专题02 方程与不等式（江西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编(原卷版+解析版)

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题型01一元一次方程
题型02二元一次方程
题型03一元二次方程
题型04分式方程
题型05不等式与不等式组
题型01
一元一次方程
1．（2025·江西·模拟预测）《九章算法比类大全》是明代吴敬撰写的算书，书中载有一首“数学诗”：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，顶尖共有几盏灯？”（注：从塔的底层开始，每层的灯数是上一层灯数的2倍，直到顶层为止）根据诗中大意，则最中间层灯的盏数为 ．
【答案】24
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，设顶层的红灯有x盏，则第二层有盏，依次第三层有盏，第四层有盏，第五层有盏，第六层有盏，第七层有盏，总共381盏，列出等式，解方程，即可得解．
【详解】解：设顶层的灯有x盏，由题意，得
．
解得．
∴塔的顶层有3盏灯．
故最中间层灯的盏数为24．
故答案为：24．
2．（2025·江西赣州·模拟预测）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】直接根据题中信息：每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，列出方程，即可得到答案．本题考查了列一元一次方程解应用题，理解题意找等量关系是解题的关键．
【详解】解:设人数为，根据题意得，
故答案为：．
3．（2025·江西上饶·一模）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简绝对值，解一元一次方程等知识点．
（1）根据特殊角的三角函数值，零次幂，绝对值分别计算即可求解；
（2）利用解一元一次方程的步骤计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
4．（2025·江西景德镇·一模）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简绝对值，解一元一次方程等知识点．
（1）根据特殊角的三角函数值，零次幂，绝对值分别计算即可求解；
（2）利用解一元一次方程的步骤计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
5．（2025·江西·二模）某商家销售两款盲盒．已知购进4个款盲盒的费用与购进5个款盲盒的花费相同，每个款盲盒的进价比每个款盲盒的进价多20元．
(1)每个款盲盒和每个款盲盒的进价分别是多少元？
(2)根据网上预定的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进A，B两款盲盒共200个，求最多可以购进款盲盒的个数．
【答案】(1)每个A款盲盒进价100元，每个B款盲盒进价80元；
(2)最多购买A款盲盒50个．
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用．
（1）根据题意，设每个B款盲盒的进价是x元，则每个A款盲盒的进价是元，根据题意列出一元一次方程即可得到答案；
（2）设购买A款盲盒m个，则购买B款盲盒个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：设每个B款盲盒的进价是x元，则每个A款盲盒的进价是元．
由题意可得，
解得，
则．
即每个A款盲盒进价100元，每个B款盲盒进价80元；
（2）解：设购买A款盲盒m个，则购买B款盲盒个．
，
解得，
因为m为整数，所以m最大为50，
即最多购买A款盲盒50个．
题型02
二元一次方程
1．（2025·江西·二模）小亮妈妈逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用3个碗叠放时，总高度为；用5个碗叠放时，总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有 ．
【答案】
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据题意列方程组求出，进而求解即可．
【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，
根据题意得：，
解得：．
则10个碗放在一起时，它的高度为．
故答案为：．
2．（2025·江西九江·模拟预测）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中x，y为常数，则的值为 ．
【答案】
【知识点】构造二元一次方程组求解、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据元素和的数量不变，列出关于的二元一次方程组，然后求解，最后代入即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
∴，
故答案为：．
3．（2025·江西·模拟预测）若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、二元一次方程的解
【分析】本题主要考查了含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．
根据绝对值的意义得到，即可得到答案．
【详解】解：，即有两个解，
．
即，只有一个解，
．
无解，
．
．
4．（2025·江西·模拟预测）为响应“要在学生中弘扬劳动精神”的号召，某校劳动基地准备投入一笔资金用于购进甲、乙两种劳动工具．已知购进甲种劳动工具20件和乙种劳动工具10件共需1400元，甲种劳动工具的单价是乙种劳动工具单价的3倍．
