2025中考数学-题型归纳讲练(通用版)热点必刷题06二次函数综合解答题压轴50题(9类题型50题)(原卷版+解析)

这是一份2025中考数学-题型归纳讲练(通用版)热点必刷题06二次函数综合解答题压轴50题(9类题型50题)(原卷版+解析)，文件包含2025中考数学-题型归纳讲练通用版热点必刷题06二次函数综合解答题压轴50题9类题型50题原卷版docx、2025中考数学-题型归纳讲练通用版热点必刷题06二次函数综合解答题压轴50题9类题型50题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共176页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc6080" 一、二次函数中的定点问题 PAGEREF _Tc6080 \h 2
\l "_Tc16481" 二、二次函数中的动点问题 PAGEREF _Tc16481 \h 15
\l "_Tc2037" 三、二次函数与三角形存在性问题 PAGEREF _Tc2037 \h 37
\l "_Tc4931" 四、二次函数与四边形的存在性问题 PAGEREF _Tc4931 \h 49
\l "_Tc6118" 五、二次函数中的线段值及最值问题 PAGEREF _Tc6118 \h 59
\l "_Tc28741" 六、二次函数中周长与面积的值及最值问题 PAGEREF _Tc28741 \h 72
\l "_Tc26242" 七、二次函数与相似综合问题 PAGEREF _Tc26242 \h 90
\l "_Tc12073" 八、二次函数与几何中的证明问题 PAGEREF _Tc12073 \h 99
\l "_Tc5838" 九、二次函数中的系数及参数的值与范围问题 PAGEREF _Tc5838 \h 107
一、二次函数中的定点问题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，求的最大值；
(3)如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，设直线解析式为，连接、，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2．试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)直线经过点
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可．
（2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，由，可得，当时，有最大值为．
（3）设直线的解析式为，，，当时，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，当时，，，当时，，，，，再由，可得，即，整理得，由此可知直线经过点．
【详解】（1）解：在一次函数中，当时，，
∴，
当时，，
∴，
将点B、C代入中，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，如图，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵点D为直线上方抛物线上，
∴，
当时，有最大值，最大值为．
（3）直线过定点，理由如下：
设直线的解析式为，，，
当时，，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，则，
当时，，，
当时，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
∴直线经过点．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象及性质，三角形的面积等知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C，点P为第一象限抛物线上一个动点．
(1)直接写出该抛物线的解析式；
(2)如图1，若，求点P的坐标；
(3)如图2，过A作交抛物线于点Q，当点P在运动过程中，直线是否经过一个定点，若经过定点，求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)点P不存在
(3)存在，直线恒过点
【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质，正切的应用以及直线恒过定点的求法：
（1）直接运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）过点A作于点D，交于点F，设交x轴于点E，求出，，设则，，证明得出即得方程组，解得，得点E的坐标为，进一步可判断点P不存在；
（3）设，；过点Q作轴于点E，过点P作轴于点F，可得出，，，根据得出，运用待定系数法求出直线的解析式为，整理得，从而可得直线恒过点
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于和两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点A作于点D，交于点F，设交x轴于点E，
当时，
∴，
又，，
∴，
∴，
又
∴
∴，
∴；
又且，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，
解得，，
∴点E的坐标为，
又，
∴此时点B与点E重合，即此时点P的坐标为，这与点P在第一象限矛盾，故点P不存在；
（3）解：如图，设，，
过点Q作轴于点E，过点P作轴于点F，
∵，
∴，，，
∵，
∴
又
∴
∴
又，，
∴，即，
整理得，，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为
∵
∴，
∴
；
即当时，即时，与的取值无关，
∴，
即：直线恒过点．
3．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线经过原点，且顶点坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图（1），B是抛物线与x轴的另一交点，将线段绕地物线顶点A逆时针旋转得到线段，若平分交抛物线于点Q．求点Q的坐标；
(3)如图（2），过点作轴交抛物线于点P，E，F为抛物线上量两动点（点E在点P左侧，点F在点P右侧），直线，分别交x轴于点M，N．若，求证：直线过一个定点．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）过点A作轴，过点B作于点M，过点C作于点N，连接交直线于点D，根据旋转的性质及全等三角形的性质，可求出，再根据等腰三角形的性质和判定，中点坐标公式可求，再求出直线的解析式，进而求出直线与抛物线的交点坐标即可；
（3）设点，，分别求出直线，直线的解析式，可得，，再求出，，根据可得，再求出直线的解析式，即可得证．
【详解】（1）解：抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
抛物线经过原点，
当时，，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：过点A作轴，过点B作于点M，过点C作于点N，连接交直线于点D，
B是抛物线与x轴的另一交点，
当时，，
解得：，，
，
轴，，，，
，，
，，
，
将线段绕地物线顶点A逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
轴，，，
，
抛物线与x轴交于原点，B点，且顶点坐标为，
，
，
，
平分，
点D是的中点，
，，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
，
（3）由题意设点，，
轴，，
当时，，
，
设直线的解折式，
把，得，
，
解得，
直线的解折式，
直线交x轴于点M，
当时，，
，
，
设直线的解折式，
把，代入得，
，
解得，
直线的解折式为，
当时，，
，
，
，，，
，，
，
，
，
设直线的解折式为，
，，
，
解得，
直线的解折式为，
，
，
，
，
当时，，
直线过一个定点，该定点为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线．
(1)如图1，抛物线与直线交于、两点点在左侧）．
①求、的坐标；
②点在直线上，且在第四象限，过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，过点作交于，求的长．
(2)如图2，将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得抛物线，直线与抛物线交于、两点，在抛物线上是否存在定点，使得对于任意实数都有？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】（1）①由联立解析式解方程组，即可求解；②证明，则，进而求解；
（2）假设存在点，证明，得到，整理得：，则，，，由，得到，，此时，，即可求解．
【详解】（1）解：①抛物线与直线交于、两点点在左侧）．
，解得或，
，；
②设，
，，
，，
又交于点，
，
，
如图1，过点作于点，于点，
，
，
，
过点作轴交的延长线于点，
由点、的坐标知，，
，故，，
，
；
（2）存在，理由：
根据平移的性质，抛物线的表达式为，
设，，，，，假设存在点，则，
过点作轴，分别交过点、于轴的平行线于点、，
，，
，
，
，
，
其中，，，是的解，
，
，，
，
，
，
，
整理得：，
有无数条，
为任何实数，，，，
由，得到，，
此时，，
故存在定点，使得对于任意实数都有．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质和根与系数的关系是解题的关键．
二、二次函数中的动点问题
5．（2024·湖南衡阳·二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)如图1，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．
(3)如图2，若点G为线段上的动点，过点G作交于点H．求面积的最大值，并求此时G点坐标；
【答案】(1)；
(2)的坐标为或或或
(3)有最大值为，G点坐标为
【分析】（1）根据题意得到，结合三角函数得到点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，将抛物线解析式化为顶点式即可得到其顶点坐标；
（2）根据题意得到顶点，进而得到为等腰直角三角形，过点作交于点，结合轴对称性质证明，得到，且有轴，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到点，点坐标，根据点P在对称轴上，使得是直角三角形，设，则，，，结合勾股定理逆定理分以下三种情况①当时，②当时，③当时，建立等式，讨论求解，即可解题；
（3）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，利用平行的特点设的解析式为，分别得到，，进而根据表示出的表达式，再利用二次函数的最值，得到的最大值，并推出G点坐标．
【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，
，
，
，
，即，
抛物线过点，，
，
解得，
抛物线解析式为，
，
抛物线的顶点坐标；
（2）解：时，解得，，
，即，
，
为等腰直角三角形，
，
过点作交于点，
，
，
由对称的性质可知，，
，
，
，
，
轴，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，有，解得，
，即，
，
，
点P在对称轴上，使得是直角三角形，
设，
则，，，
①当时，
有，
解得或，
的坐标为或；
②当时，
有，
解得，
的坐标为；
③当时，
有，
解得，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或；
（3）解：设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
设的解析式为（其中的横坐标范围为），
联立与，有，解得，
当时，，
即，
当时，有，即，
即，
，
，
当时，有最大值为，
此时，G点坐标为．
【点睛】本题考查了三角函数综合，待定系数法求函数解析式，二次函数顶点式，等腰直角三角形性质，轴对称性质，全等三角形性质和判定，勾股定理逆定理，二次函数的最值，解题的关键是利用分类讨论和数形结合的思想解决问题．
6．（2024·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为．
(1)分别求出点，的坐标（用表示）；
(2)证明：函数与的图象相交于，两点；
(3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值．
【答案】(1)；
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的交点等知识点．
（1）由顶点坐标公式即可求解；
（2）证明：令，得或，即可求解；
（3）由四边形为平行四边形，得到，即可求解．
【详解】（1），对称轴，
当时，，
∴，
，对称轴，
当时，，
∴；
（2）令，得：，
化简得：，即，
解得：，，
将，分别代入二次函数中，得：，，
∴交点坐标为和，
即：函数与相交于、两点．
（3）当时，，顶点；，顶点，
∴直线解析式为：，
设，则
∴，
则，则，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴．
7．（2024·广东清远·模拟预测）综合运用
如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点为，直线与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)在第一象限内是否存在一点M使得与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将绕x轴上的动点顺时针旋转得到，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或或
