2025版高考热点题型与考点专练数学热点18抛物线试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学热点18抛物线试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了抛物线的定义及方程，抛物线的简单几何性质等内容，欢迎下载使用。
考向一 抛物线的定义及方程
【典例1】(2023·全国乙卷)已知A(1,5)在抛物线C:y2=2px上①,则点A到抛物线C的准线的距离②为 94 .
【审题思维】
【题后反思】
抛物线定义应用的三种类型及解题策略
【典例2】(2024·天津高考)(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合①,A②为两曲线的交点,则原点到直线AF的距离③为 45 .
【审题思维】
【题后反思】
求抛物线标准方程的两种方法
【提醒】
抛物线的标准方程中参数p的几何意义:抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以p的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(AC)
A.p=2
B.|MN|=83
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
【审题思维】 先求得焦点坐标,从而求得p,根据弦长公式求得|MN|,根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【题后反思】
1.常用结论:通过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则:
(1)x1·x2=p24,y1·y2=-p2;
(2)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=x1+x2+p=2psin2θ.
2.焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则
【真题再现】
1.★★☆☆☆(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(B)
A.2B.22C.3D.32
2.★★★☆☆(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(BCD)
A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2
3.★★★☆☆(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则(ACD)
A.直线AB的斜率为26B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM0)上,F为C的焦点,则|MF|=(C)
A.3B.4C.5D.6
2.★★☆☆☆(2024·新余二模)已知点Q(2,-2)在抛物线C:y2=2px上,F为抛物线的焦点,则△OQF(O为坐标原点)的面积是(A)
A.12B.1C.2D.4
3.★★☆☆☆(2024·青岛二模)抛物线y=x2的焦点到双曲线x22-y24=1的渐近线的距离为(A)
A.312B.36C.612D.66
4.★★★☆☆(2024·北京三模)点F是抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若++=0,则||+||+||=(C)
A.2B.23C.3D.43
5.★★★☆☆(2024·北京三模)设M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O是坐标原点,若∠OFM=120°,则|FM|=(B)
A.5B.4C.3D.2
6.★★★☆☆(2024·重庆三模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,点A在第一象限,点O为坐标原点,且S△AOF=2S△BOF,则直线l的斜率为(A)
A.22B.3C.1D.-1
7.★★★☆☆(2024·成都模拟)设点A(2,3),动点P在抛物线C:y2=4x上,记P到直线x=-2的距离为d,则|AP|+d的最小值为(D)
A.1B.3C.10-1D.10+1
8.★★★☆☆(2024·马鞍山模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线与x轴交于点M,直线l过其焦点F且与C交于A,B两点,若直线AM的斜率为255,则|AB|=(D)
A.455B.855C.4D.5
9.★★★☆☆(2024·泰安模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,C上一点M(x0,3)到焦点F的距离为4,过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,则|AF|+3|BF|的最小值为(B)
A.43+4B.23+4C.-23+4D.23+8
10.★★★★☆(多选题)(2024·襄阳二模)抛物线C:x2=2py的焦点为F,P为其上一动点,当P运动到(t,1)时,|PF|=2,直线l与抛物线相交于A,B两点,下列结论正确的是(BC)
A.抛物线的方程为x2=8y
B.抛物线的准线方程为y=-1
C.当直线l过焦点F时,以AF为直径的圆与x轴相切
D.|AF|+|BF|≥4
11.★★★★☆(多选题)(2024·沧州二模)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,直线l过F且与C交于A,B两点,O为坐标原点,P(2,y0)为C上一点,且|PF|=3,则(ACD)
A.过点M(2,-3)且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条
B.当△AOB的面积为22时,|AF|·|BF|=94
C.△AOB为钝角三角形
D.2|AF|+|BF|的最小值为3+22
12.★★☆☆☆(2024·安康模拟)已知抛物线方程为y2=4x,点A(1,0),B(2,-1),点P在抛物线上,则|PA|+|PB|的最小值为 3 .
13.★★★☆☆(2024·南通二模)已知抛物线C:y2=4x,过点(4,0)的直线与抛物线交于A,B两点,则线段AB中点M的轨迹方程为 y2=2(x-4) .
【创新演练】
1.★★★☆☆(2024·绵阳模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AF⊥BF,线段AB的上一点M满足=,M在l上的投影为N,则|MN||AB|的最大值是(A)
A.22B.12C.1D.2
2.★★★☆☆(2024·杭州模拟)应用抛物线和双曲线的光学性质,可以设计制造反射式天文望远镜,这种望远镜的特点是镜筒很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜,其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示.其中,一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线,另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线的一个分支.已知F1,F2是双曲线的两个焦点,其中F2同时又是抛物线的焦点,且∠NF2F1=45°,tan∠NF1F2=14,△NF1F2的面积为10,|O1F2|=8,则抛物线方程为 y2=32(x+3) .
年份
2022
2023
2024
角度
题号
角度
题号
角度
题号
新高考Ⅰ卷
抛物线的简单几何性质
11
—
—
—
—
新高考Ⅱ卷
抛物线的简单几何性质
10
抛物线的简单几何性质
10
抛物线的简单几何性质
10
①
将点A的坐标代入抛物线方程求得p
②
求出抛物线的准线方程,利用点到直线的距离公式求解
轨迹问题
用抛物线的定义可以确定与定点、定直线的距离有关的动点轨迹是否为抛物线
距离问题
灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离间的等价转化
最值问题
将抛物线上的点到焦点(准线)的距离转化为该点到准线(焦点)的距离,构造出“两点之间线段最短”或利用“与直线上所有点的连线中,垂线段最短”求解问题
①
求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标可得抛物线的方程
②
联立方程组求出圆与抛物线的交点坐标A
③
求出直线AF的方程,利用点到直线的距离求解
定义法
根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置求出抛物线方程
待定系数法
若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0),a的正负由题设来定;焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay(a≠0),这样减少了不必要的讨论
选项A
抛物线的准线为x=-1是☉A的一条切线
选项B
当P,A,B三点共线时,求出点P,计算PQ即可
选项C
当|PB|=2时,由数形结合知PA与AB并不垂直
选项D
由|PB|=|PF|得出P在AF的中垂线上,该直线与抛物线有两个交点
y2=2px(p>0)
|AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0)
|AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0)
|AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0)
|AB|=p-(y1+y2)