专题09 锐角三角函数(5年真题3个考点+1年模拟4个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（江西专用）(原卷版+解析版)

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一．求某角的三角函数值（共1小题）
1．（2024·江西·中考真题）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作的延长线于点，则，，
由图（）可得，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
二．特殊角的三角函数值（共1小题）
1．（2023·江西·中考真题）（1）计算：
（2）如图，，平分．求证：．

【答案】（1）2；（2）证明见解析
【分析】
（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可；
（2）先由角平分线的定义得到，再利用证明即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵平分，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
三．利用三角函数解决实际问题（共5小题）
1．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到）
(1)求“大碗”的口径的长；
(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，）
【答案】(1)“大碗”的口径的长为；
(2)“大碗”的高度的长为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解；
（2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
答：“大碗”的口径的长为；
（2）解：延长交于点，如图，
∵矩形碗底，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
答：“大碗”的高度的长为．
2．（2023·江西·中考真题）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）

(1)连接，求证：；
(2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据：）
【答案】(1)见解析
(2)雕塑的高约为米
【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证；
（2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵
即
∴
即
∴；
（2）如图所示，过点作，交的延长线于点，

在中，
∴，
∴
∴
在中，，
∴
（米）．
答：雕塑的高约为米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
3．（2022·江西·中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位）
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求雕塑的高（即点G到的距离）．
（参考数据：）
【答案】(1)见解析
(2)雕塑的高为7.5m，详见解析
【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论；
（2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用 ∠A的正弦可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴ ∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）如图，过点G作GP⊥AB于P，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
在Rt△APG中，sinA= ，
∴=0.96，
∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高为7.5m.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题．
4．（2021·江西·中考真题）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身．

图1
（1）求的度数；
（2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
【答案】（1）∠ABC的度数为113.6；（2）枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．理由见解析
【分析】（1）过B作BK⊥MP于点K，在Rt△BMK中，利用三角形函数的定义求得∠BMK，即可求解；
（2）延长PM交FG于点H，∠NMH，在Rt△NMH中，利用三角形函数的定义即可求得的长，比较即可判断．
【详解】解：（1）过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形，
∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，
在Rt△BMK中，
，
∴∠BMK，
∴∠MBK=90-=23.6，
∴∠ABC=23.6+90=113.6，
答：∠ABC的度数为113.6；
（2）延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90，
∴∠BMN，∠BMK，
∴∠NMH，
在Rt△NMH中，
，
∴(cm)，
∴枪身端点A与小红额头的距离为(cm)，
∵，
∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
5．（2020·江西·中考真题）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）过点A作，，，根据已知条件分别求出AP和PM，再相加即可；
（2）根据已知条件可得，根据三角函数的定义进行判断求解即可得到结论；
【详解】（1）如图所示，过点A作，，，
则,
∵，，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴,
∴，
又∵,，
∴mm，
∴．
∴点到直线的距离是．
（2）如图所示，
根据题意可得，，，
∴，
∴，
根据（1）可得，
∴旋转的角度=．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确的构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键．
一．求某角的三角函数值（共4小题）
1．（2024·江西九江·二模）如图，在中，为的中点，将沿射线方向平移得到，连接，．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移，矩形的判定与性质，正切等知识，利用平移的性质和线段中点定义可得出，，然后证明四边形是矩形，得出，，在中，利用正切的定义求解即可．
【详解】解∶连接，
∵为的中点，
∴，