(3)的取值范围为或
【分析】（1）根据解析式得出、，直线的解析式为，利用待定系数法求出、的值即可得答案；
（2）由（1）中解析式可得是等腰直角三角形，分、、三种情况，利用等腰三角形的对称性分别求解即可得答案；
（3）分和两种情况，分别求出点、落在抛物线上时的值即可得答案．
【详解】（1）解：∵，顶点为，
∴，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，把，代入，得，
解得：
∴直线的解析式为，
（2）存在，
把代入，得，
解得：，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图1，若，则，，
∴轴，与直线交于点，
∴，
如图，若，则，，
∵点是抛物线的顶点，
∴点与点关于直线对称，
∴，
如图，若，则，，
过点作于点，则
∴点与点关于直线对称，
∴，
综上，点M的坐标为或或．
（3）①若，当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点．
∴的坐标是，
∴，
解得：，，（不合题意，舍去）
当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点．
把代入得：，
解得：，，
∴，，
∴，
∴点与点重合
∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围为．
若，当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点，此时，点与点重合，故，
当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点．
连接、，过点作轴于，
∵将绕x轴上的动点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，，
∴
解得：（不合题意，舍去），．
∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围为．
综上，m的取值范围为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理，并运用分类讨论的数学思想是解题关键．
8．（2025·江西·模拟预测）综合与实践
基础尝试
如图，抛物线经过，两点，与轴另一交点为．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
深入探究
（2）若将抛物线变为，为了使得与一直都有四个交点，求出的取值范围；
拓展运用
如果点是线段上一动点，过点的直线轴，分别交直线、抛物线于点、．连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止．
（3）当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为（2）（3）
【分析】利用待定系数法求解即可；
由绝对值的性质可得的图象在轴及上方部分，找到翻折后顶点坐标，结合图象确定直线的运动范围，进而即可得解；
首先点的运动的时间值等于折线的长度值，由垂线段最短得出折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段，进而通过求直线交点即可得解．
【详解】解：由抛物线经过，两点可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令，
，
∴，
将，代入直线中，得：，解得，
∴直线的解析式为
由题意得，抛物线变为，
由(1)得，，
对于抛物线，将其化为顶点式，
抛物线的顶点坐标为，
的图象是将抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，而轴上方的部分保持不变，
翻折后顶点变为，
要使与一直都有四个交点，那么直线应该在轴和翻折后的抛物线顶点之间，图象如图所示，
的取值范围为．
如图，过点作轴于点，则，，，
，
．
过点作轴交直线于点，则，，如上图，
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，
，即运动的时间值等于折线的长度值，
由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．
过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点，如上图，
直线的解析式为，
点横坐标为，
，
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
9．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接
(1)点B、C的坐标分别为B（ ， ），C（__，_）
(2)连接与交于点D，设和的面积分别为和，求的最大值；
(3)连接，当时，
①求点P的坐标；
②点E是上的一个动点（点E不与P、B重合），连接，线段的垂直平分线交于点F，交直线于点G，则的取值范围是_________．
【答案】(1)8；0；0；4
(2)的最大值为
(3)①；②
【分析】（1）分别令即可求解；
（2）根据题意计算出直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，设，且，可证，可得，即，再根据三角形的面积计算方法得，，由此结合二次函数最值的计算方法即可求解；
（3）①接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点，证明两个三角形全等可得，可得点三点共线，求出直线的解析式，联立二次函数解二元一次方程组即可；
②作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，可证，可得，则有，分类讨论：当时，的值最小，即的值最小；当点与点重合时，当点与点重合时，，可得的值最大值，由此即可求解．
【详解】（1）解：已知二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，
∴令时，，整理得，，
∴，，
∴，，
令时，，
∴，
故答案为：；
（2）解：已知，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线所在直线的解析式为，
如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，
∴当时，，
∴，则，
∵点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴设，且，
∴，，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：①连接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，即，
∵点关于的对称点为，且，
∴，
∴点三点共线，
∴；
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，，则，，，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∵点，点，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去）
∴；
②根据题意，作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，

已知，，是的垂直平分线，
∴，，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，的值最小，即的值最小，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，即的最小值为，
当点与点重合时，，
当点与点重合时，，
∵，
∴，
综上所示，的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，点到直线垂线段最短等知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键．
10．（2024·海南海口·二模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该拋物线的解析式；
(2)过线段上的一动点作轴，交拋物线于点，求线段的最大值；
(3)在（2）的结论下，抛物线上取一动点.
①当点在直线下方运动时，连接交轴于点，若四边形是平行四边形，请求出它的周长；
②线段绕点顺时针旋转，得到线段，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求此时点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)当时，线段的最大值为
(3)①平行四边形的周长为，②点P的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）先求直线的解析式，然后设点的坐标为，则点的坐标为，计算得出，根据二次函数的性质即得答案；
（3）①由（2）可求出，根据平行四边形的性质可得，，由此即得答案；
②设点的坐标为，分两种情况讨论：
（Ⅰ）当点在对称轴左侧时，即，作轴，分别过D，G两点作于点，于点，证明，得到，从而可得，解方程即得答案；
（Ⅱ）当点在对称轴右侧时，即，作轴，分别过D，G两点作于点，于点，同理可得，得方程，解方程即得答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
设所求拋物线的解析式为，
把点代入，得，，
解得，
所求抛物线的解析式为，
即；
（2）解：设直线的解析式为，
直线经过，两点，
，
解得，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，且，
当时，线段的最大值为；
（3）解：①当时，点的坐标为，点的坐标为，
，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长为；
②根据对称性可知抛物线的对称轴为，设点的坐标为，
（Ⅰ）当点在对称轴左侧时，即，
如图，作轴，分别过D，G两点作于点，于点，
则，
，
，
，
，
，
，
，
则，
解得，（舍去），
当时，，
；

（Ⅱ）当点在对称轴右侧时，即，
如图，作轴，分别过D，G两点作于点，于点，
同理可得，
，
则，
（舍去），，
当时，，
；

综上所述，当点P的坐标为或时，点G恰好落在抛物线的对称轴上．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合问题，求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，图形旋转的性质等知识，利用分类讨论思想分情况讨论及添加辅助线构造三角形全等是解题的关键．
三、二次函数与三角形存在性问题
11．（2024·湖南·模拟预测）定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点．
(1)抛物线的表达式为_________；
(2)若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长；
(3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据“友好值”为2即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出，用待定系数法求出直线的表达式，设，则，则，然后根据列式即可求解；
（3）分点M在直线上方和点M在直线下方两种情况求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵“友好值”为2，
∴抛物线的解析式为．
故答案为：；
（2）解：抛物线的表达式为，
∴．
设直线的表达式为，
将点，C的坐标代入，
得，
解得
，
∴．直线的表达式为．
设，则，
∴
∵
∴
解得或（舍去），
∴当时，，
∴点M的坐标为，
∴；
（3）解：当点M在直线上方时，设直线交x轴于点D，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，可得，
∴直线的解析式为，
令，
解得（舍去），，
当时，，
∴；
当点M在直线下方时，设直线交x轴于点E，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，可得，
∴直线的解析式为，
令，
解得（舍去），，
当时，，
∴；
综上可知，当时，点的坐标为或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与几何综合，以及解直角三角形等知识，数形结合是解答本题的关键．
12．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接．
(1)如图1，求的值及直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，直线的解析式为
(2)点坐标为或
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）由待定系数法求解即可得到答案；
（2）证明，得到，即可求解；
（3）当点在轴时，以、、为顶点的三角形与相似，存在、两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点在轴上时，同理可解．
【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，
把代入得，即抛物线的解析式为；
抛物线与轴交于点（点在点左侧），，
当时，，解得或
，
直线过、，
设直线，
将、代入得：，解得：，
直线的解析式为；
（2）解：分别过点、点作轴的平行线，交直线于点和点，如图所示：
设点，，则，
当时，，
，，
，
，
，
，则，
，解得，，
点坐标为或；
（3）解：存在，
理由如下：
