专题16 锐角三角函数及其应用（5大考点）-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(全国通用，含解析)（原卷版）

这是一份专题16 锐角三角函数及其应用（5大考点）-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(全国通用，含解析)（原卷版），共24页。

第四部分 三角形
专题16 锐角三角函数及其应用（5大考点）
核心考点
核心考点一 特殊角的三角函数值及其计算
核心考点二 由三角函数值求锐角
核心考点三 锐角三角函数的增减性
核心考点四 解直角三角形及其应用
核心考点五 三角函数的综合
新题速递

核心考点一 特殊角的三角函数值及其运算

例1 （2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B，过点D作DE⊥，交的延长线于点E，则的长为（   ）

A． B． C． D．

例2 ．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．

例3 （2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：



小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．







知识点：特殊角的三角函数值
1. 图表记忆
三角函数

图形记忆
30°
45°
60°











1


2. 规律记忆
30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，；
30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。




【变式1】（2022·湖南邵阳·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AB＞BC，以点A为圆心、AB长为半径的弧BE与DC相交于点E，点E为DC的中点，则由BC、CE和弧BE围成的阴影部分图形的面积是（   ）

A． B． C． D．
【变式2】（2022·河南洛阳·统考二模）如图1，在中，，点D是边上的中点，点P从的顶点A出发，沿的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．线段的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则的面积为（    ）

A．4 B． C．8 D．
【变式3】（2020·四川自贡·校考一模）在中，若，，都是锐角，则是______三角形．
【变式4】（2022·贵州铜仁·统考二模）如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点B(，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E．将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C′．当点C′落在OB上时，点C′的坐标为________．

【变式5】．（2021·新疆乌鲁木齐·校考三模）计算：






核心考点二 由三角函数值求锐角

例1 （2021·山东泰安·统考中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（   ）

A．50° B．48° C．45° D．36°
例2 ．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留）

例3 （2021·山东菏泽·统考中考真题）在矩形中，，点，分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处．

（1）如图1，当与线段交于点时，求证：；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，交于点，求证：点在线段的垂直平分线上；
（3）当时，在点由点移动到中点的过程中，计算出点运动的路线长．











【变式1】（2022·山东滨州·统考一模）如图，在半径为6的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，sinD=,则BC的长为（    ）

A． B． C． D．
【变式2】（2022·山东·统考二模）如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（    ）

A． B． C． D．
【变式3】（2021·贵州遵义·统考一模）在综合实践课上，某学习小组要测量塔的高度，在测量过程中，结合图形进行了操作（如图所示）．在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走80m到达D点，测出塔顶的仰角为45°，那么塔AB的高为____________m（计算结果精确到0.1m，参考数据：，）．

【变式4】．（2022·吉林长春·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，连结，过点作轴于点，，，把绕点逆时针旋转后，得到，则点的坐标为______．

【变式5】（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛千米的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．

(1)渔船航行多远距离小岛最近（结果保留根号）？
(2)渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．（结果精确到1千米，参考数据）









核心考点三 锐角三角函数的增减性

例1 （2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
例2 （2022·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，在矩形ABCD 中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为__________．

例3 （2021·浙江宁波·统考一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离．

（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高；
（2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？







1. 三角函数值的变化规律
①当角度A在0°—90°间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
②当角度A在0°—90°间变化时，余弦值和余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。




【变式1】（2020·甘肃张掖·统考模拟预测）若，则下列说法不正确的是（   ）
A．随的增大而增大 B．cos随的减小而减小 C．tan随的增大而增大 D．0 【变式2】．（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2020·内蒙古·统考二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为_____，写出sin70º、cos40º、cos50º的大小关系__________．
【变式4】（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点平分，，点、分别在、上运动，且，连接、交于点，点，连接，则度数的最大值为__________．

【变式5】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．

(1)若，，，试比较、的大小；
(2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．








核心考点四 解直角三角形及其应用

例1 （2022·湖北黄石·统考中考真题）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（    ）

A． B． C． D．
例2 （2022·湖北黄石·统考中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为________m．（参考数据：，结果按四舍五八保留一位小数）

例3 （2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）．

(1)求，两点的高度差；
(2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：）







在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
1.灵活运用边角关系求边与角;
2.若所求解的直角三角形“不可直接解”,应注意设元,借助方程来解决;
3.如果图形中没有直角时,要添加垂线将其转化为直角三角形求解.