∵将沿射线方向平移得到，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，，
在中，，，，
∴，
故答案为：．
2．（2024·江西宜春·一模）如图，面积为24的中，对角线平分，过点作交的延长线于点，，则的值为 ．
【答案】/
【分析】先证明四边形是菱形，由面积可求出长，再由勾股定理得到的长，进而即可得证．
【详解】连接交于点O，
∵平分，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵的面积为24，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定，正确作出辅助线思考问题．
3．（2023·北京海淀·二模）如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查垂径定理、解直角三角形，先利用垂径定理得到，再利用勾股定理求得，然后利用正切定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，又，
∴，
∴，
故答案为：3．
4．（2023·江西九江·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键．
连接并延长交于点，连接，则，利用勾股定理求解的长，再解直角三角形可求解．
【详解】解：连接并延长交于点，连接，
则，
故答案为：．
二．特殊角的三角函数值（共6小题）
1．（2024·江西吉安·模拟预测）（1）计算：．
（2）如图，点A、F、C、D在一条直线上，且，．求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和性质．
（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂运算法则，绝对值意义进行计算即可；
（2）证明，得出即可．
【详解】解：（1）原式．
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴．
2．（2024·江西赣州·模拟预测）（1）计算：；
（2）如图，在菱形中，，求的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】此题考查了实数的混合运算，菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握运算法则和菱形的性质是解题的关键．
（1）先计算零指数幂、算术平方根、特殊角三角函数值、绝对值，再进行加减混合运算即可；
（2）连接交于点O，根据菱形的性质得到，，，证明是等边三角形，则，，由勾股定理得到，即可得到答案．
【详解】解：（1）
（2）连接交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
∴
3．（2024·江西南昌·三模）（1）计算：．
（2）如图，是的中点，，．求证：．
【答案】（1）2
（2）见解析
【分析】本题考查实数的混合运算，全等三角形的判定，熟练掌握零指数幂和特殊角的三角函数值，全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）先计算乘方，零指数幂，并把特殊角的三角函数值代入，再计算减法即可；
（2）由中点定义可得，然后用定理证明即可．
【详解】（1） 解：
；
（2）证明∶是的中点，
在和中，
．
4．（2024·江西宜春·模拟预测）（1）计算：；
（2）如图，矩形中，，，以点D为圆心，为半径画弧，交边于点E，连接，求的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了实数混合运算，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握运算法则和相关的性质，准确计算．
（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂运算法则，进行计算即可；
（2）根据矩形性质得出，，，根据作图得出，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）∵四边形是矩形，
∴，，，
由作图语句可知，，
∴在中，，
∴，
∴在中，．
5．（2024·江西鹰潭·二模）（1）计算：
（2）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连结，点F为线段上一点，且．求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂的计算，平行四边形的性质，相似三角形的判定，准确计算熟练掌握相关性质定理，是解题关键．
（1）根据负整数指数幂，特殊角三角函数值，零指数幂等知识计算各项，再计算加减法即可；
（2）根据平行四边形性质得出两直线平行，根据平行线性质得出角相等，即可证出结论．
【详解】（1）解：
．
（2）证明：∵四边形是平行四边形
，
．
，
，
．
6．（2024·江西萍乡·二模）（1）计算：；
（2）如图，在中，，，垂足分别为、．求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】本题考查的知识点是特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算、零指数幂、绝对值、平行四边形的性质、全等三角形的证明，解题关键是熟练掌握二次根式的混合运算和全等三角形的证明．
（1）根据特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算、零指数幂、绝对值即可求解；
（2）根据平行四边形的性质证明后即可求证．
【详解】（1）解：原式
．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，，
，
在和中，
，
．
三．利用三角函数解决实际问题（共9小题）
1．（2024·江西上饶·二模）如图（1）所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回．图（2）为其抽象示意图，已知在初始位置，，点在同一直线上，，．
(1)当在初始位置时，求点到的距离；
(2)当双腿伸直后，点分别从初始位置运动到点，假设，三点共线，求此时点上升的竖直高度．（结果保留整数，参考数据：，，，，，）
【答案】(1)点到的距离约为
(2)点上升的竖直高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）过点作于点，求出，再由计算即可得出答案；
（2）过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质结合解直角三角形得出，求出从而得出，再求出的长，即可得解．
【详解】（1）解：过点作于点，
，，
，
，
，
，
点到的距离约为；
（2）解：过点作于点，过点作于点，
，，，
，
，
由题意得：，
，
∴点上升的竖直高度约为．
2．（2024·江西九江·模拟预测）某市要新建一座红色文化雕塑，图1是效果图，图2是雕塑正面的大致示意图，在底座中，，，，雕塑主体是五边形，，，，，，．
(1)求的度数．
(2)求点到地面的距离．（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、多边形内角和问题、矩形的判定与性质、利用邻补角求角的度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）下求出，再由多边形内角和求出的度数，最后再由邻补角计算即可得出答案；
