高一数学月考卷01（人教A版2019，测试范围：必修第二册第六章~第九章）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教 A 版 2019 必修第二册第六章--第九章。
（第六章 平面向量及其应用、第七章 复数、第八章 立体几何初步、第九章统计）
5．难度系数：0.7。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若复数 的实部为 0，则实数 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】依题意 ，
由 的实部为 0， ，得 .
故选 C
2．某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01，
02， ， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行:
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第 5 个样本编号是 （ ）.
A．09 B．05 C．65 D．71
【答案】A
【解析】第一行第 7 列为 3，依次往右读，37，14，05，11，09.
09 为第 5 个样本编号，
故选 A
3．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为 1500
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的样本，三个年级学生数之比依次为 ，已知高一年级共抽取了 300 人，则高三年级抽取的人数为（ ）
A．750 B．300 C．450 D．150
【答案】A
【解析】由题意可得： 解得： ，
所以高三年级抽取的人数为 .
故选 A
4．已知向量 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 在 上的投影向量是 ，
故选 B.
5．如图，三棱锥 中， 均为正三角形， 为直角三角形，斜边为 ， 为 的
中点，则直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取 的中点 ，连接 ，易得 ，
则 ， 所成的角即为直线 所成的角.
设 ，因为 均为正三角形， 为直角三角形，斜边为 ，
则 ， ， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
所以直线 所成角的余弦值为 .
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故选 B.
6．已知向量 ，若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【解析】向量 ，则 ，
由 与 的夹角为锐角，得 ，且 与 不共线，
因此 ，解得 且 ，
所以实数 的取值范围为 且 .
故选 D
7．如图，在正方体 中， ， ， 分别是棱 ， 的中点，则正方体
被平面 所截得的截面周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正方体 中，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
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由 是 的中点，得 ，则四边形 为平行四边形，
，由 是 的中点，得 ，
梯形 是正方体 被平面 所截得的截面，
， ，
所以所求截面的周长是 .
故选 B
8．根据最新版“气候季节划分”标准规定：如果连续 5 天的日平均气温都低于 且大于或等于 即为秋
季.现将连续 5 天的日平均气温（单位： ）记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列描述
中，该组数据一定符合秋季标准的是（ ）
A．平均数小于 16 且中位数小于或等于 15
B．平均数等于 16 且极差小于或等于 3
C．平均数小于 16 且标准差小于或等于 4
D．众数等于 18 且极差小于或等于 4
【答案】B
【解析】对于 A，举出反例： ，其平均数为 15.8，中位数为 14，但不符合秋季标准，故 A 错
误；
对于 B，假设有数据大于或等于 22，由极差小于或等于 3 可知，此组数据的最小值大于或等于 19，与平均
数等于 16 矛盾，假设不成立，
同理，若有数据小于 10 也不成立，故 B 正确；
对于 C，举出反例： ，此组数据平均数为 15，且标准差为 4，但不符合秋季标准，故 C 错误；
对于 D，举出反例： ，此组数据众数等于 18 且极差等于 4，但不符合秋季标准，故 D 错误.
故选 B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知直线 和平面 ，则下列命题中正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
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C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AC
【解析】对于 A，若 ，则 ，故 A 正确；
对于 B，若 ，则 或 ，故 B 错误；
对于 C，若 ，则存在直线 使得 ，
又因为若 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 C 正确；
对于 D，若 ，则 平行或相交，故 D 错误.
故选 AC.
10．在 中，若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由题意知 ， ， ，由正弦定理得 ，
故 ，
结合 ，可知 ，故 或 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
故选 AC
11．有一组样本数据 、 、 、 ，其平均数、中位数、方差、极差分别记为 、 、 、 ，由这组
数据得到新样本数据 、 、 、 ，其中 ，其平均数、中位数、方差、极差
分别记为 、 、 、 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于 A 选项，由平均数的性质可得 ，A 对；
对于 B 选项，不妨设 ，
若 为奇数，设 ，则数据 、 、 、 的中位数为 ，
若 ，新样本数据由小到大依次为 、 、 、 ，
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这组数据的中位数为 ；
当 ，新样本数据由小到大依次为 、 、 、 ，
这组数据的中位数为 ；
若 为偶数，同理可知， ，B 对；
对于 C 选项，由方差的性质可得 ，C 对；
对于 D 选项，若 、 是 、 、 、 中最大值、最小值，
当 时，则 为 、 、 、 中的最大值，
为 、 、 、 中的最小值，
此时， ；
当 时，则 为 、 、 、 中的最小值，
为 、 、 、 中的最大值，
此时， ，D 错.
故选 ABC.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知向量 ， ，若 ，则实数 ．
【答案】
【解析】由 ，则 ，解得 .
故答案为： .
13．已知公式 ，其中 是虚数单位，根据此公式计算 的虚部是 .
【答案】 /
【解析】由题意得， ，
∴ ，
∴ 的虚部是 .
故答案为： .
