专题02 方程与不等式(5年真题5个考点+1年模拟11个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（江西专用）(原卷版+解析版)

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一．一元二次方程与判别式、根与系数的关系（共3小题）
1．（2022·江西·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
【答案】1
【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．
2．（2021·江西·中考真题）已知，是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】1
【分析】直接利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程()的两根，则，．
3．（2020·江西·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为 ．
【答案】-2
【分析】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．
【详解】解：将x=1代入一元二次方程有：，k=-1，
方程
即方程的另一个根为x=-2
故本题的答案为-2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．
二．解不等式组（共3小题）
1．（2022·江西·中考真题）（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）1＜x＜3
【分析】（1）根据绝对值的性质，算术平方根的意义，零指数幂的意义解答即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）原式=2+2-1，
=3．
（2）
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x＜3．
【点睛】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．（2020·江西·中考真题）（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）1≤x＜3．
【分析】（1）先根据零次幂、绝对值和负整数次幂化简，然后计算即可；
（2）先分别求出各不等式的解集，然后再求不等式组的解集．
【详解】解：（1）
=
=3；
（2）
由①得：x≥1
由②得：x＜3
所以该不等式组的解集为：1≤x＜3．
【点睛】本题考查了实数的运算和不等式组的解法，掌握实数的运算法则和解不等式的方法是解答本题的关键．
3．（2021·江西·中考真题）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】根据题意，先对不等式组进行求解，然后将其解集在数轴上表示即可．
【详解】根据题意，令为①式，为②式
解：由①式得，由②式得
则原不等式组的解集为：．
解集在数轴上表示如下：
【点睛】本题主要考查了不等式组的求解，熟练掌握不等式组的解法并将其解集在数轴上进行表示是解决本题的关键．
三．方程与不等式的应用（共2小题）
1．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．
(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本．
(2)数学书最多还可以摆90本
【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
（1）首先设这层书架上数学书有本，则语文书有本，根据题意可得等量关系：本数学书的厚度本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可；
（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设书架上数学书有本，由题意得：
，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
2．（2023·江西·中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
(1)求该班的学生人数；
(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【答案】(1)该班的学生人数为45人
(2)至少购买了甲树苗80棵
【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人，
由题意得，，
解得，
∴该班的学生人数为45人；
（2）解：由（1）得一共购买了棵树苗，
设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，
由题意得，，
解得，
∴m得最小值为80，
∴至少购买了甲树苗80棵，
答：至少购买了甲树苗80棵．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2020·江西·中考真题）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．
【答案】（1）5元，3元；
（2）当两人共同购买笔芯，享受整盒购买的优惠时，能让两人既买到各自的文具又都买到小工艺品．
【分析】（1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答；
（2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
【详解】（1）设单独购买一支笔芯的价格为x元，一本笔记本的价格为y元，
有，解得；
故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．
（2）两人共有金额19+26+2=47元，
若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，
故两人买到各自的文具需要花费10×2.5+3×5=40（元），剩余47-40=7（元），可购买两件单价为3元的小工艺品；
故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
【点睛】（1）本题主要考查了二元一次方程组的求解，其中根据题目信息找到等量关系，；列出方程组是解题的关键；
（2）本题主要是对题目中关键信息的理解以及应用，其中观察到整盒购买享受优惠是成功让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品的关键．
五．分式方程的应用（共2小题）
1．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 ．
【答案】
【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．
【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键．
2．（2021·江西·中考真题）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
（1）求这种商品的单价；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是______元/件．
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同______加油更合算（填“金额”或“油量”）．
【答案】（1）这种商品的单价为60元/件；（2）48,50；（3）金额
【分析】（1）根据题意设这种商品的单价为元/件，通过甲乙之间购买的商品数量间的数量关系列分式方程进行求解即可；
（2）利用两次购买总价÷两次购买总数量=平均单价，列式分别求出甲乙两次购买的平均单价即可；
（3）对比（2）中的计算数据总结即可得解．
【详解】（1）设这种商品的单价为元/件，
，解得，经检验是原分式方程的解，
则这种商品的单价为60元/件；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价为元/件，
∵甲两次购买总价为元，购买总数量为件，
∴甲两次购买这种商品的平均单价是元/件；
∵乙两次购买总价为元，购买总数量为件，
∴乙两次购买这种商品的平均单价是元/件；
故答案为：48,50；