由题意得，点；由点、、的坐标得，，，
∴
则，则，，，
当点在轴时，如图所示：
以、、为顶点的三角形与相似，
当时，则，得，则点；
当时，此时，点、重合且符合题意，故点；
当点在轴上时，只有，则，则点，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、三角形相似的判定与性质、解直角三角形、面积的计算等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法，尤其注意分类求解是解题的关键．
13．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线经过，，三点，连接．
(1)求抛物线的解析式：
(2)作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知，
①求直线l的解析式；
②点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)①；②点的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①作于点，作于点，证明，求得，即，设直线的解析式为，联立得，利用根与系数的关系，列方程求解即可；
②分三种情况讨论，画出图形，同①法求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①，，，
∴，，，
∴，
作于点，作于点，如图，
∵直线，即，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵直线，
∴设直线的解析式为，
联立得，
整理得，
∴，，
∴，
即，
解得，
∴直线的解析式为；
②∵，，，，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
作轴交抛物线于点，
∵，
∴，
∴，
∴点符合题意，
∵，即，
整理得，
解得或，
当时，，
∴，
∴点的纵坐标为，
解方程，
得或，
∴点的坐标为；
作点关于直线的对称点，连接交延长交抛物线于点，
此时，
∴，
∴点符合题意，
∵，直线，又，
∴，
同理，直线的解析式为，
同理，直线的解析式为，
联立得，
解得，，
即点的坐标为，
∵点与点关于直线对称，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为；
过点作交轴于点，交抛物线于点，
∴，
∴，
∴点符合题意，
作轴于点，
设直线交轴于点，
令，，
解得，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，
联立得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了是二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
四、二次函数与四边形的存在性问题
14．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标．
(3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)M的坐标为或或或或
【分析】（1）根据直线与坐标轴的交点可得、，运用待定系数法即可求解二次函数解析式；
（2）根据二次函数图象与轴的交点可求出，如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则，设点的横坐标为，则，根据相似三角形的判定和性质可得，，结合直线可用含的式子表示点，再根据，列式得，由此即可求解；
（3）根据题意可得抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，可知，设，由两点之间距离公式可得，，，根据菱形的性质分类讨论：①当为菱形的边时， ；②当为菱形的边时，；③当为菱形的对角线时，；由此列式求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，
∴、，
∵抛物线的图象经过两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，且，
解得，
∴，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则，
∵点在直线上方抛物线上的动点，设点的横坐标为，则，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点的横坐标为，且点在直线的图象上，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
解得，，
当时，；当时，，
∴，；
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
在（2）的条件下，点位于对称轴左侧，
∴，
∵点是抛物线对称轴上一点，
∴设，
∵，
∴，，，
①当为菱形的边时， ，如图所示，即，
∴，
∴，
∴或；
②当为菱形的边时，，如图所示，即，
∴，
∴或，
∴或；
③当为菱形的对角线时，如图所示，，即，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，M的坐标为或或或或．
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，两点之间距离公式的运用，图形结合分析，分类讨论思想等知识是解题的关键．
15．（2024·山西阳泉·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值．
(3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，S有最大值，S的最大值为
(3)存在，点M的坐标为或 或
【分析】（1）将点A、B坐标直接代入函数解析式即可得出答案；
（2）过点P作x轴的垂线交线段于Q，再根据，根据二次函数的性质即可得答案；
（3）分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别求解即可得答案．
【详解】（1）将点代入得，
，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）过点P作轴，交于点Q，
如图，抛物线与y轴交点，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴的面积为，
∴当时，S有最大值，S的最大值为；
（3）存在．
①如图2，当四边形 为平行四边形时，．
∵抛物线的对称轴为直线，点．
∴点；
②如图3，当四边形为平行四边形时，过点M作轴于点Q．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，．
设点，
∴，解得，，
∴点 或，
综上所述，点M的坐标为或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
16．（2024·山西大同·模拟预测）综合与探究：如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第四象限内抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接，当时，求点E的横坐标；
(3)如图2，点M是的中点，点N在抛物线上，轴．在（2）中，当四边形为平行四边形时，试探究，在线段上是否存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点E的横坐标为或1
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据题意，证明，然后即可求解；
（3）根据题意，画出相应的图象，然后利用分类讨论的方法即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：把和代入可得．
解得．
∴抛物线的解析式为：；
（2）直线中，令可得，解，得，
∴．
直线中，令，可得．
①分别过E，F向y轴作垂线，垂足为G，H，根据题意，可得，如图：
∵轴，轴，
∴和为直角三角形．
在和中，，
∴．
∴．
设，则，
∴，．
从而，．
∴．解，得（舍去）或．
②如图：同理可得．
解，得（舍去）或．
∴点E的横坐标为或1；
（3）在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或．
理由：∵点M是的中点，，．
∴．
∵点N在抛物线上，轴．
∴．
∴．
在（2）中，当四边形为平行四边形时，
∵，，，，
∴．
解，得（舍去）或．
∴，．
分两种情况：
①如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为．
②如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为．
在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或．
【点睛】本题是一道二次函数综合题目，主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
五、二次函数中的线段值及最值问题
17．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点D在y轴负半轴上，且，点P，Q为抛物线上的点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，若，点E，F分别为的边上的动点，且，连接，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将，，代入中，利用待定系数法即可求解；
（2）设交轴与点，交于点，推出，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标即可；
（3）作，且使，连接，证明得到，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：将，，代入中，
得，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）设交轴与点，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
联立，解得：或，
∴；
（3）解：如图，作，且使，连接，
∵， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，共线时，的值最小，
作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则，，
∴，
解得或(舍去)，
∴，
∴，
∴，，
∴，
则的最小值为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、最值问题、勾股定理，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解是解题的关键．
18．（2024·山西朔州·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为第一象限内的点，四边形为平行四边形，P是线段上的动点，过点P作轴，垂足为F，直线与抛物线相交于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求A，B，D三点的坐标．
(2)若，求m的值
(3)如图2，连接，当时，请直接写出的长．
【答案】(1)，，
(2)m的值为或或
(3)的长为5
【分析】（1）先求得A、B、C三点的坐标，即可求解；
（2）由，，得到，即可求解；
（3），，而，得，即可求解．
【详解】（1）解：当时，则，解得：，，
，．
当时，则，
．
四边形为平行四边形，
，；
（2）解： 点P的横坐标为m，
，，
，整理得：或．
当时，解得：，（舍去）．
当时，解得，，
综上所述，m的值为或或．
（3）解：由题意可知，，
．
，
，整理得或，
当时，解得：，（舍去），
当时，解得：（舍去），（舍去）．
综上所述，．
当时，，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，掌握相关知识是解题的关键．
19．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标；
(3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)存在，．
【分析】（1）用待定系数法解题；
（2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据平行四边形对边相等的性质，列出m的方程即可；
（3）证明点P在直线上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题．
【详解】（1）解：∵点，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
把点，，代入抛物线中得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图中，连接，，
∵，，，
，
∴，
∴直线的解析式为，设，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
把点的坐标代入，
得到，，解得或，
∴或．
（3）如图，过点作于，过点作于，过点作于，连接，
设，则，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是直线，
作点关于直线是对称点，连接交直线于，
连接，此时的值最小，
最小值．
【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
20．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．
(1)求，的值；
(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．
【答案】(1)，.