（2）过作于，过作于，交于，过作于，作于，证明四边形是矩形，得出，，解直角三角形得出的长，再由，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，，，
，
；
（2）解：过作于，过作于，交于，过作于，作于，
则，
，
四边形是平行四边形，，
，四边形是矩形，
，，
在中，，
在中，，
，
即点到地面的距离为．
3．（2024·山东济南·二模）下图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如下，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米．（参考数据：，，，，，）
(1)求该支架的边和的长；
(2)求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到米）
【答案】(1)该支架的边的长为米，的长为米；
(2)支架的边的顶端到地面的距离为米．
【分析】（）解直角三角形可求出，进而得出的长，再解直角三角形即可得到的长；
（）过点作于，过点作于，则四边形是矩形，得米，，进而得，即得，解直角三角形得到的长，即可求出的顶端到地面的距离；
本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：在中，，，米，
∴米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
在中，，，米，
∴米，
∴该支架的边的长为米，的长为米；
（2）解：如图，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，
∴米，，
∴，
∴，
在中，米，
∴米，
∴支架的边的顶端到地面的距离为米．
4．（2024·江西·二模）某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，下图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称．
(1)如图1，若B，C，D，E 四点在同一条直线上，连接．
① ；
②判断的形状，并证明．
(2)如图2，若菱形的边长为，，求点N到点 G的距离．
（结果精确到．参考数据：，，，，，）
【答案】(1)，等边三角形，证明见解析
(2)
【分析】①首先根据菱形的性质得到，进而得出，，然后利用三角形内角和定理求解即可；
②连接，证明出四边形是平行四边形，得到，然后设，则，根据平行线的性质表示出，进而求解即可；
（2）连接交于点P，首先得出，然后根据对称的性质得到，，，然后解直角三角形求解即可．
【详解】（1）①∵五个菱形两两全等
∴
∴，
∵
∴；
②连接，
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∵B，C，D，E 四点在同一条直线上，
∴
∵四边形是菱形
∴设，则
∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∴是等边三角形；
（2）如图所示，连接交于点P
∵菱形的边长为，
∴
∵A，D，F，G四点始终在同一条直线上
∴
∵图形关于直线对称
∴点N和点G关于直线对称
∴，，
∴在中，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
5．（2024·江西南昌·二模）如图1是某品牌全电动家用升降机固定款，图2是其示意图，立柱垂直于地面，折线为吊臂，吊臂可绕点旋转，，为伸缩杆．经测量：，，，．（结果精确到小数点后一位）
(1)如图2，当时，求的度数；
(2)如图3，将吊臂绕点旋转使点的位置达到最高，此时，，三点共线，求点到地面的距离．（参考数据：，，，，）
【答案】(1)
(2)点到地面的距离为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
（1）根据题意算出，得出，即可求出的度数；
（2）分别过点，作，的平行线，两条线相交于点．根据，求出，，，
从而算出，，即可求解；
【详解】（1）解：，，，
．
．
．
（2）分别过点，作，的平行线，两条线相交于点．
，，
．
．
，，
，，
．
．
．
点到地面的距离为．
6．（2024·江西吉安·二模）图1是某政府机构办公楼前的标牌，将其外形抽象为图2，已知垂直于水平地面，，，，，．
(1)求证：．
(2)若，求标牌的高度（即点到地面的距离）．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，四边形内角和．解题的关键是把所给的所有线段都整理到直角三角形或矩形中．
（1）延长交水平地面于点．利用平行线性质得到，再结合四边形内角和，以及等量代换，即可证明；
（2）过点分别向，作垂线，，垂足分别为，．利用四边形内角和得到，利用解直角三角形得到，，由题易知四边形为矩形，得到，再根据标牌的高度为求解，即可解题．
【详解】（1）证明：如图，延长交水平地面于点．
，，
，即．
， ，
在四边形中，，
在四边形中，，
．
（2）解：如图，过点分别向，作垂线，，垂足分别为，．
，
．
，，，
，．
与都垂直于地面，．
四边形为矩形，
，
即标牌的高度为．
7．（2024·江西赣州·二模）图1是位于“革命摇篮”井冈山市的《井冈红旗》雕塑，其整体外形为基座和高高飘扬的红旗组成，中间镶嵌五角星、镰刀斧头和“井冈山”三字熠熠生辉，光彩夺目．如图2，是其正面简化示意图，延长交于点，测得，，，，m，m，m．
(1)求证：；
(2)点为《井冈红旗》雕塑的最高点，求点到地面的距离（结果精确到0.01m）．
（参考数据：，，）
【答案】(1)见解析
(2)19.27m
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，构造直角三角形，利用三角函数进行求解，是解题的关键．
（1）等边对等角，结合三角形的外角的性质，求出，进而得到，即可得证；
（2）作，，，交于点，得到四边形是矩形，分别解，，，求出，进一步求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
．
（2）解：如图，作，，，交于点，
，，四边形是矩形；
，
，
在中，，，
；
在中，，，
，
在中，，，
，
，
（m）．
答：点到地面的高度为19.27m．
8．（2024·江西吉安·二模）现如今，许多乡村、社区都安装了健身器材．如图1，这是健身器材中的骑马机，它是一种利用曲轴连杆机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“字”立体摇摆，从而达到全身有氧运动的新型健身器材，其侧面的简图如图2所示，已知，，．
(1)若．求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和得，，继而得到，即可得证；
（2）如图，过点作于点，延长，交于点，在中，得到，在中，得到，继而得到，可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，延长，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点到的距离为的长，
∵，，
∴在中，，
