2025版高考热点题型与考点专练数学热点13球与几何体的切接问题试题（Word版附答案）

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【考向一】空间几何体的外接球
【典例1】(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1②,上、下底面边长分别为33和43,其顶点都在同一球面上①,则该球的表面积为(A)
A.100πB.128πC.144πD.192π
【审题思维】
【题后反思】
空间几何体外接球的三种常见模型
【典例2】(2023·全国乙卷)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA= 2 .
【审题思维】
将三棱锥补为直三棱柱→确定球心的位置→利用球的截面的性质建立方程进行求解.
【题后反思】
1.灵活利用球的截面的性质解决外接球问题
(1)定截面:首先确定某个底面,作为外接球的截面,即底面的外接圆,确定圆心O1和半径r;
(2)定球心:根据几何体的性质,确定球心O的位置,主要依据有两个:
①OO1与截面垂直;
②O到各个顶点的距离相等.
(3)定关系:球的半径R2=OO12+r2.
2.确定空间几何体外接球球心的四种常用结论
(1)长方体的体对角线的中点是球心;
(2)正棱柱的上、下底面中心连线的中点是球心;
(3)直三棱柱的上、下底面三角形外心连线的中点是球心;
(4)正棱锥的外接球的球心在其高上,通过计算可以找到.
【考向二】空间几何体的内切球
【典例1】(多选题)(2023·新高考Ⅰ卷)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(ABD)
A.直径为0.99 m的球体
B.所有棱长均为1.4 m的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
【审题思维】
球的直径等于正方体的棱长⇒球外切正方体.
【题后反思】
空间几何体内切球的常用结论
(1)若球与平面相切,则切点与球心连线与切面垂直;
(2)内切球球心到多面体各面的距离均相等;
(3)正多面体的内切球和外接球的球心重合;
(4)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不一定重合.
(5)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球:
①外接球:球心是正方体中心;半径r=32a(a为正方体的棱长);
②内切球:球心是正方体中心;半径r=a2(a为正方体的棱长);
③与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径r=22a(a为正方体的棱长).
(6)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分):
①外接球:球心是正四面体的中心,半径r=64a(a为正四面体的棱长).
②内切球:球心是正四面体的中心,半径r=612a(a为正四面体的棱长).
【典例2】(2020·高考课标Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 23π .
【审题思维】
运用勾股定理求出圆锥的高→求出圆锥轴截面的面积→利用等面积法求出球的半径→利用球的体积公式计算.
【题后反思】
1.求解内切球问题的关键点
(1)多面体的内切球,主要利用等体积变换,即根据球心到各面的距离等于球的半径,利用球心把多面体分成多个小锥体,这些锥体的体积之和等于多面体的体积,从而列出方程求解.
(2)旋转体的内切球,抓住旋转体的轴截面,转化为平面图形的内切圆问题求解.
2.求空间几何体内切球半径的两种基本方法
(1)构造法:构造三角形,利用相似比或勾股定理求解.
①正三棱锥内切球半径的求法
如图1,三棱锥P-ABC为正三棱锥,设其内切球的球心为O,半径为r,
第一步:画出内切球的截面图,E,H分别是△PAB,△ABC的外心;
第二步:求DH=13CD,PO=PH-r,PD是侧面△PAB的高;
第三步:由△POE∽△PDH,建立等式:OEDH=POPD,解出r.
②正四棱锥内切球半径的求法
如图2,四棱锥P-ABCD为正四棱锥,设其内切球的球心为O,半径为r,
第一步:画出内切球的截面图,P,O,H三点共线;
第二步:求FH=12BC,PO=PH-r,PF是侧面△PCD的高;
第三步:由△POG∽△PFH,建立等式:OGFH=POPF,解出r.
(2)等体积法:体积分割是求内切球半径的通用方法.
若三棱锥P-ABC是任意三棱锥,设其内切球的球心为O,半径为r,则
r=3VP-ABCS△ABC+S△PAB+S△PBC+S△PAC.
【真题再现】
1.★★★☆☆(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是 [22,23] .
