专题06 二次函数-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（江西专用）(原卷版+解析版)

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一．二次函数的图象和性质（共2小题）
1．（2021·江西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
二．利用二次函数的图象和性质解决实际问题（共2小题）
1．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
(1)①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
2．（2022·江西·中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
三．二次函数与几何动点的综合问题（共1小题）
23．（2023·江西·中考真题）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系

(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
(3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
四．二次函数的变换问题（共1小题）
22．（2021·江西·中考真题）二次函数的图象交轴于原点及点．
感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
五．二次函数中瓜豆原理问题（共1小题）
22．（2020·江西·中考真题）已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；
（2）求抛物线的表达式及的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系 ．

一．二次函数的图象和性质（共5小题）
1．（2024·江西·一模）下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（ ）
A．开口向下B．顶点坐标为
C．方程的解是D．当，函数值小于0
2．（2024·江西吉安·三模）抛物线的与的部分对应值如下表：
则下列判断错误的是（ ）
A．该抛物线的开口向下B．当时，随的增大而减小
C．D．该抛物线与轴只有一个交点
3．（2024·江西吉安·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），平移该抛物线，使点平移后的对应点落在原抛物线的对称轴上，点平移后的对应点落在直线上，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·江西赣州·二模）在平面坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．现将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，两点，且，下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．（2024·江西抚州·一模）如图，在平面直角坐标系中，有两条顶点（点和点）都在轴上的抛物线、这两抛物线与在轴上方且平行轴的直线交于，，，四点，，，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
二．二次函数的图象与系数的关系（共1小题）
1．（2023·江西南昌·一模）如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①，②（为任意实数）；③若点为对称轴上的动点，则有取大值，最大值为；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的序号有（ ）．
A．①②③④B．①②③C．③④D．①②④
三．二次函数的图象共存问题（共1小题）
1．（2024·江西南昌·一模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
四．二次函数图象的平移问题（共2小题）
1．（2024·江西南昌·二模）已知抛物线的解析式：．
(1)若抛物线经过原点．
① ；
②将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线的解析式为 ；
(2)在（1）的条件下，将抛物线沿直线平移得到抛物线．抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，若，求抛物线的解析式；
(3)设抛物线的顶点为点，抛物线与轴交于，两点，连接，，在围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个，直接写出的取值范围．
2．（2024·江西南昌·模拟预测）综合与实践
特例感知
（1）如图1，对于抛物线，，，，下列结论正确的序号是________．
①抛物线，，，的对称轴是直线；
②抛物线，，，由抛物线依次向上平移2个单位长度得到；
③抛物线，，，与直线的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等．
概念形成
把满足的抛物线称为“族抛物线”．
知识应用
如图2，“族抛物线”的顶点依次为，，，，…，．
（2）试求线段的长．（用含的代数式表示）
（3）“族抛物线”，，，…，上分别有点，，，…，，它们的横坐标分别是2，3，4，…，.试判断点，，，…，是否在同一条直线上，如果在，求出此直线的解析式；如果不在，请说明理由．
五．二次函数与直线的交点问题（共2小题）
1．（2024·江西·二模）已知二次函数．
(1)求证：该二次函数的图象与轴始终有交点．
(2)若该二次函数图象的顶点坐标为，
①与的函数关系是 ；
②已知直线分别交轴，轴于点C，D，若位于①中的函数图象上的点A在直线的上方，直接写出点A的横坐标的取值范围，并求点A到直线的最大距离．
2．（2024·江西·一模）已知关于的二次函数．
(1)求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有两个交点；
(2)若二次函数的顶点的坐标为，求与之间的函数关系及的最大值．
六．利用二次函数解决实际问题（共5小题）
1．（2024·江西景德镇·二模）【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线（点P为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
2．（2024·江西抚州·一模）如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心．
(1)求水管的长度；
(2)若在喷水池中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与之间的水平距离；
(3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要升高多少？
3．（2024·江西九江·一模）“元宵节”吃元宵是中国的传统习俗，某超市购进一种品牌元宵，每盒进价是30元，并规定每盒售价不得少于40元，日销售量不低于350盒．根据以往的销售经验发现，当每盒售价定为40元时，日销售量为500盒，且每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
(1)当时，_____；
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
4．（2024·江西南昌·一模）某工厂生产某种体育器材，生产这种体育器材每件的成本（元）与产量（件）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，．
(1)求与之间的函数解析式．
(2)该工厂计划生产这种体育器材不超过300件，且每件的成本不超过800元，已知这种体育器材每件的售价为1200元，且全部售出，求当产量为多少件时，该工厂生产这种体育器材的利润最大，并求出最大利润．
5．（2024·江西·一模）小明大学毕业后积极自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款乡村太阳能美化路灯，该灯成本是40元/盏．通过调研发现，若按50元/盏销售，一个月可售500盏；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏．
(1)月销售量m（盏）与销售单价x（元/盏）之间的函数关系式为______．
(2)小明若想让太阳能美化路灯的月销售利润达到8000元，则太阳能美化路灯销售单价应定为多少元？
(3)太阳能美化路灯的销售单价定为多少元时，月销售能获得最大利润？最大利润是多少元？
七．二次函数与几何动点的综合问题（共4小题）
1．（2024·江西吉安·一模）综合与实践
问题提出
如图1，在矩形中，已知，，点P沿折线运动（运动到C点停止），过点P作，当点P在上运动时，交于点M；当点P在上运动时，交于点M．设点P运动的路程为x，在运动过程中的面积为y．
初步感悟
（1）当点P在上运动时，①若，则_______；②y关于x的函数关系式为_________；
（2）如图2，当点P由点D运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数关系，求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
延伸探究
（3）设点P沿运动过程中y取得最大值，则当点P在上运动的过程中，是否也存在y值为？如果存在，求此时的长；如果不存在，则说明理由．
2．（2024·江西九江·二模）综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形中，分别是上一点，且．点从点出发，沿正方形的边顺时针运动；点同时从点出发，沿正方形的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时两点都停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，探究与的关系．
初步感知
根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画出．
（1）的长为______，的长为______．
（2）的值为______，的最大值为______．
延伸探究
（3）请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整．
（4）求的值，并求出当时，的取值范围．

3．（2024·江西赣州·二模）如图，在矩形中，已知，点是的中点．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，，设动点运动的时间为秒，的面积为，图中的曲线是动点在线段上时与的函数图象．
(1)
填空：
①____________；
②当时，直接写出与的函数解析式为____________．
(2)经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
(3)在整个运动过程中，若存在某个时刻，，，使得的值相等．
①求出的取值范围；
②当时，求的值．
4．（2024·江西吉安·一模）综合与实践
问题提出

如图1，在中，，，点D在上，，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边作正方形．设点P运动的线路长为x，正方形的面积为y．
初步感悟
（1）当点P在上运动时，若，则
①______，y关于x的函数关系式为______；
②连接，则长为______．
（2）当点P在上运动时，求y关于x的函数解析式．
延伸探究
（3）如图2，将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，解决如下问题：
①当点P的运动到使时，图像上对应点的坐标为______；
②当将正方形分成面积相等的两部分时，与正方形交于点G、H两点，请直接写出此时的长，以及自变量和函数的值．
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
6
8
n
…
…
（___，___）
…
…
…
…
-2
-1
0
1
2
…
…
0
-3
-3
…
…
0
…
…
0
3
3
…