(2)存在，
(3)
【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可；
（2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可；
（3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度．
【详解】解：（1），
点坐标为，
将，代入，
得，，
解得，
（2）设直线的表达式为，
由（1）可知抛物线的表达式为，
故点坐标为，
直线的表达式为
设点坐标为，
则，，
，
若，
则，
解得，
，
故，此时点坐标为；
（3）如图，取，连接，
，，，
又，
，
，
，
，
，
故的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键．
21．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．
(1)求出点，，的坐标；
(2)以为直径作，交轴正半轴于点，直线平分，交轴于点，与关于直线对称．求证：点，，三点共线．
(3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是线段上的动点（除，外），过点作轴的垂线交抛物线于点，直线，分别与抛物线对称轴交于，两点．试问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)是定值，．理由见解析
【分析】（1）令，得，，令，得，从而即可得解；
（2）利用待定系数法得直线的解析式为，再证点在上即可；
（3）设，先求得直线的解析式为，直线的解析式为，进而得，，从而即可得解．
【详解】（1）解：令，得，
∴，
解得，
令，得，
．
（2）解：由（）可知，，
∵，
，
在中，，
，
，
，
直线平分，
，
与关于直线对称，直线平分，
点与点重合，，
∴，
过点作轴于，
，
∴，，
，
设直线的解析式为，
把，代入得
，
解得
∴直线的解析式为
当时，，
点在直线上
点，，三点共线，
（3）解：是定值，．理由如下：如图，
设，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为．
令得，
是定值．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，二次函数的图像及性质，求一次函数，轴对称的性质，熟练掌握解直角三角形，二次函数的图像及性质是解题的关键．
六、二次函数中周长与面积的值及最值问题
22．（2024·湖北孝感·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求a，b的值及直线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点，过作轴于点，交于点，
(ⅰ)若，求点P的坐标，
(ⅱ)连接，，记的面积为，的面积为，求的最大值；
(3)如图2，将抛物线位于轴下方面的部分不变，位于轴上方面的部分关于轴对称，得到新的图形，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与新的图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)(ⅰ)；(ⅱ)
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式，先求得抛物线解析式，得出点，然后待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）（i）设 ，则，，得出，是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，建立方程，解方程，即可求解；
（ii）过作轴，交于点，则，得出，根据相似三角形的性质得出面积比，进而根据二次函数的性质，即可求解．
（3）先求得折叠部分的抛物线解析式为，观察函数图象，可得当经过点时，当与只有一个交点，直线与新的图形有三个不同交点，进而求得的值，根据函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：依题可得：
解得：
∴，
令，得，即
设直线的解析式为，将，代入得：
解得：
直线的解析式为
（2）解：设 ，则，
（i），
是等腰直角三角形
，
，
是等腰直角三角形，
，解得，舍
点的坐标为
（ii）如图，
过作轴，交于点，则，则，
∴
，

当时，有最大值为；
（3）解：依题意，
新的图形的顶点坐标为
则新的抛物线解析式为
设平移后的直线解析式为
当经过点时，有3个交点，即
解得：，
当与只有一个交点，
则
消去得，
即
∴
解得：
结合函数图象可得：；
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，轴对称的性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若是抛物线对称轴上一动点，是平面内任意一点，当四边形是菱形时，求点的坐标；
(3)已知是该抛物线上的一点，点分别为轴，轴上的点，且使得四边形的周长最小，求四边形周长的最小值及点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)四边形的周长的最小值为，，
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当四边形是菱形时，则，即可求解；
（3）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，则此时四边形的周长最小，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：设点，
当四边形是菱形时，则，
即，
解得：，
即点；
（3）解：由（1）得抛物线解析式为
当时，
∴
作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，则此时四边形的周长最小，
理由：四边形的周长为最小，
则，
即四边形的周长的最小值为，
设直线的表达式为，
把、代入，得
，解得：
∴直线的表达式为：，
令，则，
解得：
∴，
令，则
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，轴对称求最短路径问题，勾股定理，菱形的判定与性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
24．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，点（点位于点左侧），与轴交于点，且．
(1)求的值；
(2)连接，点是直线下方抛物线上的一点，连接．
（ⅰ）如图2，与交于点，若，求此时点的坐标；
（ⅱ）如图3，过点作交于点，连接，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合应用，主要涉及了求二次函数解析式、利用面积的转化求三角形面积、在坐标系中求线段的长度，解题的关键是正确设出点的坐标，表示出线段长度．
（1）由点坐标和可以求出的值，再将点代入抛物线中即可求出的值；
（2）（ⅰ）设点的坐标为，再将转化为即可求出结果；（ⅱ）连接，过点作轴于点，交于点，由，可得，设点的坐标为，则，即可得出的长，再根据面积计算公式乘水平宽乘铅直高即可得出结论．
【详解】（1）解： ，
，
点位于原点下方，
，
，
把点代入抛物线中，
得，
解得，
故的值分别为．
（2）（ⅰ）由（1）可知抛物线的解析式为，
当时，，
解得，
，
，
设点的坐标为，其中，
则，
整理，得，
解得（舍去），，
当时，，
此时点的坐标为；
（ⅱ）如图，连接，过点作轴于点，交于点，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点和点代入得，
，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
25．（2024·湖北·一模）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
(1)直接写出点和点的坐标；
(2)如图1，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标；
(3)如图2，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）联立两个函数表达式得：，解得：即由抛物线的表达式知，其对称轴为直线当时，即可求解；
（2）①当点P在线段的右侧时，轴，则；②当点P在线段左侧时，设直线与y轴交于点G，则是等腰三角形，进而求解；
（3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线于点N，K，则，，由点Q的坐横坐标为m，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
【详解】（1）解：联立两个函数表达式得：，
解得：，或
∴当时，
∴；
∵，且D为顶点，
∴；
（2）解：如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
①当点P在线段的右侧时，轴，如图，
∴；
②当点P在线段左侧时，设直线与y轴交于点G，则是等腰三角形，
∴
设则
在中，，
解得
∴
设直线的解析式为
把，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得，，
∴，
综上，点P的坐标为或
（3）解：∵点与点M关于对称轴对称，
∴，
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线于点N，K，
∴,
∵点Q的横坐标为m，
∴，，
∴，
∵，，
∴
∵,
∴当时，的最大值为
26．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，抛物线与x 轴交于点和点B，与 y 轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N 是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N 的坐标．
(3)如图3，连接，点D 是线段上的一个动点，过点D 作交于点E，于 点F， 连接．当面积最大时，求此时点D的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据题意得到，结合利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，分点N在x轴上方和下方两种情况讨论，当点N在x轴上方时，根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出，则由等腰三形判定得，最后由勾股定理即可求解；当点N在x轴下方时，由对称性即可求解；
（3）如图，过点M作交于点H，设，求出，进而求出，解直角三角形得到，，从而求出在中，，，，，证明，求出，证明，由，得到关系式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：，，
∴，
，
如图，
点N在抛物线的对称轴上，
，
当点N在x轴上方时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
；
当点N在x轴下方时，
由对称性得：；
综上，点N的坐标为或；
（3）解：如图，过点M作交于点H，
设，
点M是抛物线的顶点，
当时，，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
在中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最大，
此时点D的坐标为．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了用待定系数法求二次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象及最大值，二次函数与特殊三角形问题，二次函数与相似三角形问题，涉及分类讨论思想及方程思想，有一定的难度和运算量．
27．（2024·山西·一模）抛物线过点，点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，设M是抛物线上的一点，若，求M点的坐标；
(3)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)或．
(3)有，P点的坐标为
【分析】（1）根据抛物线经过点，点，用待定系数法即可求解；
（2）分点M在第一象限和第四象限两种情况根据45度角的特征列方程求解即可．
（3）根据垂直及对顶角相等易证证明，可得的周长：的周长，求出直线的解析式，设，，的周长为z，表示出的长，利用的周长：的周长列出关于z的函数解析式，再运用二次函数最值求解即可．
【详解】（1）由题意得：，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴点．
（2）①当点在第一象限时，
设），
过点作轴，