2.★★★☆☆(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CD,A1B1的中点,则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 12 .
【模拟精选】
1.★★☆☆☆(2024·西安模拟)已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同一个表面积为20π的球面上,该圆柱的体积为(D)

A.8πB.6πC.5πD.4π
2.★★★☆☆(2024·新疆三模)设四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面积分别为S1,S2,侧面积为S,若一个小球与该四棱台的每个面都相切,则(D)
A.S2=S1S2B.S=S1+S2
C.S=2S1S2D.S=S1+S2
3.★★★☆☆(2024·安康模拟)若某圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球表面积为4π,则该圆锥的体积为(B)
A.2πB.3πC.4πD.6π
4.★★★☆☆(2024·菏泽模拟)已知正三棱台的上、下底面边长分别为23,43,体积为423,则该正三棱台的外接球表面积为(C)
A.20πB.803πC.80πD.16053π
5.★★★☆☆(2024·沧州三模)《几何补编》是清代梅文鼎撰算书,其中给出了正四面体,正六面体(立方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体P-ABC的棱长为23,M为棱PA上的动点,则当三棱锥M-ABC的外接球的体积最小时,三棱锥M-ABC的体积为(A)
A.463B.42C.43D.83
6.★★★★☆(2024·益阳模拟)如图所示,4个球两两外切形成的几何体,称为一个“最密堆垒”.显然,即使是“最密堆垒”,4个球之间依然存在着空隙.材料学研究发现,某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切,则材料的性能会有显著性变化.记原金属晶体的原子半径为rA,另一种金属晶体的原子半径为rB,则rA和rB的关系是(D)
A.2rB=3rAB.2rB=6rA
C.2rB=(3-1)rAD.2rB=(6-2)rA
7.★★★★☆(多选题)(2024·衡水三模)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,点M为A1D1的中点,点P为正方形A1B1C1D1内一点(包含边界),且BP∥平面AB1M,球O为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,下列说法正确的是(ACD)
A.球O的体积为4π3
B.点P的轨迹长度为22
C.异面直线CC1与BP所成角的余弦值取值范围为[33,255]
D.三棱锥M-AA1B1外接球与球O内切
8.★★★★☆(2024·吉林模拟)清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”,其可由两个正交的全等正四面体组合而成(每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点).如图,若正四面体棱长为2,则该组合体的表面积为 63 ;该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 27 .
【创新演练】
1.★★★★☆(2024·南平模拟)某雕刻师在切割玉料时,切割出一块如图所示的三棱锥型边料,测得在此三棱锥A-BCD中,侧面ABC⊥底面BCD,且AB=AC=DB=DC=AD=2 cm,该雕刻师计划将其打磨成一颗球形玉珠,则磨成的球形玉珠的直径的最大值为(C)
A.26 cmB.23 cm
C.22(2-3)cmD.2(2-3)cm
2.★★★★☆(2024·成都三模)六氟化硫,化学式为SF6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电气工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体每个面都是正三角形,可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体).如图所示,正八面体E-ABCD-F的棱长为a,下列说法中正确的有(B)
①异面直线AE与BF所成的角为45°;
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为33;
③若点P为棱EB上的动点,则AP+CP的最小值为23a;
④若点O为四边形ABCD的中心,点Q为此八面体表面上动点,且|OQ|=a2,则动点Q的轨迹长度为833aπ.
A.1个B.2个C.3个D.4个
年份
2022
2023
2024
角度
题号
角度
题号
角度
题号
新高考Ⅰ卷
棱锥的外接球
8
正方体的内切球
12
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新高考Ⅱ卷
棱台的外接球
7
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①
由正弦定理求出两底面外接圆的半径
②
根据截面圆的性质求出球心到两截面的距离
模型
墙角模型
垂面模型
切瓜模型
图例
线面
关系
三条线两两垂直
一条直线垂直
于一个平面
两个平面互相垂直
半径
求法
找三条两两垂直的线段,用2R=a2+b2+c2求半径
利用勾股定理求三棱锥的外接球的半径
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