时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图3所示的不完整的图象．请根据图象信息，解答下列问题：
①求图象最高点的坐标，并直接写出自变量t的取值范围；
②连接，若四边形是平行四边形，求S的值．
延伸探究
（3）当时，是否存在某一时刻t，使以点A，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②；（2）①最高点，；②；（3）存在，或或
【分析】（1）①②当时，记交于点，过点E作于点M，由题意得，，可得，那么，可证明四边形为平行四边形，则，故，再把时代入即可求解；
（2）①当时，如图，过点E作于点M，记交于点，此时同上：，那么，再化为二次函数求最值；②由平行四边形的性质得到四边形，而四边形为平行四边形，则，故，即可求解面积；
（3）分三种情况讨论，结合相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质即可．
【详解】解：（1）①当时，记交于点，过点E作于点M，如图：
由题意得，
∵，
∴，
∴，
∵， ，，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，
故答案为：，；
解：②，解析见①，
故答案为：；
（2）①当时，如图，过点E作于点M，记交于点，
此时
同上：
∴，
∴，
∵，
∴最高点为：；
②如图：
∵，
∴四边形是平行四边形时，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
当时，如图：
由题意得：，
解得：；
当时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
解得：
当时，如图，过点作于点K，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
综上：或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数求最值问题，勾股定理等知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．（2025·江西南昌·模拟预测）综合与实践：
【问题提出】如图（1）在中，，D为的中点，点P沿折线D—A—C运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y．
【初步感悟】（1）当点P在上运动时，①若，则_________；②y关于x的函数关系式为_________；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】（3）当时，的长为________，此时y关于x的函数图象上点的坐标为_________；
（4）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，求点A在内部时x和y的取值范围．
【答案】（1）①3；②；（2）；（3）0或1；或；（4）点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为．
【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可；
（2）当时，点与点重合，求得，由题图（2）可知点与点重合时，，即，在中，利用勾股定理即可求解；
（3）分当和当时，即可求解；
（4）取的中点，连接，分析点的运动规律可求得，点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为．
【详解】解：（1）①若，则；
②y关于x的函数关系式为；
故答案为：3；；
（2）由题意可知，当时，点与点重合，
∴，此时，
连接，
由题图（2）可知点与点重合时，，即，
在中，，即，
∴（负值已舍），
当点在上运动时，，
∴，
∴在中，，
∴，
即当点在上运动时，y关于x的函数关系式为；
（3）当时，，
则时，，
解得（舍去）或（舍去）；
当时，，
则时，，
解得或；
当时，，此时，
当时，，此时，
∴当时，的长为0或1，此时y关于x的函数图象上点的坐标为或；
故答案为：0或1；或；
（4）由（2）知，，，
又∵D为的中点，
∴，
取的中点，连接，
∴，是的中位线，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
分析点的运动规律可知，当点运动到，即点运动到点处时，点与点重合，
点在线段(不含点)上运动时，点在内部，
当点运动到点处时，，此时；
当，；
∴点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为．
【点睛】本题是正方形综合题，主要考查了正方形的性质、求函数解析式、勾股定理、三角形中位线等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
21．（2025·江西·模拟预测）综合与实践
基础尝试
如图，抛物线经过，两点，与轴另一交点为．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
深入探究
（2）若将抛物线变为，为了使得与一直都有四个交点，求出的取值范围；
拓展运用
如果点是线段上一动点，过点的直线轴，分别交直线、抛物线于点、．连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止．
（3）当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为（2）（3）
【分析】利用待定系数法求解即可；
由绝对值的性质可得的图象在轴及上方部分，找到翻折后顶点坐标，结合图象确定直线的运动范围，进而即可得解；
首先点的运动的时间值等于折线的长度值，由垂线段最短得出折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段，进而通过求直线交点即可得解．
【详解】解：由抛物线经过，两点可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令，
，
∴，
将，代入直线中，得：，解得，
∴直线的解析式为
由题意得，抛物线变为，
由(1)得，，
对于抛物线，将其化为顶点式，
抛物线的顶点坐标为，
的图象是将抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，而轴上方的部分保持不变，
翻折后顶点变为，
要使与一直都有四个交点，那么直线应该在轴和翻折后的抛物线顶点之间，图象如图所示，
的取值范围为．
如图，过点作轴于点，则，，，
，
．
过点作轴交直线于点，则，，如上图，
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，
，即运动的时间值等于折线的长度值，
由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．
过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点，如上图，
直线的解析式为，
点横坐标为，
，
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
6
8
n
…
…
（___，___）
…
…
…
…
1
2
3
4
5
…
…
0
0
3
8
…
x
…
0
1
2
…
y₁
…
m
n
…