∵，，
∴，
解方程得：或，
不合题意，舍去．
故 ，
∴；
当点在第四象限时，同理可得：
解方程得：或，
不合题意，舍去．
故，
∴
综上或．
（3）的周长有最大值．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴的周长：的周长，
∵，
∴，
∴的周长，
∵直线过和，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，的周长为z，
，
∴，
∴，
∵，
∴z有最大值，此时，
当时，，
故P点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，勾股定理，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
七、二次函数与相似综合问题
28．（2024·四川德阳·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)作射线，将射线绕点C顺时针旋转后，与抛物线相交于点E，如图1．求点E的坐标．
(3)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值；
【答案】(1)
(2)
(3)2或
【分析】对于（1），令，，可得答案；
对于（2），作于点，可得为等腰直角三角形，再作垂线，可得进而证明，即可得出然后得出直线的表达式，再将上式和抛物线的表达式联立可得答案；
对于（3），先表示，分和时，两种情况求出答案即可．
【详解】（1）当时，，
解得：，
当时，，
∴；
（2）过点B作于点，
∵，则为等腰直角三角形，
则，
过点T作x轴的垂线交x轴于点N，交点C和x轴的平行线于点M，
∵
∴
则且
即且
解得：
即点，
由点C、T的坐标得，直线的表达式为：，
将上式和抛物线的表达式联立得：，
解得：（舍去），，
则点E．
（3）∵F是直线与抛物线的交点，
∴．
①如图，若时．
则，
∴．
解得：（舍去）或．
②如图，若时．
过 F2 作轴于点T．
∵
∴
∴
又
∴，
∵
∴
∴，
∴
解得：（舍去）或 ，
综上，符合题意的t的值为2或．
【点睛】这是一道二次函数的综合问题，主要考查了二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，注意分情况讨论，不能丢解．
29．（2024·湖南·模拟预测）如图1，抛物线顶点为C．与x轴相交于点O，A．与直线交于点O，B．现将抛物线沿y轴作轴反射得抛物线，点A，B，C关于y轴的对称点分别是点D，E，F．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，点G是x轴上一动点．连接，当时，求点G的坐标；
(3)如图3，点P是抛物线在直线下方图象上的一个动点，连接，与直线相交于点Q．求的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先求得的顶点C的坐标，再根据轴对称性质得到点F的坐标，进而可求解；
（2）过O作于H，过F作轴于K，根据坐标与图形和正切定义可求得，再利用勾股定理求得，则，设，利用勾股定理和三角形的等面积法得到方程，然后解方程即可求解；
（3）先联立方程组求得，，，设，过P作交于N，则，根据等高的三角形面积比等于对应底边的比得到的最大值就是求的最大值，证明，得到，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由得顶点C的坐标为，
∵将抛物线沿y轴作轴反射得抛物线，点C的对应点是F，
∴点F的坐标为，
∴抛物线的函数表达式为，即；
（2）解：如图2，过O作于H，过F作轴于K，
则，，
∴，，
在中，，
∴，
由得：，
解得，则，
设，则，
∴，
由得：，
整理，得，
解得，，
∴点G坐标为或；
（3）解： 联立方程组，解得，，
∴，则，，
由题意，设，
过P作交于N，如图3，则，
∴，
∵，
∴求的最大值就是求的最大值，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
故的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、轴对称性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、勾股定理、解一元二次方程等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．
30．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．
(1)求的值及抛物线的解析式．
(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．
①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)①当时，线段有最大值为4；②存在，或
【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（2）由（1）可得，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论；
（3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论；
②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可．
【详解】（1）直线与轴交于点，
，
，
直线的表达式为；
当时，，
点的坐标为，
将点的坐标为，点的坐标为，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
的坐标为，
将点的坐标代入解析式可得，，
解得或（舍去）
的坐标为；
（3）①由（1）可知，直线的解析式为：；
点的横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
设线段的长度为，
则
，
当时，线段有最大值为4；
②存在，理由如下：
由图形可知，
若与相似，则需要分两种情况，
当时，由（2）可知，，此时；
当时，过点作轴交抛物线于点，
令，
解得（舍或，
即，
综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论．
八、二次函数与几何中的证明问题
31．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若，求点的坐标；
(3)直线交抛物线对称轴于点，过点作，交过点且平行于轴的直线于点．试探究：无论取何值，始终成立．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图，过作于，求解，证明，，可得，，设，可得，再进一步求解即可；
（3）如图，记抛物线的对称轴与轴的交点为，过作轴于，可得，证明，再证明，可得，如图，当在下方时，同理可得：，可得；
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：如图，过作于，
∵直线与抛物线交于点，与轴交于点，
当时，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
而，，
∴，
∴，，
设，
由，
∴，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意的根舍去），
∴，即，
∴，解得：，
∴直线为：，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去）；
∴；
（3）解：如图，记抛物线的对称轴与轴的交点为，过作轴于，
∵轴，
∴，
∵的对称轴为直线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当在下方时，
同理可得：，
∴；
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
32．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线交x轴于A，交y轴于B，对称轴为，且．
(1)求出该抛物线的解析式；
(2)如图1，直线上有一动点C，是否有点C使得，如果有，求出所有符合条件的C的坐标；如果没有，请说明理由；
(3)如图2将抛物线平移，使顶点与原点重合． 若直线解析式为，过A、B分别作抛物线的切线交于点G，分别交x轴于E、F，连、、，若交x轴于H，求证：．
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，由题意可知，，将其代入，即可求解；
（2）取点，连接，作点关于的对称点，连接，作的外接圆，与交于点，得出，进而求得，根据，建立方程，解方程，即可求解；
（3）依题意平移后的抛物线解析式为，设，过点的切线方程为，得出切线的解析式为：，设，同理可得切线的解析式为，进而求得，分别过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据平行线分线段成比例，相似三角形的性质得出，，进而得出四边形是平行四边形，即可得证．
【详解】（1）解：对称轴为，
∴，
∴，
∴ ，
当时，，即，
∵，
∴，
则，
解得（舍去），
∴ ．
（2）解：由（1）可得
∴，
如图所示，取点，连接，作点关于的对称点，连接，作的外接圆，与交于点，
老师您好，解析和题干里都没有关于FA和FB的信息，所以才没有添加，实在抱歉给老师添麻烦了。
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求，
∵，
∴，是等腰直角三角形，
则，
又点与点关于的对称，
∴，即轴，，
∴，
∵是是外接圆，点为圆心，点在的垂直平分线上，
∴点的纵坐标为，
∵是等腰直角三角形，，
∴点在的垂直平分线上，即上，
∴，
设，
∵在上，
∴，
∴，
解得：或
∴或
（3）证明：∵将抛物线平移，使顶点与原点重合，则平移后的抛物线解析式为，
设，过点的切线方程为，
将代入，得，
解得：
∴切线的解析式为：，
联立，消去得，
∵直线与抛物线只有唯一一个交点，
∴，
解得：，
∴切线的解析式为：，
设，同理可得切线的解析式为，
联立，解得：
∴；
∵直线解析式为，
当时，，则，
如图所示，分别过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∴，，，，，
∴，，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，解直角三角形的应用，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，平行线分线段成比例，一次函数与坐标轴交点问题，二次函数的平移，熟练掌握以上知识是解题的关键．
九、二次函数中的系数及参数的值与范围问题
33．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的顶点为，点、均在此抛物线上（点在对称轴右侧），且点、的横坐标分别为、，连接，过点作轴于点，过点作轴于点．
(1)______，______；
(2)当点落在轴上时，求的值；
(3)当时，求线段的长；
(4)当点在轴右侧时，作四边形．若四边形的边和抛物线有交点（不包括四边形的顶点），设此交点为点，当的面积是四边形面积的时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标公式，即可解答；
（2）由（1）可得：抛物线的解析式为，根据点在对称轴右侧，点B横坐标为，得出，根据点落在轴上时，得出，求出m的值，进而得出，，过点B作轴于点H，易得，即可解答；
（3）根据题意可得，，则，根据，得出，求出或，进而得出点A和点B的坐标，最后根据两点之间距离公式，即可求解；
（4）先求出m的取值范围，根据题意进行分类讨论：①当与抛物线相交于点N时，②当与抛物线相交于点N时，此时点A在对称轴右侧，即，③当于抛物线相交于点N时，此时点A在对称轴右侧，即，根据三角形和四边形面积公式和等量关系，建立关于m的方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）解：由（1）可得：抛物线的解析式为，
∵点在对称轴右侧，点B横坐标为，
∴，
解得：，
∵点A横坐标为m，
∴，
∵点落在轴上时，
∴，
解得：（舍去），
∴，，
过点B作轴于点H，
∴，
∴；
（3）解：∵点、的横坐标分别为、，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
综上：或；
（4）解：∵点A在y轴右侧，点B在对称轴右侧，
∴，
解得：，
①当与抛物线相交于点N时，
把代入得：，
∴，
∵，，
∴，，
过点N作y轴的垂线，与相交于点M，过点A作于点P，过点B作于点Q，
易得四边形是矩形，
∴，
∵的面积是四边形面积的，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点N为中点，
∴，
解得：，（舍去），
②当与抛物线相交于点N时，此时点A在对称轴右侧，即，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴，
，
∵的面积是四边形面积的，
