2025版高考热点题型与考点专练数学热点20函数与方程、导数的几何意义试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学热点20函数与方程、导数的几何意义试题（Word版附答案），共7页。试卷主要包含了函数零点的应用，导数的几何意义等内容，欢迎下载使用。
考向一 函数零点的应用
【典例1】(2022·北京高考)若函数f(x)=Asin x-3cs x的一个零点为π3,则A= 1 ;
f(π12)= -2 .
【审题思维】
根据f(π3)=Asin π3-3cs π3=0求得A值→利用辅助角公式将函数化为正弦型函数→将π12代入求值.
【题后反思】
1.判断函数零点个数的三种方法
2.确定函数零点所在区间的两种方法
【提醒】
函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,而不是一个点.
【典例2】(2024·全国甲卷)曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有两个不同的交点,则a的取值范围为 (-2,1) .
【审题思维】
x3-3x=-(x-1)2+a→a=x3-3x+(x-1)2有两个不同的零点→构造函数φ(x)=x3-3x+(x-1)2→对其求导,结合导数分析函数的性质→数形结合求解.
【题后反思】
1.由函数零点个数求参数的取值范围的两种方法
2.由函数零点的范围求参数的三种方法
考向二 导数的几何意义
【典例1】(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln |x|①过坐标原点的两条切线的方程②为
x-ey=0 , x+ey=0 .
【审题思维】
【题后反思】
与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知切点求切线方程:
①求函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;
②由点斜式求得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0).
(2)已知斜率求切点:已知斜率k,求切点(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.
(3)求切线倾斜角的取值范围:先求导数的取值范围,即确定切线斜率的取值范围,然后利用正切函数的单调性解决.
(4)根据切线的性质求倾斜角或参数值:
①已知过曲线上一点P(x0,y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直),确定该切线的斜率k;
②求出函数的导函数;
③利用导数的几何意义得到k=f'(x0)=tan α,其中倾斜角α∈[0,π);
④根据范围进一步求得角α或有关参数的值.
【提醒】
(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆;
(2)求曲线切线时,要分清在P点处的切线与过P点的切线的区别.
【典例2】(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线①也是曲线y=ln(x+1)+a的切线②,则a= ln 2 .
【审题思维】
【题后反思】
两条曲线的公切线问题的求解方法
(1)利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;
(2)设公切线l在曲线y=f(x)上的切点为A(x1,f(x1)),在曲线y=g(x)上的切点为B(x2,g(x2)),则f'(x1)=g'(x2),求解后再解决相关问题.
【真题再现】
1.★★☆☆☆(2024·全国甲卷)设函数f(x)=ex+2sinx1+x2,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(A)
A.16B.13C.12D.23
2.★★☆☆☆(2023·全国甲卷)曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为(C)
A.y=e4xB.y=e2xC.y=e4x+e4D.y=e2x+3e4
3.★★★☆☆(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 (-∞,-4)∪(0,+∞) .
【模拟精选】
1.★☆☆☆☆(2024·青岛二模)函数f(x)=ax-a(a>0,a≠1)的零点为(B)
A.0B.1C.(1,0)D.a
2.★☆☆☆☆(2024·安康模拟)函数f(x)=ln x+x2-2的零点所在区间是(C)
A. (0,22)B. (22,1)C.(1,2)D.(2,2)
3.★★☆☆☆(2024·福州模拟)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=x3+2x,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为(A)
A.y=-5x-2B.y=-5x-8
C.y=5x+2D.y=5x+8
4.★★★☆☆(2024·茂名二模)若f(x)为R上的偶函数,且f(x)=f(4-x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,则函数g(x)=3|sin(πx)|-f(x)在区间[-1,5]上的所有零点的和是(A)
A.20B.18C.16D.14
5.★★★☆☆(2024·长沙二模)已知m>0,n>0,直线y=2ex+m与曲线y=2ln x-n+4相切,则1m+1n的最小值是(D)
A.4B.3C.2D.1
6.★★★☆☆(2024·茂名一模)曲线y=ln x与曲线y=x2+2ax有公切线,则实数a的取值范围是(B)
A. (-∞,-12]B. [-12,+∞)
C. (-∞,12]D. [12,+∞)
7.★★★☆☆(2024·西安模拟)若函数f(x)=x3-3x+a在区间(0,2)内有两个零点,则实数a的取值范围是(A)
A.(0,2)B.(2,+∞)C.(0,1)D.(1,+∞)
8.★★★☆☆(2024·铜川模拟)已知ω>0,若函数f(x)=lnx−x3,x>0,sin(ωx+π3),−π≤x≤0有4个零点,则ω的取值范围是(B)
A. (43,73]B. [43,73)C. (73,103]D. [73,103)
9.★★★★☆(2024·合肥模拟)过点M(0,p)且倾斜角为α(α∈(π2,π) )的直线l与曲线C:x2=2py交于A,B两点,分别过A,B作曲线C的两条切线l1,l2,若l1,l2交于点N,直线MN的倾斜角为β,则tan(α-β)的最小值为(C)
A.22B.2C.22D.42
10.★★★★☆(2024·邵阳三模)若过点(a,b)可以作曲线y=ln x+1的两条切线,则(B)
A.bln a+1C.aea
11.★★★★☆(多选题)(2024·宜春模拟)已知函数f(x)=2−|lg2x|,02,,g(x)=f(x)-a,则(BCD)
A.若g(x)有2个不同的零点,则2