2025版高考热点题型与考点专练数学中档大题练5试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学中档大题练5试题（Word版附答案），共6页。
(1)若λ=1,判断△ABC的形状;
【解析】(1)根据题意,·-·=λ,
即||·||cs A-||·||cs B=λ||2,
所以bcb2+c2-a22bc-aca2+c2-b22ac=λc2,
化简得b2-a2=λc2,
当λ=1时,得b2=c2+a2,即△ABC为直角三角形.
(2)若λ=12,求tan(B-A)的最大值.
【解析】(2)当λ=12时,由(1),得b2-a2=12c2,
根据正弦定理,得sin2B-sin2A=12sin2C,
即(sin B-sin A)(sin B+sin A)=12sin2C,
根据和差化积公式,
得2sinB+A2csB-A2·2csB+A2sinB-A2=12sin2(A+B),
即2sin(B-A)=sin(A+B),
化简得3sin Acs B=cs Asin B,
所以3tan A=tan B.
设tan A=t,则tan B=3t,(t>0)
所以tan(B-A)=3t-t1+3t2=2t1+3t2=21t+3t≤221t·3t=33,
当且仅当1t=3t=3,即t=33时,等号成立,
即当A=π6,B=π3时,tan(B-A)取最大值为33.
2.已知函数f(x)=x-aln x,a∈R.
(1)当a=2时,曲线y=f(x)与曲线f1(x)=-x2+m恰有一条公切线y=-x+t,求实数m与t的值;
【解析】(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,可得f'(x)=1-2x,
令f'(x)=1-2x=-1,可得x=1,
又因为f(1)=1,所以切点(1,1)在直线y=-x+t上,则t=2.
因为f1(x)=-x2+m,
所以f'1(x)=-2x,令f'1(x)=-1,则x=12,
在直线y=-x+2中,
令x=12,可得y=32,
又因为点(12,32)在曲线f1(x)=-x2+m上,所以m=74.
(2)若函数h(x)=x-aln x-1x有两个极值点x1,x2(x10,
所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.
因为g(1e)=e-1e+(1e+e)×(-1)=-2e,
所以由(1x1-x1)+(x1+1x1)ln x1≥-2e,
可得1e≤x1