∴，
解得：，，
当时，点A和点B重合，不符合题意，舍去，
③当与物线相交于点N时，此时点A在对称轴右侧，即，
同理可得： ，
∵，，，，
∴，，
∴，
，
∵的面积是四边形面积的，
∴，
解得：（舍去），，
综上：或或．
【点睛】本题综合考查了二次函数，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，根据题意画出图形，具有分类讨论的思想．
34．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点A，．
(1)若点A的坐标为，求a，b的值；
(2)如图2，在（1）的条件下，若C是直线下方抛物线上一动点，求的面积最大时点C的坐标；
(3)在第二象限内有一点，连接并延长交抛物线于点E，连接并延长交抛物线于点F，连接．若对于任意b值（且），总有，求a的值．
【答案】(1)，
(2)面积最大时点
(3)
【分析】（1）将点A坐标分别代入直线与抛物线方程求得未知数即可；
（2）联立直线方程与抛物线方程，求得点B，当点C到直线度距离最大时，三角形的面积取得最大值，将直线向下平移得到的解析式为，与抛物线方程联立，令，解得，则平移得到的解析式为，即可求得面积最大时点C坐标为；
（3）根据题意直接取，此时直线的表达式为：，将直线与抛物线进行联立求得点B坐标，求得直线表达式为：，进一步求得点F坐标为，同理，求得直线表达式为：，），将直线与抛物线联立，求得点E坐标为：，结合题意可得比例系数相等即可求得a．
【详解】（1）解：将点A，代入直线，得，
将点A代入，得，
故，；
（2）解：联立直线方程与抛物线方程，即，
解得另一交点B的坐标为：，
当点C到直线度距离最大时，三角形的面积取得最大值，
将直线向下平移得到的解析式为，
与抛物线方程联立得，则，
，解得，
则平移得到的解析式为，
此时，交点C即为面积最大，点C坐标为；
（3）解：对于任意b值（且），总有，
则直接取，
此时直线的表达式为：，
将直线与抛物线进行联立，即，设点A在点B左侧，
解得：A点坐标为，点B坐标为，
设直线表达式为：，
将B，D两点分别代入求得，解得
直线表达式为：，
将直线与抛物线联立，
即，解得点F坐标为，
同理，设直线为，将A，D两点分别代入求得，
直线表达式为：，），
将直线与抛物线联立，即，
可化为：，
由一元二次方程的求根公式可得，该方程组的解为：，
经化简可得点E坐标为：，
设直线方程为：，将E，F两点坐标代入得，
直线的比例系数为：，
，
直线与直线比例系数相等，即，解得；且满足，上述成立．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数与一次函数围成面积最大、一次函数的平移、判别式在函数中的意义、一次函数和二次函数交点的意义以及直线平行对应的比例系数相等，此题计算量较大，对计算的准确性考验较高．尤其是第三小问考虑取特殊值和比例系数相等求解．
35．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，抛物线 过点，点，，与y轴交于点C．点M是抛物线一点，过点 M作直线轴，交x轴于点 E，设M 的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)如图2，连接，连接交y轴于点N，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求 的最大值．
(3)设函数y在内最大值为p，最小值为q，若 ，直接写出m的值 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是银题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）；，即可求解；
（3）先根据二次函数的性质求得，再分两种情况：当时，当时，y值最小，最小值为；当时，当时，y值最小，最小值为；根据，得关于m的方程，求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，
则，
则，解得，
故抛物线的表达式为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：设点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
则点的坐标为，
设四边形的面积为，
则；
则，
则，
，故有最大值．
当时，的最大值为．
（3）解：∵，，
又∵，
∴当时，y有最大值4，
∵函数y在内最大值为p，最小值为q，
∴，
当时，当时，y值最小，最小值为，
∴，
∵，
∴，
化简整理得：，
解得：，（舍去），
当时，当时，y值最小，最小值为，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去），
综上，m的值为．
36．（2024·贵州贵阳·一模）已知二次函数（其中，为常数）．
(1)如图①，该函数图像与轴交于、两点，若点坐标为，点坐标为．
①则的值是_________，的值是_________；
②对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围．
(2)如图②，该函数图像与轴交于点，当时（其中、为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
【答案】(1)①，；②
(2)，，
【分析】（1）①依据题意，将代入函数关系式得，进而求出的值，可以得解；
②依据题意，对于一切实数，函数值总成立，从而函数图象与函数图象没有交点，又当图象与函数只有一个交点时，即方程只有一个公共解，故，求出后，即可判断得解；
（2）依据题意，由函数图象与轴交于点，从而可得函数为，故抛物线的开口向上，对称轴为，又当时(其中为实数，)，自变量的取值范围是，进而直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，故关于对称轴对称，则，最后得出二次函数的解析式，又当时，，又当时，有最小值为，即可得解．
【详解】（1）解：①根据题意得：将，代入函数关系得，
解得，，
②对于一切实数，函数值总成立，
函数图象与函数图象没有交点，
如图所示：
当图象与函数只有一个交点时，
即：方程只有一个公共解，
，
，
，
；
（2）解：，
抛物线的开口向上，对称轴为，
又当时（其中、为实数，），自变量的取值范围是，
直线与抛物线的两个交点为，，直线在抛物线的下方，
，关于对称轴对称，
，
，
，
，
当时，有最小值，
．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
37．（2024·河北沧州·模拟预测）如图，抛物线（为常数）与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，直线交y轴于点C，交抛物线于点M，（点M在点N的左侧且点M，N在y轴同侧）．
(1)当时，抛物线的顶点坐标为______，______；
(2)如果k可以是负数也可以是正数，是否存在k，使？若存在，求k的值；若不存在，说明理由；
(3)当且时，抛物线的最高点到直线的距离为1，求此时k的值．
【答案】(1)，
(2)存在，
(3)或
【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，当时，，即顶点坐标为：，当时，二次函数为：，当时，，令，则或4，即点A、B的坐标分别为：、，即可求解；
（2）当时，则，解得：，则点，由得：，即可求解；
（3）当时，则抛物线在顶点处取得最大值，则，即可求解；当时，则抛物线在时，取得最大值，同理可解．
此题重点考查二次函数的图象与性质、勾股定理、解一元二次方程、动态抛物线问题的求解以及分类讨论数学思想的应用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
当时，，
即顶点坐标为：，
当时，顶点坐标为：；
当时，二次函数为：，
当时，，令，则或4，
即点A、B的坐标分别为：、，
则；
故答案为：，；
（2）存在．
直线交y轴于点C，
∴，
当时，则，
解得：，
则点，
由得：，
解得：；
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为：，
当时，
则抛物线在顶点处取得最大值，
则，
解得：（舍去）或；
当时，
则抛物线在时，取得最大值，
即，
解得：（舍去）或，
即或
38．（2024·安徽宣城·三模）如图，抛物线c：与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点为动点，且，过点M作于点M，交抛物线于点E，交直线于点．
(1)求抛物线c的表达式及顶点坐标；
(2)若，求m的值；
(3)平移抛物线c：使其顶点为F点，设平移后的抛物线c在x轴上方的部分记为图象Q，若图象Q始终在抛物线c的下方，求m的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)m的值为1；
(3)
【分析】（1）把，代入得，解出，的值可得抛物线的表达式为，即可得顶点坐标为；
（2）求出，直线解析式，即可得，，根据，得，即可解得的值为1；
（3）由，知平移后的抛物线解析式为，把代入可得或（舍去）；把代入可得或（舍去），画出图形可得，当时，图象始终在抛物线的下方．
【详解】（1）解：把，代入，
得：，解得，
∴抛物线c的表达式为；
，
∴顶点坐标为；
（2）解：在中，令得，
，
由，得直线BC解析式为，
∵点，
，，
，
，
解得或（舍去），
的值为1；
（3）解：如图：
由（2）知，
∴平移后的抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得或（舍去）；
把代入得：
，
解得或（舍去），
由图可知，当时，图象Q始终在抛物线c的下方．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，平移变换，二次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
39．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图1所示，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点．点P为第一象限抛物线上的点，连接，，，．
(1)填空：______，______，______；
(2)如图1所示，当时，求点P的坐标；
(3)如图2所示，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边，上的动点，且，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
【答案】(1)，2，
(2)
(3)①；②
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求得、，从而可得，，由，可得，求得，在中，根据正切的定义求值即可；
（2）过点C作轴，交BP于点D，过点P作轴，交y轴于点E，由，即，再由，可得，证明，可得，设点P坐标为，可得，再进行求解即可；
（3）①作，且使，连接．根据证明，可得，即Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，设则，根据求出点Q的坐标，然后利用勾股定理求解即可；②作轴，交BC于点T，求出BC解析式，设，，利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，
解得：，，
∴，
∴，，
在中，
．
故答案为：，2，，；
（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
解得：（舍），，
∴点P坐标为；
（3）①如图2，作，且使，连接FH，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小，作于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图3，作轴，交于点T，
∵BC解析式为，
设，，
则，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．
40．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B左侧）．与y轴交于点，抛物线顶点为D．
(1)求抛物线解析式以及点D的坐标；
(2)若抛物线上有两点，当时，均有，求t的取值范围；
(3)将抛物线L沿直线平移得到顶点为的抛物线G，设的横坐标为m，若抛物线G与直线交于两点，且，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，点的坐标为
(2)
(3)
【分析】（1）先求出坐标，再求出的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据增减性得到开口向下时，离对称轴越远，所对应的函数值就越小，所以点在到范围内都存在，再根据范围列出不等式即可；
（3）先根据题意得到坐标，再用含有的式子表示出二次函数表达式，求其与直线交点的长度，然后分别利用和求出的值即可得到最终范围.