(1)求甲、乙两种劳动工具的单价各是多少元．
(2)该劳动基地计划购进甲、乙两种劳动工具共60件，投入资金不超过2400元．设购进乙种劳动工具件，若，则有几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少？
【答案】(1)甲种劳动工具的单价为60元，乙种劳动工具的单价为20元
(2)共有3种购买方案．
方案1：购进甲种劳动工具30件、乙种劳动工具30件；
方案2：购进甲种劳动工具29件、乙种劳动工具31件；
方案3：购进甲种劳动工具28件、乙种劳动工具32件．
方案3需要的资金最少
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，找到等量关系是解答本题的关键．
（1）设甲种劳动工具的单价为元，乙种劳动工具的单价为元，根据题意列出方程即可；
（2）由题意，得，得到，有3种方案，设投入资金为元，由题意得，即可求得．
【详解】（1）解：设甲种劳动工具的单价为元，乙种劳动工具的单价为元，
由题意，得，
解得，
答：甲种劳动工具的单价为60元，乙种劳动工具的单价为20元；
（2）解：由题意，得，
解得，
，
，
又为整数，
可以取30，31，32，
共有3种购买方案，
方案1：购进甲种劳动工具30件、乙种劳动工具30件；
方案2：购进甲种劳动工具29件、乙种劳动工具31件；
方案3：购进甲种劳动工具28件、乙种劳动工具32件，
设投入资金为元，由题意得，
即，
，
随的增大而减小，
当时，，
方案3需要的资金最少．
5．（2025·江西宜春·一模）某工厂为了提高生产效率，计划对甲、乙两种型号机器进行改造，根据预算，改造2个甲种型号机器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器共需资金18万元．
(1)改造1个甲种型号机器和1个乙种型号机器所需资金分别是多少万元？
(2)已知改造1个甲种型号机器的时间是3天，改造1个乙种型号机器的时间是2天，该工厂计划改造甲、乙两种型号机器共16个，改造资金最多能投入68万元，要求改造时间不少于40天，请问有几种改造方案？哪种方案工厂投入资金最少，最少是多少？
【答案】(1)改造1个甲种型号机器需要5万元，改造1个乙种型号机器需要3万元
(2)
共有3种改造方案：方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器；方案2：改造9个甲种型号机器和7个乙种型号机器；方案3：改造10个甲种型号机器和6个乙种型号机器．其中方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器投入资金最少，最少资金是64万元
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程组和不等式组是解题的关键．
（1）设改造1个甲种型号机器需要x万元，改造1个乙种型号机器需要y万元，根据改造2个甲种型号机器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器共需资金18万元建立方程组求解即可；
（2）设改造m个甲种型号机器，则改造个乙种型号机器，根据改造资金最多能投入68万元，要求改造时间不少于40天建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设改造1个甲种型号机器需要x万元，改造1个乙种型号机器需要y万元，
由题意得
解得，
答：改造1个甲种型号机器需要5万元，改造1个乙种型号机器需要3万元．
（2）解：设改造m个甲种型号机器，则改造个乙种型号机器，
由题意得
解得．
∵m为正整数，
∴，
∴共有3种改造方案：
方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器；
方案2：改造9个甲种型号机器和7个乙种型号机器；
方案3：改造10个甲种型号机器和6个乙种型号机器．
方案1所需费用为（万元）；
方案2所需费用为（万元）；
方案3所需费用为（万元）．
∵，
∴方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器投入资金最少，最少资金是64万元．
题型03
一元二次方程
1．（2025·江西·模拟预测）对于一元二次方程，若变形后二次项系数为2，则一次项系数为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是（a、b、c为常数，）．先把方程化成一元二次方程的一般形式，并变形后二次项系数为2，再找出一次项系数即可．
【详解】解：，
，
若变形后二次项系数为2，可得：
所以一次项系数是，
故选：B．
2．（2025·江西·模拟预测）已知是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴．
故选：A．
3．（2025·江西·模拟预测）对于一元二次方程，若变形后二次项系数为4，则一次项系数为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是（a、b、c为常数，）．
先把方程化成一元二次方程的一般形式，并变形后二次项系数为4，再找出一次项系数即可．
【详解】解：，
，
若变形后二次项系数为4，可得：
所以一次项系数是，
故选：B．
4．（2025·江西·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．8B．C．6D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴．
故选：C．
5．（2025·江西赣州·一模）已知，则（ ）
A．是方程的根
B．是方程的根
C．方程有两个不等根
D．方程的两根，满足