【变式1】（2023·浙江温州·校联考模拟预测）如图，一把梯子斜靠在墙上，端点A离地面的高度长为时，．当梯子底端点B沿水平方向向左移动到点，端点A沿墙竖直向上移动到点，设，则的长可以表示为（    ）

A． B． C． D．
【变式2】（2022·河北唐山·统考三模）如图，点O为的内心，，，点M，N分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为定值；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是（　　）

A．只有甲正确 B．只有乙错误
C．乙、丙都正确 D．只有丙错误
【变式3】（2023·浙江温州·校联考模拟预测）甲、乙两幢完全一样的房子如图1，小聪与弟弟住在甲幢，为测量对面的乙幢屋顶斜坡M，N之间的距离，制定如下方案：两幢房子截面图如图2，，小聪在离屋檐A处3m的点G处水平放置平面镜（平面镜的大小忽略不计），弟弟在离点G水平距离3m的点H处恰好在镜子中看到乙幢屋顶N，此时测得弟弟眼睛与镜面的竖直距离．下楼后，弟弟直立站在处，测得地面点F与E，M，N在一条直线上，，，，则甲、乙两幢间距_________m，乙幢屋顶斜坡M，N之间的距离为_____________m．

【变式4】（2023·浙江金华·校考一模）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点米．在东西各拉一根钢索和，已知等于214米．吊装时，通过钢索牵拉，主塔由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时，此时一名工作人员在离M米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．正好是他的身高米．
（1）主塔的高度为 _____米，（精确到整数米）
（2）吊装过程中，钢索也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，与水平桥面的最大张角在到之间即，的取值范围是 _____．（注：，）．

【变式5】（2023·广西河池·校考一模）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行．

(1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发到达事故地点的最短航程是多少nmile（结果保留根号）？









核心考点五 三角函数的综合

例1 （2021·黑龙江·统考中考真题）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（    ）

A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
例2 ．（2021·四川眉山·统考中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．

例3 （2022·山东济宁·统考中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵，
∴，
∴

(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．



【变式1】（2022·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则折痕（　　　）

A． B． C．8 D．10
【变式2】（2022·河南南阳·统考三模）如图，射线互相垂直，，点B位于射线的上方，且在线段的垂直平分线l上，连接，．将线段绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离是（    ）

A． B． C．4 D．

【变式3】（2022·江苏扬州·统考一模）如图，在中，，．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则矩形EDFG面积的最大值=______．

【变式4】（2022·江苏苏州·校考一模）【理解概念】
定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
(1)已知△ABC是“准直角三角形”，且．
①若，则______；
②若，则______；
【巩固新知】
(2)如图①，在中，，点D在边上，若是“准直角三角形”，求的长；


【解决问题】
(3)如图②，在四边形中，，且是“准直角三角形”，求的面积．












【新题速递】
1．（2023·上海松江·统考一模）已知中，，，，那么下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）已知 为锐角，则的值（    ）
A． ​ B． ​ C． ​ D． ​
3．（2023春·九年级课时练习）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（    ）

A．12 B． C． D．
4．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼的高度，工程师在D得用高的测角仪，测得楼顶端A的仰角为，然后向楼前进到达E，又测得楼顶端A的仰角为，楼的高为（    ）

A． B． C． D．
5．（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为(   )

A． B． C． D．
6．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，在中，是的角平分线，如果，那么的值是（    ）

A． B． C． D．2
7．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，在等边中，，垂足为，以，为邻边作矩形，连接交边于点，则的值为（    ）

A． B． C． D．
8．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）正三角形的边长为，是边上一动点，两点关于直线对称，连接并延长交直线于，连接，在点运动过程中，的最大值是（　　）

A． B． C． D．
9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，直线与相切于点，且，则________．

10．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为__________．

11．（2023秋·江苏·九年级统考期末）如图，中，，，点为的中点，连接，的值为______．

12．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则折痕______．

13．（2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图所示，某施工方计划把一座山的，两点用隧道打通，并利用北斗卫星定位技术确定，，三点在东西方向的同一条直线上．在隧道没有打通之前，技术监督员李工每天需要驾车先从隧道口点向正西行驶到达点，然后再沿南偏东方向行驶到达点，接着再沿北偏东方向行驶一段路程才能到达隧道口，则隧道的长度为______．


14．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，点E为边的中点，点F为边上一动点，连接，把沿所在直线折叠，得到，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______．

15．（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）计算：．



16．（2023春·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），探测最大角（）为，探测最小角（）为，已知该设备在支杆上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到0.01米，参考数据：，，，，，）

17．（2023秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，内接于⊙，是⊙的直径，切⊙于点B，E为上一点，且，延长交于点D．

(1)求证：；
(2)若⊙的半径为5，，求的长．






18．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，梯形是某水坝的横截面示意图，其中，坝顶，坝高，迎水坡的坡度为．

(1)求坝底的长；
(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽，背水坡坡角改为．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：；结果精确到）




19．（2023春·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考开学考试）某校“趣味数学”社团开展了测量本校旗杆高度的实践活动．“综合与实践”小组制订了测量方案，并完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，该小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如表（不完整）
课题
测量旗杆的高度
成员
组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx
测量工具
角度的仪器，皮尺等
测量示意图

说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
的度数



的度数



A，B之间的距离



…
…


(1)任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值　 　m
(2)任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．（参考数据：，，，，，）
(3)任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）





20．（2022秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图（1），菱形中，，点O在边上（不可与点B重合，可与点C重合），以O为圆心，长为半径的圆O与直线交于点E，与直线交于点F，设．

(1)如图（2），当点E与点C重合时，连接．
①__________；
②求的长度．
(2)当点E在线段上时，如图（3），连接，求阴影部分的面积S与x之间的关系式．（不要求写出x的取值范围）
(3)直接写出圆O与线段只有一个交点时x的取值范围__________．