（3）∵，
∴按照甲两次购买商品的总价相同的情况下更合算，
∴建议按相同金额加油更合算，
故答案为：金额．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，通过题目找准数量关系，利用总价÷数量=单价的基本等量关系式进行求解是解决本题的关键．
一．解二元一次方程组（共3小题）
1．（2024·江西吉安·一模）解方程组，下面是两位同学的解答过程：
小敏：解：把方程变形为，
再将代入方程得…
小川：解：将方程的两边乘3得，再将两个方程相加，得到…
(1)小敏的解法依据是____________，运用的方法是__________；小川的解法依据是________________，运用的方法是____________；
①整式的运算性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法．
(2)选择一位同学的解法，求出原方程组的解．
【答案】(1)②、④；②、⑤
(2)
【分析】本题考查了代入法和加减法消元解二元一次方程组．
（1）利用等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程；
（2）用代入法消元解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：小敏的解法依据是等式的性质，运用的方法是代入消元法；
小川的解法依据是等式的性质，运用的方法是加减消元法；
故答案为：②、④；②、⑤；
（2）解：把方程变形为，
再将代入方程①得，
解得，
将代入，得，
∴方程组的解为．
2．（2024·江西南昌·一模）解方程组，下面是两同学的解答过程：
甲同学：
解：把方程变形为，再将代入方程①得，…
乙同学：
解：将方程的两边乘以3得，再将①+②，得到，…
(1)甲同学运用的方法是________，乙同学运用的方法是________；(填序号)
①代入消元法；②加减消元法．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查了代入消元法和加减消元法解二元一次方程组．
（1）得到等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程；
（2）用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：甲同学运用的方法是①，乙同学运用的方法是②；(填序号)
①代入消元法；②加减消元法
故答案为：①，②；
（2）解：选择甲同学的方法，
把方程变形为，
再将代入方程①得，
解得，
把代入，得，
∴方程组的解为；
选择乙同学的方法，
将方程的两边乘以3得③，
再将①+③，得到，
解得，
把代入，得，
解得，
∴方程组的解为．
3．（2024·江西吉安·二模）解方程组，下面是两同学的解答过程：
小春：
解：将方程变形为．
小冬：
解：将方程两边同乘2，得到，再与另一个方程相加，得到．
(1)小春解法的依据是______，运用的方法是______；小冬解法的依据是______，运用的方法是______．（填序号）
①等式的性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法．
(2)请选择你认为更简捷的解法，完成解答过程．
【答案】(1)①，④；②，⑤
(2)解答过程见详解
【分析】本题考查了等式性质、代入法和加减法消元解二元一次方程组．
（1）利用等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程；
（2）用代入法消元解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：小春的解法依据是等式的性质，运用的方法是代入消元法；小东的解法依据是等式的性质，运用的方法是加减消元法；
故答案为：① ④；② ⑤
（2）将方程两边同乘2，
得到，
再与另一个方程相加，
得，
解得．
将代入方程，
得，
原方程组的解为．
二．解一元二次方程（共4小题）
1．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：
(1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确地解方程．
【答案】(1)二
(2)，
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．
（1）根据等式的性质判断②错误；
（2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：上述过程中，从第二步开始出现了错误，
故答案为：二；
（2）解：，
移项，得，
，
配方，得，即，
∴，
∴，．
2．（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：
(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的．
(2)请写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)配方；三
(2)，
【分析】（1）根据配方法解答即可．
（2）根据配方法的基本步骤规范解答即可．
本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误，
故答案为：配方法，第三步．
（2）原方程可变形为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
3．（2024·江西·一模）课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下：
解：原方程可化为，第一步
配方，得，第二步
即，第三步
直接开平方，得，第四步
所以，．第五步
(1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误；
(2)请你正确求解该方程．
【答案】(1)二
(2)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，
（1）根据配方法的步骤求解即可；
（2）利用配方法或公式法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【详解】（1）第二步配方时应方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，
∴这位同学的解题过程从第二步开始出现错误；
（2）配方法：
解得，．
公式法：
，，，
，
，
解得，．
4．（2024·江西南昌·一模）已知关于的方程．
(1)当时，求原方程的解．
(2)若原方程有两个相等的实数根，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程解法，一元二次方程根的判别式是解题关键．
（1）将代入，解方程即可；
（2）先求出的值，再根据的符号即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，原方程为，
，
即，，
解得：，；
（2）解：该一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
三．一元二次方程根与系数的关系（共8小题）
1．（2024·江西萍乡·二模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为 ．
【答案】
【分析】根据是关于的一元二次方程的一个根得到的值，进而解答即可．本题考查了一元二次方程的根，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程的根的概念是解题的关键
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
∴解得：，
∴一元二次方程的一般式为，
∴解得，，
∴这个方程的另一个根为，
故答案为．
2．（2024·江西九江·二模）若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ．
【答案】
【分析】此题考查的是一元二次方程的解，一元二次方程的解法，利用方程的解的含义先求解，再解方程即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
解得：，
∴原方程为，
∴，
解得：，；
故答案为：
3．（2024·江西景德镇·二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 .