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题关键．
根据求出的值，再根据一元二次方程的解的定义、根的判别式以及根与系数的关系求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
A、∵时，，∴是方程的根；
B、∵时，，∴不是方程的根；
C、∵，∴方程有两个相等的实数根；
D、方程的两根，满足．
故选：A．
6．（2025·江西吉安·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值是（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】D
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的整数解
【分析】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．首先根据根的判别式求出的取值范围，然后从中找到最小整数即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴满足条件的最小整数的值是，
故选：D．
7．（2025·江西·模拟预测）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】由一元二次方程的解求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根即能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键．
将代入原方程即可求解．
【详解】解：将代入方程，得：，
解得：．
故答案为：．
8．（2025·江西赣州·模拟预测）已知是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则．
根据直接求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，
故答案为：4．
9．（2025·江西·模拟预测）已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
，
故答案为：．
10．（2025·江西上饶·一模）若a，b是一元二次方程的两根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得出，然后对进行变形后整体代入即可解答．掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
∴．
故答案为：．
11．（2025·江西宜春·一模）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则另外一个根的值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴由根与系数的关系可得方程的另一个根的值为，
故答案为：．
12．（2025·江西·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式的正负判断即可．
【详解】解：原方程可变形为，由题意可得：

解得：
故答案为：4．
13．（2025·江西景德镇·一模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．（2025·江西·一模）已知关于x的方程，若方程的两个实数根都是整数，则整数k的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程得到，，根据方程的两个实数根都是整数，即可求解．
【详解】解：根据题意可知，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴，
故答案为：．
15．（2025·江西·模拟预测）（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）2；（2），．
【知识点】二次根式的混合运算、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查二次根式化简、解一元二次方程，掌握公式以及十字相乘法是解题的关键．
（1）先计算乘法，再计算二次根式的加减即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
∴，
则或，
解得，．
16．（2025·江西南昌·一模）互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家快递网点年月份完成快递的件数为件，月份完成快递的件数为件，求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率．
【答案】
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为，利用该快递网点月份完成快递的件数该快递网点月份完成快递的件数（该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为．
17．（2025·江西·模拟预测）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．
(1)当时，求得到的新实数；
(2)现将实数对放入其中，得到新实数，求的值．
【答案】(1)6
(2)
【知识点】因式分解法解一元二次方程、新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查新定义，一元二次方程的求解，理解新定义的运算法则，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题的关键．
（1）根据新定义，代入求值即可；
