专题08 锐角三角函数（江西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编(原卷版+解析版)

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题型01锐角三角函数求解（选填题）
题型02特殊的三角函数值的计算
题型03利用锐角三角函数解决实际问题
题型01
锐角三角函数求解（选填题）
1．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面内，线段，三角板的边，垂足为M．若点M沿方向从点E运动到点D，且满足，则点C运动的路径长为（ ）
A．9B．6C．D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，由题意可知点C运动的路径为线段，点A运动的路径为，由平移的性质可知，求出即可解决问题．
【详解】∵三角板的边线段于点M，且满足．
如图所示，
∴．
∴．
当点M沿ED方向从点E运动到点D时，点A的运动轨迹必须保证，因此三角板的运动轨迹如图所示，要求点C运动的路径的长．
根据平移的性质，得．
∵，
在中，
∵，，
∴，即点C运动的路径长为．
故选：D．
2．（2023·河南周口·模拟预测）如图，在中，，，以为圆心，为半径的交于点C，点D在上，连接，，若，则的半径为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查圆与三角函数的综合应用．结合已知条件，利用圆周角定理，得，然后利用三角函数即可求得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．（2025·江西新余·二模）如图，将图（1）所示的七巧板，拼成图（2）所示的四边形，连接，则 ．
【答案】
【知识点】求角的正切值
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角函数．如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解．
【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则小正方形的边长为，

∴，
如图，，，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
4．（2025·江西·二模）将图1所示的七巧板排成图2所示的矩形，则的值为 ．
【答案】
【知识点】用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形、求角的正弦值
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的性质，求正弦值，设七巧板排中小正方形的边长为，则小等腰直角三角形的直角边长为，进而求出，由勾股定理求出，再利用正弦的定义即可求解．
【详解】解：设七巧板排中小正方形的边长为，则小等腰直角三角形的直角边长为，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2025·江西·二模）如图1，把一个等腰三角形分割成三块，恰好能按图方式拼放，则 ．
【答案】/
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、求角的正切值
【分析】本题主要考查了勾股定理，正切，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据题意，得，，从而得，，．根据，得，，利用三角函数即可得解。
【详解】如图，根据题意，得，，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
，
．
．
∴，
．
．
题型02
特殊的三角函数值的计算
6．（2025·江西吉安·一模）计算：
【答案】
【知识点】求一个数的立方根、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了立方根、绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值．先根据立方根、绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
．
7．（2025·江西九江·一模）（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【知识点】二次根式的加减运算、求不等式组的解集、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集．
（1）先代入特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）原式．
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
8．（2025·江西·模拟预测）（1）计算：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）
【知识点】负整数指数幂、求一元一次不等式的解集、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式．
（1）先计算负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的一般步骤解不等式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
9．（2025·江西宜春·一模）（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【知识点】零指数幂、求不等式组的解集、特殊三角形的三角函数
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求特殊角三角函数值，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算零指数幂和特殊角三角函数值，再去绝对值后计算加减法即可得到答案；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
10．（2025·江西上饶·一模）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【知识点】实数的混合运算、解一元一次方程（三）——去分母、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简绝对值，解一元一次方程等知识点．
（1）根据特殊角的三角函数值，零次幂，绝对值分别计算即可求解；
（2）利用解一元一次方程的步骤计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
11．（2025·江西抚州·一模）计算：
(1)解方程：．
(2)计算：．
【答案】(1)，；
(2)4．
【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、因式分解法解一元二次方程、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查零次幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，解一元二次方程．
（1）运用因式分解法求解即可；
（2）根据零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
（2）解：原式
．
12．（2025·江西南昌·一模）（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【知识点】因式分解法解一元二次方程、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握运算法则和方程的解法是解题关键．
（1）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可得；
（2）方程的左边可以因式分解为，利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：（1）
．
（2），
，
或，
或，
所以方程的解为．
13．（2025·江西·一模）（1）；
（2）求不等式组：的所有整数解的和．
【答案】（1）；（2）0
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、求一元一次不等式组的整数解、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数值的混合运算、求不等式组的整数解等知识点，掌握相关运算法则和方法成为解题的关键．
（1）先运用特殊角的三角函数值、零次幂、负整数次幂化简，然后计算即可；
（2）先分别求出各不等式的解集，进而确定不等式组的解集，最后确定所有整数解并求和即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
所以该不等式组的解集为：，
所以该不等式组的整数解为：，则所有整数解的和为0．
14．（2025·江西南昌·一模）（）计算：；
（）如图，点和分别是线段的中点和三等分点，求证：.