14．已知正六棱锥的高为 ，它的外接球的表面积是 ．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可
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以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为 ．
【答案】
【解析】设外接球的半径为 ，则 ， ．
设正六棱锥的底面边长为 ，则 ， ，
即正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 2．
正六棱锥的底面积 ．
侧面面积 ．
正六棱锥的体积 ．
设正六棱锥的内切球的半径为 ，
则 ．
．
设正方体的棱长为 ，则 ， ．
正方体的棱长的最大值为 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形， 底面 ， ，点 在棱
上， 平面 ．
(1)试确定点 的位置，并说明理由；
(2)求四棱锥 的表面积．
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【解析】（1）点 为 的中点．理由如下：如图，连接 ．设 ，
则点 O 为 的中点，连接 ．∵ 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，∴ ．
在 中，∵O 为 的中点，∴ 为 的中位线，
∴ 点 为 的中点．
（2） ⊥底面 ，又底面是边长为 1 的正方形，
∴ ，因为 底面 ，又 平面 ，
则 ，即 直角三角形，又 ，
则 ，
则 ，又 ，
则 为直角三角形，则 .
综上四棱锥 的表面积为 .
16．（15 分）
某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有 名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情
况，从中抽取了 名学生的得分（得分均为整数，满分为 分）进行统计，所有学生的得分都不低于 分，
将这 名学生的得分进行分组，第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，得到如
下的频率分布直方图.
(1)求图中 的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第 百分位数；
(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请
估计在参赛的 名学生中有多少名学生获奖.
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【解析】（1）由频率分布直方图知： ，解得： ；
设此次竞赛活动学生得分的第 百分位数为 分，
数据落在 内的频率为 ，落在 内的频率为 ，
，
，解得： ，
即此次竞赛活动学生得分的第 百分位数为 分.
（2）由频率分布直方图及（1）知：数据落在 ， ， ， 的频率分别为 ，
， ， ，
此次竞赛活动学生得分的平均值 ，
此次竞赛活动学生得分不低于 分的频率为 ，
在参赛的 名学生中，估计有 名学生获奖.
17．（15 分）
设 内角 所对的边分别为 ，已知 ，且 ．
(1)求 的面积；
(2)若 为角 的平分线，交 于 ，求 的长度．
【解析】（1）由余弦定理可得： ，即 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ；
（2）因为 为角 的平分线，所以
因为 ，
所以 ，而 ，
所以 .
18．（17 分）
为纪念五四青年运动 105 周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学
开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”
经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取 100 份学生的答卷作为样本，所有得分
都分布在 ，将得分数据按照 ， ，…， 分成 7 组，得到如图所示的频率分布直
方图．
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(1)估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)估计该中学参加竞赛学生成绩的第 75 百分位数（结果精确到 0.1）；
(3)若竞赛得分 100 分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的 100 份答卷数据统计；竞赛得分在
内学生的平均分和方差分别为 110 和 9，竞赛得分在 内学生的平均分和方差分别为 128
和 6，请估计该中学“强国少年”得分的方差．
【解析】（1）
（分），
据此估计该校参加竞赛学生成绩的平均分约为 69 分．
（2）前 4 组频率和为 ，第 5 组频率为 ，故第
75 百分位数在 内，即第 75 百分位数为 （分）．
据此估计该校参加竞赛学生成绩的第 75 百分位数约为 86.7 分．
（3）竞赛得分在 内学生的答卷数为 ；分数记为 ，其平均数记
为 ，方差记为 ；
竞赛得分在 内学生的答卷数为 ；分数记为 ，其平均数记为 ，方差
记为 ；
把“强国少年”得分的平均数记为 ，方差记为 ．根据方差的定义，总样本方差为：
．（*）
由 ， ，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平
均数为： ．
把已知的平均数和方差的取值代入（*）可得： ．
据此估计该学校“强国少年”得分的方差约为 80．
19．（17 分）
在三棱柱 中，侧面 平面 分别为 的中
点.
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(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求证： 与 不垂直；
(3)若 ，求 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
【解析】（1）
取 中点 ，连接 ，
在 中， 分别是 的中点，所以 ，
又 是 的中点，所以 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 .
（2）
假设 ，
因为侧面 平面 ，侧面 平面 ，
平面 ，所以 侧面 ，
因为 侧面 ，所以 ，
所以二面角 的平面角为 ，所以 ，
又 侧面 ，所以 ，
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因为 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 ，
由（1）知 ，所以 .
在平行四边形 中， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，与 矛盾，所以 与 不垂直.
（3）解法一：
作 于点 ，作 于点 ，连接 ，
由 侧面 侧面 ，得 ，
又 平面 ，所以 平面 .
所以 ，又 ，
所以 平面 ，所以 ，
在 ， ， 中，
，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ]，所以 ，
所以 ，所以 ，
取 中点 ，所以 ，所以 ，
所以 四点共面，
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连接 ，因为 ，
所以 ，
由（2）知 侧面 ，所以平面 侧面 ，
平面 侧面 侧面 ，所以 平面 ，
所以 与平面 所成角为 ，
在等腰 中， ，
由 ，得 ，
连接 ，在 中， ，所以 ，
所以 与平面 所成角正弦值的取值范围为 .
解法二：
设点 到平面 的距离为 ，
因为 平面 ，
所以 .
由（1）（2）知 侧面 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
，
所以 ，即 ，
所以 .
设 与平面 所成角为 ，则 .
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作 A1P⊥AC 于点 P ，作 PQ⊥AB 于点 Q ，连接 A1Q ，
由 侧面 侧面 ，得 ，
又 平面 ，所以 平面 .
所以 ，又 ，所以 平面 ，所以 ，
在 ， ， 中，
，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ]，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 与平面 所成角正弦值的取值范围为 .
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