高二数学月考卷01（新高考通用，计数原理 随机变量及其分布列 统计）：2024-2025学年高中下学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：计数原理+随机变量及其分布列+统计。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．5 名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种
数是（ ）
A．6 B．120 C．125 D．243
2．设随机变量 ， ，则 （ ）
A．0.25 B．0.35 C．0.3 D．0.7
3．在 的展开式中，常数项为 75，则 （ ）
A．1 B． C． D．
4．长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前
往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这 6 种美
食中随机选择 2 种品尝（选择的 2 种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这 6 种美食，则这三天他选择
美食的不同选法种数为（ ）
A．90 B．120 C．150 D．180
5．已知变量 与变量 的关系可以用模型 （ ， 为常数）拟合，设 ，变换后得到一组
数据如下：
2 3 4 5 6
1 / 6
1.02 1.20 1.42 1.62 1.84
由上表可得经验回归方程为 ，则 （ ）
A．0.206 B． C．0.596 D．
6．已知随机变量 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7． 260 班和 261 班举行射击比赛，两班各选出一名射手，射手甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人
同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为 0.5 和 0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被
甲射中的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装
时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，
现从乙款礼盒内随机取出 个粽子，其中含 个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，
记取到肉粽的个数为 ，其中 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，随机变量 服从两点分布 B．随着 的增大， 减少， 增加
C．当 时，随机变量 服从二项分布 D．随着 的增大， 增加， 减小
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．某学校为了调查学生对“只要学习够努力，成绩一定有奇迹”这句话的认可程度，随机调查了 90 名本校高
一、高二的学生，得到如下列联表．用样本估计总体，则下列说法正确的是(参考数据：χ2＝
，n＝a＋b＋c＋d，P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥10.828)＝0.001)（ ）
认可 不认可 总计
高一 20 20 40
高二 40 10 50
总计 60 30 90
A．高一高二大约有 66.7%的学生认可这句话
B．高一高二大约有 99%的学生认可这句话
2 / 6
C．依据α＝0.01 的独立性检验，认为学生对这句话认可与否与年级有关
D．在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为学生对这句话认可与否与年级无关
10．袋中有 10 个大小相同的球，其中 6 个黑球编号为 1，2，3，4，5，6，4 个白球编号为 7，8，9，10，
现从中任取 4 个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．恰有 3 个白球的概率为
B．取出的最大号码 X 服从超几何分布
C．设取出的黑球个数为 Y，当 时，概率最大
D．若取出一个白球记 2 分，取出一个黑球记 1 分，则总得分最大的概率为
11．将 这七个数随机地排成一个数列，记第 i 项为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ， ，则这样的数列共有 360 个
B．若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有 64 个
C．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有 144 个
D．若 ， ， ，则这样的数列共有 71 个
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．在 的展开式中，含 项的系数为 .
13．小智参加三分投篮比赛，每投一次，投中得 1 分，投不中扣 1 分，已知小智投篮的命中率为 ，记小
智投篮三次后的总分数为随机变量 ，则 为 ．
14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为 时得 1 分，当
点数为 1，6 时得 3 分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷 2 次骰子，最终得
分为 ，则随机变量 的期望是 ；若抛掷 50 次骰子，记得分恰为 分的概率为 ，则当 取最
大值时 的值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用 x（单位：百元）与日销售量 y（单位：百
件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表：
日营销费用 x/百
2 3 4 5 6 元
3 / 6
日销售量 y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1
已知 y 与 x 线性相关.
(1)根据上表数据，求 y 关于 x 的经验回归方程；
(2)请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为 1000 元时，日销售量为多少百件.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据 （ ）.其经验回归直线 的斜
率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
16．（15 分）北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有 8 个相
同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮
数量/只 1 2 3 1 1
从中随机地选取 5 只.
(1)求选取的 5 只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；
(2)若选取完整的奥运会吉祥物记 100 分；若选出的 5 只中仅差一种记 80 分；差两种记 60 分；以此类推，
设 表示所得的分数，求 的分布列.
17．（15 分）已知 展开式的各二项式系数和为 512，且
．
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(1)求 ；（结果保留指数幂形式）
(2)求 的值；
(3)求证： 能被 6 整除．
18．（17 分）2023 年 3 月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有 12 个班级作为参赛队伍，
本次比赛启用了新的排球用球 已知这种球的质量指标 （单位：g）服从正态分布
，其中 ， .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行 11 场比赛，最后靠积分
选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取 5 局 3 胜制）：比赛中以 3：0 或 3：1 取胜的球队积 3 分，负队积
0 分；而在比赛中以 3：2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分.9 轮过后，积分榜上的前 2 名分别为 1 班排球队
和 2 班排球队，1 班排球队积 26 分，2 班排球队积 22 分.第 10 轮 1 班排球队对抗 3 班排球队，设每局比赛
1 班排球队取胜的概率为 .
(1)令 ，则 ，且 ，求 ，并证明： ；
(2)第 10 轮比赛中，记 1 班排球队 3：1 取胜的概率为 ，求出 的最大值点 ，并以 作为 的值，
解决下列问题.
（ⅰ）在第 10 轮比赛中，1 班排球队所得积分为 ，求 的分布列；
（ⅱ）已知第 10 轮 2 班排球队积 3 分，判断 1 班排球队能否提前一轮夺得冠军（第 10 轮过后，无论最后
一轮即第 11 轮结果如何，1 班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.
参考数据： ，则 ， ，
.
19．（17 分）小奥和小锐两位同学在两个房间内做游走游戏.每经过 1 分钟，两人都可以选择进行一次移动.
小奥从当前房间移动到另一房间的概率为 0.6，留在该房间的概率为 0.4；若上一分钟两人都在一个房间，
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那么下一分钟小锐必定移动到另一个房间；若上一分钟两人不在同一房间，小锐从当前房间移动到另一房
间或留在当前房间的概率均为 0.5，已知在第 0 分时，小奥在 0 号房间，小锐在 1 号房间.设在第 分钟时，
小奥和小锐在 0 号房间的概率分别为 .
(1)求第 1 分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为 1 的概率；
(2)求 ；
(3)求在第几分钟时，小锐在 0 号房间的概率最大.
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