【答案】（）；（）证明见解析
【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算、线段中点的有关计算、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】（）根据算术平方根、立方根的定义和特殊角的三角函数值分别计算，再合并即可；
（）根据线段的中点可得，根据线段的三等分点得，进而即可求证；
本题考查了实数的混合运算，线段的中点和三等分点，掌握实数的运算法则和线段中点及三等分点的定义是解题的关键.
【详解】（）解：原式
；
（）证明：∵点是的中点，
∴，
∵是线段三等分点，
∴，
∴，
即.
15．（2025·江西·模拟预测）（1）计算：．
（2）如图，已知，点B，F，C，E在同一条直线上．求证：．
【答案】（1）7；（2）见解析
【知识点】含乘方的有理数混合运算、内错角相等两直线平行、全等三角形的性质、特殊三角形的三角函数
【分析】本题主要考查了全等三角形性质，平行线的判定，含乘方的有理数混合计算，求特殊角三角函数值，熟知相关知识是解题的关键．
（1）先计算乘方和特殊角三角函数值，再计算绝对值后计算加减法即可得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到，据此可证明结论．
【详解】（1）解：．
（2）证明：∵，
∴，
∴．
16．（2025·江西赣州·模拟预测）（1）计算：
（2）如图，，，，，，，四点共线，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【知识点】实数的混合运算、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，全等三角形的判定，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）先算负整数指数幂、开方、特殊角的三角函数，再算加减；
（2）根据证明即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）证明：，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
17．（2025·江西宜春·一模）（1）计算：
（2）如图，在中，连接，，．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）（2）见解析
【知识点】实数的混合运算、等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，等边三角形三角形的判定和性质，菱形的判定定理，熟练掌握运算法则和菱形的判定是解题的关键．
（1）先化简二次根式、计算特殊角的三角函数值，再计算加减即可；
（2）由题得到是等边三角形，得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：
（2）证明：在中，，，
是等边三角形，
，
四边形是菱形．
题型03
利用锐角三角函数解决实际问题
18．（2025·江西吉安·一模）如图（1）是一款桌面可调节的学习桌，其侧面示意图如图（2）所示，为可调节桌面，其长度为，桌面倾斜程度可以根据需求自由调节．桌面的倾斜角为，桌面最大倾斜角为，桌面平放时高度为为．
(1)当桌面由平放调节到最大倾斜角时，求点运动的路径长．（结果保留）
(2)书写时桌面适宜的倾斜角，求点到地面的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【知识点】求弧长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了弧长公式，解直三角形等知识，解题的关键是正确理解正弦函数的定义式，将线段、角度代入，转化为待求线段的方程求解．
（1）利用弧长公式求解；
（2）利用正弦的定义式求解，代入已知线段和角度，转化为关于的方程求解，再利用线段和求出点到地面的高度．
【详解】（1）解：当桌面由平放调节到最大倾斜角时，，
点运动的路径长为：．
（2）解：过点作于点，
∵在中，，，，
∴，
解得：，
，
点到地面的高度为=．
19．（2025·江西·模拟预测）为了加强海洋意识宣传教育，某校组织学生参加“筑梦海洋 向海图强”主题研学活动．活动内容是借助指南针测量有暗礁的A，C两岛屿之间的距离．
【活动准备】
图1是学生研学的地方，该地由A，B，C三个岛屿组成．已知A，B两岛屿间的距离为，图2是它的示意图．他们分别在A，B两岛屿测量，测得的数据如下：C，B两岛屿分别在A岛屿的北偏东和北偏东的方向上，C岛屿在B岛屿的北偏西的方向上．
【目标任务】
(1)求的度数；
(2)求有暗礁的A，C两岛屿之间的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)
(2)有暗礁的A，C两岛屿之间的距离约为
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）方法一：由角的和差关系求出，由平行线的性质求出，进而求出，最后根据三角形内角和定理求解即可；
方法二：过点C作直线，根据平行线的性质得出．根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可求解；
（2）过点A作，交的延长线于点E，在中，根据正弦定义求出，在中，根据正弦定义求出，代入数值计算即可．
【详解】（1）解：方法一：
根据题意，得，，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴∠．
方法二：如图，过点C作直线．
∴．
又，
∴，，
∴
∴．
∵，
∴．
（2）解：如图，过点A作，交的延长线于点E．
在中，
由题意，,
在中，．
答：有暗礁的A，C两岛屿之间的距离约为．
20．（2025·江西赣州·模拟预测）如图所示，某款机械人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座（计算的最后结果保留一位小数．）
(1)若上臂与水平面平行，．计算点A到地面的距离．
(2)如图2，在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，计算这时点A到地面的距离？（参考数据；，）
【答案】(1)点A到地面的距离为
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】（1）过点C作，垂足为M，在中，由，即可得出的值，进而可得的值；