（2）根据题意得到一元二次方程，因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，
∴当时，原式；
（2）解：根据题意，将实数对放入其中得到，
∴，
整理得，，
解得，．
18．（2025·江西抚州·一模）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个
(1)设每件商品售价为x元时，则每件商品的利润为______元，此时每周可以卖出______个；
(2)若商场计划一周的利润达到12000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
【答案】(1)
(2)售价应定为每个50元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用；
（1）每个利润为售价减进价元，根据“价格每涨元，就少卖个”求销量即可；
（2）利用总利润为每件商品的利润乘以销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设每件商品售价为元时，则每件商品的利润为元，
∵价格每涨元，就少卖个，
∴每周可以卖出个数为，
故答案为：；
（2）解：由题意得：
整理得：
解得：，
∵更大优惠让利消费者，
，
答：售价应定为每个元．
19．（2025·江西·模拟预测）
【答案】（1）；（2）上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为；（3）见解析
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）根据题意可得：封面的长宽之比为，则中央矩形的长宽之比也是，设中央矩形的长、宽分别是，，即可求解；
（2）设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，则中央矩形的长为、宽为，由题意可得：中央矩形的面积是封面总面积的，据此列方程即可求解；
（3）设中央矩形的长为、宽为，根据题意列出方程，求出，最后根据：上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，即可求解．
【详解】解：（1）封面长，宽，
封面的长宽之比为：，
中央矩形的长宽之比也是：，
设中央矩形的长、宽分别是，，
上、下边衬与左，右边衬的宽度之比为：；
（2）设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，则中央矩形的长为、宽为，
四周的白色边衬所占面积是封面总面积的，则中央矩形的面积是封面总面积的，
，
整理得：，
解得：，，
当时，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为，不符合实际意义；
当时，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为，符合实际意义；
综上所述，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为；
（3）设中央矩形的长为、宽为，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
上、下边衬的宽均为，
左、右边衬的宽为．
题型04
分式方程
1．（2025·江西抚州·一模）在物理学中，物质的密度等于物体的质量m与它的体积V之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积小．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解
【详解】解：设物体A的体积是，则物体B的体积是，根据题意，得．
故选D．
2．（2025·江西·二模）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）3；（2）
【知识点】实数的混合运算、解分式方程（化为一元一次）、零指数幂
【分析】本题考查了零次幂，化简绝对值，解分式方程，正确的计算是解题的关键．
（1）根据零次幂，化简绝对值，进而进行实数的混合运算即可；
（2）乘以公分母，去分母，化为整式方程，进而求解即可，注意最后要检验．
【详解】解：（1）
；
（2）方程两边乘得：
，
解得：，
检验：当时．
所以，原分式方程的解为．
3．（2025·江西抚州·一模）以下是小张同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
．第一步
．第二步
．第三步
经检验，是原方程的根．第四步
任务一：填空：以上解方程的过程中，第___________步开始出现错误；
任务二：请你帮他写出正确的解答过程．
【答案】任务一：一；任务二：无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了求解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤是解答本题的关键．
任务一：根据解分式方程的方法进行判断即可；
任务二：先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：任务一：第一步去分母时，常数项没有乘以，因此第一步开始出现错误；
任务二：解：，
方程两边同乘以，得
解得，
检验，当时，，
∴不是原方程的根，
∴原方程无解．
4．（2025·江西·一模）一支园林队进行某区域的绿化，在合同期内高效地完成了任务，这是记者与该工程师的一段对话：
如果每人每小时绿化面积相同，请通过这段对话，求每人每小时的绿化面积．
【答案】平方米
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系，列方程是解答本题的关键．
设每人每小时的绿化面积为x平方米．然后根据对话内容列出分式方程求解即可．