【详解】（1），
令
或，
，
，
，
即，
将代入抛物线解析式得，
∴抛物线解析式为，
∴点的坐标为 ；
（2）∵抛物线解析式为
∴抛物线开口向下，对称轴
根据二次函数增减性可以判断，开口向下时，离对称轴越远，所对应的函数值就越小，
，
且点关于对称轴对称的为 ，
∵当时，均有
，
解得：，
∴的取值范围为
（3）抛物线沿着平移得到抛物线，
的横坐标为，
则抛物线的表达式为
令
整理得：
，
∴，
作于点，
则，
当时，，
即
解得 或(舍去)，
当时，此时
，
或 (舍去)，
综上，
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数顶点坐标、二次函数的图象与性质、抛物线与直线交点问题、根与系数的关系等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键.
41．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）抛物线与轴交于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点在线段上，过点作交抛物线于点，连接，记与的面积分别为，设，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将线段先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，其中为常数，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值为，此时
(3)或或
【分析】（1）把解析式设为交点式，再把点C坐标代入解析式中求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为；设 ，可求出直线的解析式为．进而求出；如图，分别过点作垂直于轴于点，根据，据此根据二次根式的性质求解即可；
（3）先根据平移方式得到平移后B、C的对应点坐标分别为；由二次函数的性质可得，二次函数与二次函数只是开口大小或者开口方向发生变化，并且越大，开口越小，再分当时，开口向上，求出当二次函数恰好经过时，；当时，求出二次函数与线段恰好相切时，或（舍去）；当时，开口向下，求出当二次函数恰好经过时，，据此求解即可．
【详解】（1）解；∵抛物线交轴于两点，
设．
将代入得，解得．
．
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为．
，
，解得，
直线的解析式为，
同理求出直线的解析式为．
，
直线的解析式可设为．
由（1）可设，代入直线的解析式，得，
解得．
直线的解析式为．
联立
解得
如图，分别过点作垂直于轴于点，
∴
．
，
当时，有最大值为，此时．
（3）解：∵，
∴经过平移后B、C的对应点坐标分别为；
由二次函数的性质可得，二次函数与二次函数只是开口大小或者开口方向发生变化，并且越大，开口越小，
若线段与二次函数只有一个交点，则可分一下三种情况：
当时，开口向上，
当二次函数恰好经过时，
则，解得，
由函数图象可知，当开口变小时，可以满足二次函数与线段只有一个交点，故此时；
当时，且二次函数与线段恰好相切时，
同理可知直线解析式为，
联立得，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
当时，开口向下，
当二次函数恰好经过时，
则，
解得，
同理，当开口变小时，可以满足二次函数与线段只有一个交点，故此时；
综上所述，或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解题的关键是利用分类讨论的思想和数形结合的思想求解即可．
42．（2024·四川广安·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点，抛物线经过点A，点，且交x轴于另一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)当时，四边形面积最大，其最大值为2，此时的坐标为
(3)或
【分析】（1）根据直线求得点A和点，代入抛物线即可求得解析式；
（2）根据抛物线解析式求得点，过点M作轴，与交于点N，设，则，利用三角形面积公式求得和，则，结合二次函数的性质知当时，四边形面积最大；
（3）由旋转得，，则，，当在抛物线上时，有，当点在抛物线上时，有，求解即可；
【详解】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点，
∴令，则，那么点,
令，则，解得，那么点,
∵抛物线经过点A，点，
∴，解得，
则抛物线；
（2）解：令，则，解得或，
那么，，
过点M作轴，与交于点N，如图，

设，则，
∴，
∵，
∴，
当时， ，
∴当时，四边形面积最大，其最大值为2，此时的坐标为；
（3）解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图，

∴，，
∴，，
当在抛物线上时，有，
解得，，
当点在抛物线上时，有，
解得，或，
∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置．
43．（2025·湖北黄石·一模）如图1，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，对称轴为，若点A的坐标为，，点为某个动点．
(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)当点D在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集；
(3)如图2，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，记，求n关于m的函数解析式．当n随m的增大而增大时，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考出了二次函数的性质、二次函数与不等式的综合、二次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
（1）先由二次函数的对称性可得，再结合即可确定点B的坐标；
（2）先求出二次函数解析式，由题意可得， 解得：或，进而确定，即，再结合函数图象即可解答；
（3）由第（2）问可知：点D在直线上运动，其中，进而可得；再分当或时，；当时，两种情况，分别利用二次函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为，交x轴于A，C两点且点A的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，
∴，解得：，
∴函数解析式为，
∵函数解析式为，点在抛物线上，
∴， 解得：或，
∵D点在对称轴的右边，
∴，
∴，即
∴可以看作抛物线在直线的下方，∴由以上函数图象可知：或；
（3）解：由第（2）问可知：点D在直线上运动，其中， ，
，
∴当或时，；
当时，，
分类讨论如下：
当或时，，
∵，对称轴，当时，n随m的增大而增大，
∴时，n随m的增大而增大；
当时，，
∵，抛物线开口向下，对称轴为；当时，n随m的增大而增大，
∴时，n随m的增大而增大；
综上所述：当n随m的增大而增大时，或．
44．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图1，抛物线过点，点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值；
(3)如图2，点，连接，将抛物线的图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题是二次函数的综合题，关键是掌握二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质等知识，数形结合，通过构建方程组，利用根的判别式解决问题．
（1）利用待定系数法求解；
（2）由点，轴，得点的纵坐标为，把点纵坐标代入直线解析式求出点的横坐标，用参数表示出的长，再配方求最大值．
（3）设平移后的抛物线解析式为，求出直线上横坐标为和的两点和点的坐标，当平移后的抛物线过点时有两个公共点，求出的最小值，当平移后的抛物线与直线有唯一公共点时，求出的值，从而求出的取值范围．
【详解】（1）解：∵过点、
∴
解之得
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵点C在抛物线上，点C的横坐标为h
∴
∵轴，
∴点的纵坐标为，
设直线表达式为：，
∵点，点，
∴，
解得：，
∴直线表达式为，
把代入
得
∴点
∴
∵点C为直线下方的抛物线上一动点
∴
∴当时，的最大值为；
（3）解：设的解析式为
∵直线过点、
∴
解之得
∴直线的解析式为
当时，，直线对应点为，
当时，，直线对应点为．
设抛物线的图象向上平移个单位得到抛物线为
当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个公共点，如图：
当抛物线经过点时，有抛物线与线段两个公共点．如图
此时：，
∴
当抛物线与直线有唯一的公共点时，如图：
解之得
∴当时，若抛物线与直线有两个交点， m的取值范围为．
45．（2025·广东揭阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
(1)如图1，若A点横坐标为1，点在抛物线M上，求t的值；
(2)如图2，若，直线，求b变化时点A到直线l的距离最小值；
(3)若，当时，求a的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用顶点A横坐标为1，得到，再代入到抛物线即可求解；
（2）设直线l分别交轴、轴于点、，过点作于点，作轴交直线l于点，利用一次函数的知识求出、的坐标，利用勾股定理求出的长，利用抛物线顶点式可得顶点A的坐标为，进而表示出的长，再通过证明，得到，代入数据得到的表达式，再利用二次函数的性质求出最小值即可；
（3）由题意得，令，解得，；分析可知当时，即，抛物线符合题意；再分2种情况讨论：①当时，抛物线开口向上；②当时，抛物线开口向下，再结合抛物线与轴交点的位置进行分析，即可解答．
【详解】（1）解：抛物线的顶点为A．且A点横坐标为1，
，
，
点在抛物线M上，
，
的值为0．
（2）解：如图，设直线l分别交轴、轴于点、，过点作于点，作轴交直线l于点，则，
代入到，得，
代入到，则有，解得，
，，
，
，
，
顶点A的坐标为，
代入到，得，
，
，
轴，
，
又，
，
，
，
当时，有最小值，
点A到直线l的距离最小值为．
（3）解：，
，
令，则，
解得：，，
当时，即，
此时，当时，符合题意；
当时，抛物线与轴的交点为和，
下面分2种情况讨论：
①当时，抛物线开口向上，此时，