∵，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴点到的距离约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，平行四边形的判定，等腰三角形性质，等腰三角形三线合一性质，三角形内角和，平行线的判定和性质等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
9．（2024·江西宜春·一模）图1是一个活动宣传栏，图2是活动宣传栏侧面的抽象示意图，其中点，，，在同一直线上，支杆可绕点活动，是可伸缩横杆．已知，，．
(1)求活动宣传栏板与地面的夹角的度数；
(2)如图3，小明站在活动宣传栏板前的点处看宣传栏时（点，，在同一直线上），若视线垂直宣传栏板于点，此时测得，求小明的眼睛离地面的距离．（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1）
【答案】(1)；
(2)小明的眼睛离地面的距离约．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）作交于点，交于点，利用等腰三角形的性质结合余弦函数的定义求解即可；
（2）作交于点，证明四边形为矩形，分别求得和的长，利用解直角三角形的方法求解即可．
【详解】（1）解：作交于点，交于点，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作交于点，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵视线垂直宣传栏板，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：小明的眼睛离地面的距离约．
四．利用三角函数解决仰俯角和坡度问题（共4小题）
1．（2024·江西景德镇·三模）滕王阁，与湖南岳阳岳阳楼、湖北武汉黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，世称“西江第一楼”．为了计算滕王阁的高度，如图，滕王阁前有一斜坡，长为5米，，高为，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D的仰角为，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为，其中点C，B，E在同一直线上．
(1)求斜坡的高度；
(2)求滕王阁的高度（结果保留一位小数，参考数据：，，，，）
【答案】(1)3米
(2)36.2米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答此类题目关键是明确题意，利用勾股定理，三角函数等数量关系得到方程，求解即可．
（1）在中，利用正弦定义求解即可；
（2）过A作于F，利用勾股定理求出，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，然后根据构建关于的方程，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴，
即斜坡的高度为3米；
（2）解：过A作于F，
则四边形是矩形，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴，
即滕王阁的高度为36.2米．
2．（2024·江西赣州·模拟预测）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
(1)如图2，在点P观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示；
(2)如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，地面上点B，C，D在同一水平直线上，，求气球A离地面的高度．（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解决实际问题是解题的关键．
（1）根据题意过点O向下的箭头延长与过点P的水平延长线相交，再利用互余关系即可解答；
（2）设，则，得到，在中， ，得到，解方程即可得答案．
【详解】（1）解：如图所示：
由题意知在中，，则，即．
（2）解：设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，即，
解得：，
∴．
答：气球A离地面的高度是．
3．（2024·江西抚州·一模）如图1是小丽使用手机自拍杆的图片，她眼睛望向手机屏幕上端的仰为，没得手与肘部形成的“手肘角”为，自拍时手机屏幕与手肘平行且手与自拍杆在同一条直线上．图2是其侧面简化示意图．
(1)_______度；
(2)如图2，测得．
①求仰角的度数；
②自拍时若小丽头顶与自拍杆端点B在同一水平线上，且肘部C正好落在小丽身体长度的黄金分割点上（此黄金分割点靠近头部），求小丽的身高．（结果保留小数点后一位）（参考数据：）
【答案】(1)134
(2)①；②小丽的身高为
【分析】此题综合性比较强，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到几何图形中来考虑，就能迎刃而解．
（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得答案；
（2）①过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则可得，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则结论可求；
②在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则为小丽的身高中黄金分割点与头顶之间线段的长，设小丽的身高为，利用黄金分割点的意义列出关于的方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
故答案为：134；
（2）①如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，如图，
则四边形为矩形，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴，
∴．
∴估计仰角的度数约为；
②在中，
∵，
∴．
∵自拍时小丽头顶与自拍杆端点在同一水平线上，
∴为小丽的身高中黄金分割点与头顶之间线段的长．
设小丽的身高为，
∵正好落在小丽身体长度的黄金分割点上（此黄金分割点靠近头部)，
解得：，
∴小丽的身高为．
4．（2024·江西吉安·一模）图1是一段横截面为四边形CBNM（如图2）的防洪堤，在四边形中，已测得：，，；现有一位同学为了获得防洪堤横截面相关数据，采用如下方案测量：如图2，把一根长为6的竹竿斜靠在防洪堤上面C处（E与C重合），在离A端1.5的D处，测得它离地面高度为0.6，又量得坡面的长为4．（，，）
(1)试求出防洪堤的高和坡面倾斜角度数；
(2)当防洪堤上面宽时，计算防洪堤横截面的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形实际应用．
（1）如图，过C作于F，于G，解直角三角形即可得到结论；
（2）过M作于，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）如图，过C作于F，于G，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴．
（2）过M作于，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．