【详解】解：设每人每小时的绿化面积为x平方米．
根据题意，得，
方程两边乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
答：每人每小时的绿化面积为平方米．
5．（2025·江西·模拟预测）为响应阳光体育运动的号召，某中学从体育用品商店购买了一批足球和篮球，具体信息如下：信息一：如表，信息二：购买足球的数量是购买篮球数量的2倍
(1)求购买一个足球和篮球各需要花费多少元．
(2)该中学决定再次购进足球和篮球共50个，且购买足球和篮球的总费用不超过3100元， 则该中学此次最多可购买多少个篮球？
【答案】(1)购买一个足球需要花费50元，购买一个篮球需要花费80元
(2)该中学此次最多可购买20个篮球
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，熟知题中等量关系和不等关系是解题的关键．
（1）利用购买足球的数量是购买篮球数量的2倍，列方程即可解答；
（2）设该中学此次购买m个篮球，则购买个足球，列不等式即可解答．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：购买一个足球需要花费50元，购买一个篮球 需要花费80元．
（2）解：设该中学此次购买 m 个篮球，则购买个足球，
根据题意，得，
解得，
答：该中学此次最多可购买20个篮球．
6．（2025·江西九江·模拟预测）在众多的旅游城市中，历史悠久的南昌仿佛一夜之间绽放了它的独特魅力，吸引了无数游客的目光．万寿宫景点内的某商家为了抓住这一商机，购进，两种有关南昌城市景点的纪念品进行销售．已知种纪念品购进时的单价比种纪念品购进时的单价高元，用元购进种纪念品的数量是用元购进种纪念品的数量的两倍．
(1)求，两种纪念品购进时各自的单价．
(2)该商家决定购进，两种纪念品共个，若每个种纪念品的售价为元，每个种纪念品的售价为元，销售完这个纪念品所获得的利润不低于元，则该商家最少购进种纪念品多少个？
【答案】(1)种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元
(2)该商家最少购进种纪念品个
【知识点】分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是正确找出等量关系．
（1）设种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元，根据题意列出分式方程即可求解；
（2）设该商家最购进种纪念品个，根据利润的关系列不等式即可求解．
【详解】（1）解：设种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元；
（2）设该商家最购进种纪念品个，
根据题意得：，
解得：，
答：该商家最少购进种纪念品个．
题型05
不等式与不等式组
1．（2025·江西吉安·一模）若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查不等式组整数解问题，解题的关键是正确求出不等式的解．分别解不等式①和不等式②，结合三个整数解直接求解即可得到答案；
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为：
∵整数解共有个，
∴
故选：B．
2．（2025·江西上饶·一模）不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，先移项再合并同类项，系数化1，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（2025·江西南昌·一模）不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得，；
解不等式②得，；
所以，不等式组的解集为：，
故答案为：．
4．（2025·江西景德镇·一模）古巴比伦有这样一个有趣的问题：“有二田，其一比其二广五亩．若以其一之十亩予其二，则其二之广不逾其一之倍，问初时其一田最小几何？”其大意为：两块土地，第一块面积比第二块大5亩，若从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，问最初第一块土地的最小面积为 ．
【答案】亩
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，设第一块土地面积为x亩，则第二块面积为亩，根据从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，列出不等式，求解即可．
【详解】解：设第一块土地面积为x亩，则第二块面积为亩，
根据题意：，
解得：，
则最初第一块土地的最小面积为亩，
故答案为：亩．
5．（2025·江西·模拟预测）（1）计算：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）
【知识点】负整数指数幂、求一元一次不等式的解集、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式．
（1）先计算负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的一般步骤解不等式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
6．（2025·江西南昌·一模）解不等式组并将解集在数轴上表示出来.
【答案】，数轴见解析
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键. 首先分别解出两个不等式的解集，然后找出它们的公共部分，即为不等式组的解集.最后，在数轴上表示出解集.
【详解】解：
解不等式①得.
解不等式②得.
故原不等式组的解集为.