（2）过点作垂直于地面，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，求出，，，根据三角函数的定义可求出，，求出点A到地面的距离的长，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】（1）解：如图1，过点作，垂足为M，
则在中，，
，，
∴，
∴，
，
点A到地面的距离为；
（2）解：如图2，过点作垂直于地面，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，
则四边形是矩形，
∴，，
，，
，，，
∴，
，
点A到地面的距离为．
21．（2025·江西·模拟预测）图1所示是一座安装在山坡上的风力发电机．如图2，某同学为测量风力发电机塔杆的高度，站在水平地面上的点P（坡底）处，测得，另测得，点P到风力发电机的底端B的这段斜坡的长为．

(1)求的度数；
(2)求该风力发电机塔杆的高度（结果保留小数点后一位）．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含角的直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据邻补角以及互余求出的度数，再由即可求解；
（2）先解，求出，再解求出，最后由即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴，
答：风力发电机塔杆的高度为m．
22．（2025·江西·二模）某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高为1米．上午某时刻，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域的宽度为2.6米．一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，阴影区域的宽度为4.0米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内．
(1)求点距离地面的高度；
(2)当太阳光线与地面夹角为时，若要使主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域宽度为4.5米，点需在原高度的基础上向上或向下移动多少米？
（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）
【答案】(1)点距离地面的高度约为米；
(2)点需在原高度的基础上向下移动米．
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造图形是解题的关键．
（1）过点作于点，交于点，设的长度为米，解得到，解中得到，，而米，则米，据此列式计算即可求解；
（2）由（1）的结论求得的长，根据点上下移动，的长不变，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：过点作于点，交于点，
则四边形为矩形，米，
设的长度为米，
由题意得，在中，，，，
．
在中，，，，
．
米，米，
米，
米，
即．
解得：，
米．
答：点距离地面的高度约为米；
（2）解：由（1）知，
∴米，
∴米，
设改变后的长度为米，
同理，米，
∵为4.5米，
∴，解得，
，
∴点需在原高度的基础上向下移动米．
23．（2025·江西景德镇·一模）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为．
（结果精确到）
(1)求漏斗口处点到底座的高度；
(2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）由题意可知，，延长交，则，在中， ，根据题意可知点到底座的高度等于，即可求解；
（2）过点作，交于，过点作，由题意可知，，在中，，由题意可知，在中，，此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为，由此即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，，
延长交，则，
在中，，则，
∴，
∴点到底座的高度；
（2）过点作，交于，过点作，
由题意可知，，
在中，，
∵，，
∴，
在中，，
此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为，
即玻璃棒顶端点到桌面的距离为．
24．（2025·江西·模拟预测）图1所示为一种刮水器，也称“魔术扫把”，它可以很干净地扫除地面上的积水．将其正面图抽象成几何图形，如图2．经测量，知，，，，，把柄，且可以在刮片所在平面内绕点左右旋转．
(1)求刮片的宽度（即点A到的距离）；
(2)如图3，当旋转到与的延长线垂直时，求点P到的距离．（参考数据：，，，结果精确到）
【答案】(1)
(2)
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）分别过点A，D作，，垂足分别为E，F．可证明四边形是矩形．得到，再证明，得到，据此求出的长，再解直角三角形求出的长即可得到答案；
（2）延长交于点M，作交延长线于点N，则．可证明，解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：分别过点A，D作，，垂足分别为E，F．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴刮片的宽度约为．
（2）解：如图所示，延长交于点M，作交延长线于点N，则．
∴，
∴．
∴，
∵．
∴点P到BC的距离约为．
25．（2025·江西·模拟预测）图1所示是某中学一标志牌，根据测量要求将其抽象为图2，已知底座为矩形，与底座所成锐角的度数为，，，，点到底座上面的距离为．
(1)求与底座所成的锐角的度数；
(2)求标志牌的高度（即点到的距离）．（结果精确到小数点后一位）
（参考数据：）
【答案】(1)
(2)标志牌的高度约为．
【知识点】利用邻补角互补求角度、多边形内角和问题、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，解直角三角形的相关应用等知识．
（1）根据领补角的定义得出，再根据四边形内角和定理求解即可．
（2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为．，再得出，解直角三角形得出，再得出，加上即可．