若，则抛物线在的图象在轴下方，不符合题意；
若，即，则抛物线在的图象随着的增大而增大，且满足，符合题意；
；
②当时，抛物线开口向下，此时，
抛物线在的图象在轴上方，
当时，
，
解得：；
综上所述，a的取值范围为或．
46．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在轴和轴的正半轴上，点B在第一象限，，，抛物线经过B，C两点．
(1)求的值；
(2)如图1，设Q是抛物线L上位于x轴上方的动点，当的面积最大且与矩形的面积相等时，求此时矩形的周长；
(3)图2，设线段的两个端点坐标为，过点F作x轴的垂线，垂足为点H，连接．
①若抛物线L与直线有且只有一个公共点，求的值；
②当抛物线L与有公共点时，探究其公共点的个数及对应的取值范围．
【答案】(1)1
(2)24
(3)①；②当或抛物线L与没有公共点；当或抛物线L与有1个公共点；当时，抛物线L与有2个公共点；当，抛物线L与有3个公共点；当，抛物线L与有4个公共点．
【分析】本题主要考查了二次函数的面积问题、求二次函数的解析式、根的判别式、矩形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）先确定，再运用待定系数法法求得，然后代入计算即可；
（2）由题意可知Q位于抛物线的顶点时，的面积最大；根据抛物线可确定顶点坐标，然后根据图形求得、矩形的面积，然后根据他们面积相等列方程求解即可；
（3）①先求得直线的解析式为、抛物线的解析式为，然后联立可得，再根据题意可知方程的左边是完全平方式，据此列方程求解即可；②分情况画出图形，然后根据图形列不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵矩形,
∴,
∵抛物线经过B，C两点，
∴，解得：，
∴．
（2）解：当的面积最大时，Q位于抛物线的顶点，即，
∵，
∴，
∴的高为，
∴，，
∵，
∴，整理得：，解得：，
∴矩形的周长为．
（3）解：∵，过点F作x轴的垂线，垂足为点H，
∴,
设直线的解析式为，
则有，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴抛物线的解析式为：，
∴，整理得： ，
∵抛物线L与直线有且只有一个公共点，
∴该方程的左边是完全平方平方式，
∴,整理得：，解得：，
∵，
∴；
②a、由①可得：，
如图：当与直线有一个交点时，由①可得；
有图像可知：当时，抛物线L与有没有公共点，
b、如图： 当与直线有两个交点时，即方程有2个解，
∴且，解得：；
c、如图：抛物线与抛物线L与有4个交点，
则 ，解得：，
d、抛物线顶点在上时，，即，此时，抛物线与抛物线L与有3个交点，
e、如图：抛物线与抛物线L与有4个交点，
则 ，解得：；
f、如图：抛物线与抛物线L与有1个交点，
∵，
∴，解得：；
g、如图：抛物线与抛物线L与有没有交点，即当时，，解得：
综上，当或抛物线L与没有公共点；当或抛物线L与有1个公共点；当时，抛物线L与有2个公共点；当，抛物线L与有3个公共点；当，抛物线L与有4个公共点．
47．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点．
(1)求a，c的值；
(2)如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，其横坐标为t，过P作轴，交于H，求的面积S与t的函数解析式（不需要写出t的取值范围）；
(3)如图2，点C在第一象限内，连接，，且，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，，交于点E，点F在第二象限直线上，连接，，若，，，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)．
【分析】（1）将点A和点B坐标代入抛物线的解析式，进而得出a，c；
（2）先求得一次函数的解析式，从而表示出出P和H的坐标，进而得出，进一步根据三角形面积公式可得出结果．
（3）过点D作于G，交x轴于，可证得，从而，，设，，
可证得．从而得出，求得d的值，得出，，进一步再证明，可证得，从而得出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，与x轴交于点
∴，
解得：．
（2）设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：．
由（1）可知
∵点P的横坐标为t，
∴，
∵轴，交于H，
∴
∴．
（3）过点D作于G，交x轴于，
∴，
∴，
∵线段绕点C逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
即，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴
由∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∴，
整理得：，
解得：，
当时，
∴
【点睛】本题考查了二次函数综合题，求二次函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
48．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线交轴于两点在的左边），交轴于点．
图1 图2
(1)如图1，当时，
①直接写出三点的坐标；
②拋物线的顶点为，求证：；
(2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．过点的直线与拋物线交于两点．直线与拋物线只有一个交点，连接，若恒成立，求．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移和综合应用：
（1）①分别令，，求出三点的坐标即可；②求出点坐标，勾股定理逆定理得到，锐角三角函数，求出，，得到，根据角的和差关系，即可得出结论；
（2）根据题意求出的解析式，设，求出直线的解析式，根据直线经过点，得到，求出直线的解析式，进而求出点坐标，过点作直线平行于轴，作于点，作于点，证明进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
①当时，，当时，，
解得：，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
，
∵
，
，即：；
（2）由题意，得：，
设，直线的解析式为，
则：，解得，
∴
∵过得：
∴，
设的解析式为，
令，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
同法可得：
令，
解得
∴
过点作直线平行于轴，作于点，作于点．则：，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
又，
∵恒成立，
与的值无关，
∴，
49．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标；
(3)如图2，经过点的直线交抛物线于两点（M在第三象限，N在第一象限），直线交线段于点Q（不与重合），若的值与k无关，求的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)或者
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分为和两种情况分别画图，求出直线解析式，联立直线和二次函数的解析式求解即可；
（3）设点，可以求出直线，然后求出，，然后分别作，则，进而得到代入求值即可．
【详解】（1）由已知，知点，
且对称轴为直线则
解得
所以抛物线的解析式为．
（2）如图，①当时，，则
设直线为，
将代入得解得，
所以直线，
因为，所以直线为：，
联立抛物线与直线得
即，
解得（舍去）；
②当时，，
作，
由，对称轴为直线，
则，
所以，
所以，
作，则，
设得，点，
直线为：，联立抛物线与直线，
解得（舍去）
综上所述点D的横坐标为或者．

（3） 如图，设点，
因为直线经过点，
所以，直线
联立直线与直线，解得①
联立直线与抛物线得
即
由韦达定理得②
如图分别作，则，
，
所以，
将及①②代入得，
设，
，因为若的值与k无关，
解得，或．
当时，P与Q重合，不合题意，故舍
．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
50．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点（点在左）．
(1)若时，求，的坐标；
(2)如图1，在（1）的条件下，点为第一象限抛物线上一点，连接，，轴于点，，求点的纵坐标；
(3)如图2，抛物线经过两个定点，，直线与交于点，与抛物线交，二点，且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）先确定当时，抛物线的解析式，然后当时，解一元二次方程即可；
（2）设，求出，，，证明，得，继而推出，即可得解；
（3）先确定，，求出的解析式为，根据直线与交于点，确定，设，，，推出（点在点、之间），求出，，继而推出，得，根据抛物线与直线交于点，，得，且，求出，，继而得到，求解即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为，
∵抛物线与轴交于，两点（点在左），
∴当时，得：，
解得：，，
∴，；
（2）∵点为第一象限抛物线上一点，
∴设，
∵轴，
∴，，，
∴，
由（1）知：，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴点的纵坐标为；
（3）∵，
整理得：，
又∵抛物线经过两个定点，，即与的取值无关，
∴，
解得：或，
∴，，
设的解析式为，
∴，
解得∶ ，
∴的解析式为，
又∵直线与交于点，
∴，解得：，
∴，
又∵点、、均在直线上，
设，，，
根据题意知：（点在点、之间），
∴，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵抛物线与直线交于点，，
∴，且，
∴，
∴，，
又∵，即点的横坐标，
∴，
整理得：，
解得：或，
∴的值为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了抛物线与轴的交点坐标，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，待定系数法确定一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，两点间距离，一元二次方程根与系数的关系等知识点．掌握相似三角形的判定和性质、二次函数与一次函数的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键．