将解集在数轴上表示为：
．
7．（2025·江西·模拟预测）（1）化简：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【知识点】整式的混合运算、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了整式的混合运算以及求不等式组的解集．
（1）先利用完全平方公式以及单项式乘多项式展开，然后合并同类项即可．
（2）分别求出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集即可；
【详解】解：（1）原式．
（2）解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以该不等式组的解集为．
8．（2025·江西·一模）（1）；
（2）求不等式组：的所有整数解的和．
【答案】（1）；（2）0
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、求一元一次不等式组的整数解、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数值的混合运算、求不等式组的整数解等知识点，掌握相关运算法则和方法成为解题的关键．
（1）先运用特殊角的三角函数值、零次幂、负整数次幂化简，然后计算即可；
（2）先分别求出各不等式的解集，进而确定不等式组的解集，最后确定所有整数解并求和即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
所以该不等式组的解集为：，
所以该不等式组的整数解为：，则所有整数解的和为0．
9．（2025·江西南昌·模拟预测）下面是小友同学解不等式的运算过程：
(1)以上解题过程中，从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________；
(2)请写出该不等式正确的求解过程．
【答案】(1)②；去括号时，常数项没有乘3
(2)．
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
（1）根据解一元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可解答；
（2）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：第②步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，常数项没乘3；
故答案为：②；去括号时，常数项没有乘3；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
解得．
10．（2025·江西·模拟预测）某公园要招聘甲、乙两种园丁共人，并公示甲、乙两种园丁每人的月薪分别为元和元．
(1)设招聘甲种园丁人，公园管理处每月付给甲、乙两种园丁的工资共元，求与的函数关系式；
(2)根据公园管理处对园丁月薪核算要求，每月甲种园丁的总工资不得少于乙种园丁的总工资，求乙种园丁最多可招聘多少人．
【答案】(1)；
(2)人．
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由招聘甲种园丁人，甲、乙两种园丁共人，则招聘乙种园丁人，根据题意得，然后整理即可；
（）设乙种园丁可招聘人，则甲种园丁可招聘人，根据题意得，然后解不等式并取整即可．
【详解】（1）解：∵招聘甲种园丁人，甲、乙两种园丁共人，
∴招聘乙种园丁人，
根据题意，得，
整理得，与的函数关系式为；
（2）解：设乙种园丁可招聘人，则甲种园丁可招聘人，
根据题意，得，
解得，
∴乙种园丁最多可招聘人．
11．（2025·江西·模拟预测）小明和妹妹在小商品市场看上了一款袜子，3元一双，他俩共有17元，他们想买6双，但是老板不肯．老板说：“我进价都要元一双，加上其他的成本肯定要达到元一双，真没有赚你们什么钱．”
(1)按照老板所说，如果他进了200双这款袜子，全部卖出后的盈利是多少？
(2)小明和妹妹还是决定购买这款袜子，且每人买同样的双数，则他们所带的钱最多可以供他们每人买几双？
【答案】(1)40元
(2)2双
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）用售价减去成本价再乘以销售量即可得到答案；
（2）设他们每人可买双，根据两人总钱数为17元建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：（元），
答：全部卖出后的盈利是40元．
（2）解：设他们每人可买双．
根据题意，得．
解得：，
∵x为整数，
∴的最大值为2．
答：他们所带的钱最多可供他们每人买2双．
12．（2025·江西宜春·一模）跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，因此某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为65元；甲种跳绳每根获利3元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳30根、乙种跳绳15根，一共花费1200元．
(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？
(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共80根，在费用不超过2250元的情况下，如何进货才能保证利润最大？
【答案】(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和50元
(2)当购进甲种跳绳50根，购进乙种跳绳30根，利润最大
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的性质、二元一次方程组、一元一次不等式等知识．
（1）设甲、乙两种跳绳的单价各是x元和y元，根据题意列出方程即可解决问题；
（2）设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，列出函数关系式和不等式即可解决问题．
【详解】（1）解：设甲、乙两种跳绳的单价分别是x元和y元，根据题意得，
，
解得：，
答：甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和50元；
（2）解：设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，由题意得，
，
∵，
∴随a的增大而减小，
∵费用不超过1000元，
∴，
解得：，
∴当时，利润最大，
∴（根），
∴当购进甲种跳绳50根，购进乙种跳绳30根，利润最大．
项目主题
设计一本书的封面
项目要求
1．封面长，宽；
2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形；
3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的；
4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽
项目任务
（1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比；
（2）设上、下边衬的宽均为，请你列出关于的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽．
项目反思
（3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题．
商品
单价（单位：元）
购买总金额（单位：元）
足球
x
2500
篮球
2000
解：去分母，得， ①
去括号，得， ②
移项，得， ③
合并同类项，得， ④