【详解】（1）解：根据题意，得．
，
．
．
（2）解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为．
．

，
．
，
．
．
，
标志牌的高度约为
26．（2025·江西·模拟预测）某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，，，三点共线，是水管，台面．是开关，可整体绕点上下旋转，且，，连接，，，．
(1)求的长度（结果保留整数）；
(2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取3.14，，）
【答案】(1)的长度约为
(2)点到台面的距离约为
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）在中，利用余弦函数的定义求解即可；
（2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦函数的定义求的长度，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，在中，，，
，
∴．
∴的长度约为；
（2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
∴点到台面的距离约为．
27．（2025·江西·一模）图1是一种柜厢可收纳的货车，图2，图3是其柜厢横截面简化示意图，忽略柜厢板的厚度，由上、下厢板，可对折侧厢板组成，已知．当厢板收起时，恰好与重合，点C，D重合均落在中点处，当厢板升起过程中，有．
(1)如图2，当上厢板从重合到完全升起到时，求点C，D在此过程中运动的路程总长；
(2)如图3，当上厢板EF升起到时，求此时点C，D之间的距离．
（参考数据：，，，，结果保留整数）
【答案】(1)
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求弧长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了弧长公式、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
（1）根据题意可得，然后根据弧长公式求解即可；
（2）如图（2），分别过点C，D作，垂足分别为点M，N．由(1)知，易证可得，再解直角三角形可得，最后根据点C，D之间的距离为求解即可．
【详解】（1）解：如图（1）：当厢板收起时恰好与重合，点C，D重合均落在中点处，，
∴，
∴点C，D在此过程中运动的路径的总长度为．
（2）解：如图（2），分别过点C，D作，垂足分别为点M，N．由(1)知，
又∵
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴点C，D之间的距离为．
28．（2025·江西宜春·一模）水碓（duì）是中国古代利用水利驱动的舂捣工具，主要用于谷物脱壳（如稻谷去壳成米）、粉碎药材或加工其他物料．水碓主要由水轮、碓体、碓臼组成，当水轮转动时利用杠杆原理使得凸轮或齿轮带动碓杆上下运动，图1为为水碓的结构简图，图2为碓体平面示意图．已知是垂直水平地面的支柱，碓杆可绕支点在竖直平面内转动，且垂直碓头于点．若米，米，米，米，当碓杆的一端点接触到水平地面时，碓头顶点抬升到最大高度．

(1)求碓头顶点抬升到最高时，的度数；
(2)当碓头顶点抬升到最高时，求碓头点到水平地面的距离（精确到米，参考数据：）．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解直角三角形的相关计算、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的函数比和构造直角三角形．
（1）根据题意，利用即可求得角的度数；
（2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用三角函数比依次求得、的长即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
，
即的度数为；
（2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
由图可知，四边形为矩形，
∴，
在中，,
,,
，
在中，，
，
，
（米），
所以，点到水平地面的距离为米．
29．（2025·江西抚州·一模）如图1，这是某市的一个党建文化宣传栏，其主视图的一部分如图2所示，在图2中．
(1)若，则的度数为_______；
(2)若，求点D到的距离．（结果精确到，参考数据：）
【答案】(1)
(2)点D到的距离约为
【知识点】多边形内角和问题、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查四边形内角和，解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，作出辅助线．
（1）根据四边形内角和进行求解即可；
（2）过点D分别作于点于点F，证明四边形是矩形，得出，解直角三角形求出，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形的内角和为，，
∴，
∵，
∴，；
（2）解：如图，过点D分别作于点于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
，
∴点D到的距离约为．
30．（2025·江西宜春·一模）八一广场，南昌这座英雄城市的重要地标！为了纪念1927年8月1日发生的南昌起义，广场中央矗立着八一起义纪念塔，如图，纪念塔前有一斜坡，坡度，在点B处看塔尖的仰角为，．
(1)求点B到地面的垂直高度；
(2)求纪念塔的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，）
【答案】(1)点B到地面的垂直高度为3
(2)纪念塔的高度为
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，
（1）如图，过点B作交于点F．由得到，求出即可得到答案；
（2）首先求出，然后利用，求出，进而求解即可．
【详解】（1）如图，过点B作交于点F．
∵，坡度，
∴，，
∴，．
答：点B到地面的垂直高度为．
（2）由（1）可知．
∵，
∴．
∵在点B处看塔尖的仰角为，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：纪念塔的高度为．
