高一数学月考卷（北师大版2019，测试范围：必修第二册第一章~第五章）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B A A B A C A C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9 10 11
AD ABD ABD
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．0 13．40 14．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分 13 分）已知向量 ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ， …………………………3 分
所以 .…………………………6 分
（2） ，
所以 ， …………………………9 分
1 / 5
……13 分
16．（本小题满分 15 分）已知 .
(1)化简函数 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ， 且 ， ，求 的值.
【解】（1）由题意 .………3 分
（2）由（1）得若 ，则 ， …………………………5 分
所以 . …………………………8 分
（3）由（1）得若 ， ，
则 ， ， …………………………10 分
所以 ， ，
所以 ， …………………………12 分
又因为 ，所以 ， ，
所以 . …………………………15 分
17．（本小题满分 15 分）设 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且
．
(1)求角 的大小；
(2)已知 ， ，求 的面积．
【解】（1）因为 ，
所以 ，
即 ， …………………………3 分
由正弦定理得 ，
2 / 5
中 ，所以 ， …………………………6 分
又 ，所以 ； …………………………7 分
（2）由余弦定理得 ， …………………………10 分
即 ，解得 （负值舍去）， …………………………12 分
所以 ． …………………………15 分
18.(本小题满分 17 分）
【解】（1）由图可得 ，解得 ， ………………………2 分
所以函数 ，
又由图 ，
所以 ，则 ， …………………………5 分
又因为 ，所以 ，
则函数 的解析式为 . …………………………7 分
（2）因为 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，在 上单调递减， …………………………9 分
且当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以 ， ，
故 在 上的最大值为 ；最小值为 . …………………………12 分
（3）先将 的图象纵坐标缩短到原来的 可得 的图象，
再向左平移 个单位得到 的图象，
即 ， …………………………14 分
令 ，
解得 ，可得 的减区间为 . ……………………17 分
3 / 5
19．(本小题满分 17 分）
【解】（1）由已知 中 ，
即 ，
故 ， …………………………2 分
由正弦定理可得 ，
故 直角三角形，即 . …………………………4 分
（2）由（1） ，所以三角形 的三个角都小于 ，
则由费马点定义可知： ， …………………………5 分
设 ，
由 得： ……………………7 分
整理得 ，
则
. …………………………9 分
（3）点 为 的费马点，则 ，
设 ，
则由 得 ； …………………………10 分
由余弦定理得 ，
，
， …………………………13 分
故由 得 ，
4 / 5
即 ，而 ，
故 ， …………………………15 分
当且仅当 ，结合 ，解得 时，等号成立，
又 ，即有 ，解得 或 （舍去），
故实数 的最小值为 . …………………………17 分
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