31．（2025·江西景德镇·一模）小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，．
(1)如图2，当旋转角为时，求点与点之间的距离．
(2)若矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，求点到的最大距离．（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可得：，，进而得到，根据勾股定理求出，由旋转可得：，，
可推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解；
（2）过点作于点，交于点，推出四边形是矩形，得到，，由题意可知，，，根据求出，最后根据到的最大距离为，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接、、，
四边形是正方形，四边形是矩形，
，，
，
，
，
由旋转可得：，，
是等边三角形，
，
即点与点之间的距离为；
（2）过点作于点，交于点，
四边形是正方形，四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，，
由旋转可得：，矩形在旋转过程中，可旋转的最大角度是，
，
，
到的最大距离为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数的应用，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．
32．（2025·江西南昌·一模）“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子 可整体绕点所在的轴旋转．现测得，，，，．
(1)如图3，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数．
(2)求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键；
（1）根据题意，可以求解和的度数，根据，求得，即可求解；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据平分，求得，求得的度数，进而求得的长度，从而求解；
【详解】（1）解：，，
，
，
，
，
故；
（2）解：如图：过点作，垂足为，
过点作，垂足为，
，，
平分，
而
∴在中，，
又，
，
∴在中，，，
，
，
，
，
到的距离为；
33．（2025·江西九江·模拟预测）如图1，浔阳楼是江南十大名楼之一，因九江古称浔阳而得名．某校数学兴趣小组在测量浔阳楼的高度的过程中，绘制了如图2所示的示意图，斜坡的长为5m，．在点D处测得浔阳楼顶端A的仰角为，又在点E处测得浔阳楼顶端A的仰角为，交的延长线于点C．（参考数据：，，，，）
(1)求斜坡的高度．
(2)求浔阳楼的高度．
【答案】(1)斜坡的高度为
(2)浔阳楼的高度为
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，涉及勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键在于正确构造直角三角形进行求解．
（1）在中，直接解直角三角形即可；
（2）过点D作于点，则四边形为矩形，那么，在中，由勾股定理得，在中，由，可设，则，，在中，，即可求解，继而可求．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
答：斜坡的高度为；
（2）解：过点D作于点，
则由题意得，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
在中，∵，
∴，
∴，
∴设，
则，，
∴在中，，
解得：，
∴，
答：浔阳楼的高度为．
34．（2025·江西·模拟预测）如图1，是某物体的三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支干上一可转动点，点P是中间竖杆上的一动点，当点P沿滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，与重合于竖干，经测量，．
(1)当时，求竖杆最下端B到地面的距离；
(2)点P从点A滑动至的中点的过程中，变化的度数是多少？（参考数据：≈1.73，结果精确到）
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据三线合一证明、等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算
【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是理解题意．
（1）如图①，过点作于点．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据解直角三角形求出，，，即可求解．
（2）如图②，当点位于点时，三点共线，即．
求出，再求出当点滑动至的中点时，，即可求解．
【详解】（1）解：如图①，过点作于点．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图②，当点位于点时，三点共线，即．
由题意，得．
当点滑动至的中点时，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
即变化了．
35．（2025·江西·模拟预测）踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是它的示意图，已知，这名解放军战士的身高为，他到军帽的长为长的，为他的右臂（不含手掌），、分别为他的左腿和右腿，．（参考数据：，，结果保留到）
(1)若点到的垂直距离为，，求他的腿的长度；
(2)若（1）中条件不变，手臂的长度为，点到点的竖直距离为，，求军帽的长度．
【答案】(1)解放军战士的腿的长度为约为
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；
（1）如图，过点作于点，根据，即可求解；
（2）如图，过点作于点，先求得，进而求得， 根据军帽的长为长的，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点
，，
解放军战士的腿的长度为.
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，又，
，
．