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入可计算出．
【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别是，
那么，，
，
．
故答案为：．
4．（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程的两根分别为，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系式：一元二次方程，两根的和等于，两根的积等于，熟记公式是解题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将代数式化简代入即可得到答案.
【详解】∵一元二次方程的两根分别为，，
∴，
∴，
故答案为：.
5．（2024·江西九江·模拟预测）已知、是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，将式子变形为，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2024·江西吉安·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了求整式的值，一元二次方程根与系数的关系；由根与系数的关系得代入求解即可；掌握根与系数的关系：、是一元二次方程的两个根，则有及整体代换法是解题的关键．
【详解】解：，是方程的两个根，
，
；
故答案：．
7．（2024·江西南昌·二模）已知，为关于的方程的两个实数根，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根及根的判别式，先根据题意可知，求出k的取值范围，再根据一元二次方程的根及根与系数的关系代入等式，求出答案即可．
【详解】根据题意可知，
即，
解得．
∵，是方程的根，
∴，．
∵，
则，
解得．
故答案为：．
8．（2024·江西九江·二模）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根为，，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，先根据求得，再利用根与系数的关系即可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
原方程为，
，
故答案为：．
五．解分式方程（共2小题）
1．（2024·江西景德镇·三模）以下是小张同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
………………………………第一步
…………………………………第二步
………………………………………第三步
经检验，是原方程的根 ……………第四步
任务一：填空：以上解方程的过程中，第______步开始出现错误；
任务二：请你帮他写出正确的解答过程．
【答案】任务一：一；任务二：见解析
【分析】本题主要考查了求解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤是解答本题的关键．
任务一：根据解分式方程的方法进行判断即可；
任务二：先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：任务一：第一步去分母时，常数项没有乘以，因此第一步开始出现错误；
任务二：
去分母得：，
解整式方程得：，
检验：把代入得：，
∴不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
2．（2024·江西九江·一模）（1）计算：
（2）解分式方程：．
【答案】（1）4
（2）
【分析】本题考查了特殊角三角函数值，实数的运算和解分式方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）依次化简每一项，再进行加减运算；
（2）先去分母，再解一元整式方程，最后要检验．
【详解】（1）解：原式=
=
（2）解：

解得：
经检验：是方程的解
∴原方程的解为：．
七．解不等式与不等式组（共2小题）
1．（2024·江西吉安·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集．
【详解】由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故选：C．
2．（2024·江西抚州·一模）不等式组的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
3．（2024·江西抚州·二模）一元一次不等式组的解集为 ．
【答案】
【分析】主要考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
4．（2024·江西九江·三模）解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出它的解集．
【答案】，数轴见详解
【分析】本题考查解不等式组及在数轴上表示出不等式组的解集，根据一元一次不等式的解法及不等式组解集的求法求解，再利用不等式组解集在数轴上的表示方法作出图形即可得到答案．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
不等式组的解集为，
在数轴上表示出不等式组的解集：
5．（2024·江西赣州·二模）解不等式组，并写出它的负整数解．
【答案】，负整数解为
【分析】本题考查了解不等式组的知识，先分别解出不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，据此即可作答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
负整数解为．
6．（2024·江西九江·二模）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，以及解集在数轴上的表示．
先分别解出一元一次不等式的解集，然后得出一元一次不等式组的解集，最后将解集画在数轴上．
【详解】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为
将该不等式组的解集在数轴上表示如图所示．
7．（2024·江西·一模）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于正确的运算求解．先分别求解两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．
【详解】解：
由①，得，
由②，得，
不等式组的解集为．
解集在数轴上表示如下．
8．（2024·江西吉安·模拟预测）解不等式组，并将解在数轴上表示出来．

【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由不等式①得，，
解得．
由不等式②得，．
解得．
∴该不等式组的解集为．
将解集在数轴上表示如下： ．
9．（2024·江西宜春·模拟预测）以下是甲乙两位同学解不等式的过程：
甲解：……①
……②
……③
……④
乙解：……①
……②
……③
……④
(1)甲乙解中步骤①的依据都是（ ）
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质
(2)甲解在第______步开始出错，乙解在第______步开始出错；
(3)请你正确求解这个不等式．
【答案】(1)B
(2)①，②
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法和步骤是解题关键．
（1）根据不等式的性质，即可获得答案；
（2）根据解不等式的步骤分析判断即可；
（3）按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：甲乙解中步骤①的依据都是不等式的基本性质．
故选：B；
（2）甲解在第①步开始出错，乙解在第②步开始出错．
故答案为：①，②；
（3）解：，
去分母，可得 ，
去括号，可得 ，
移项、合并同类项，可得 ，
系数化为1，可得 ．
10．（2023·江西新余·模拟预测）以下是小新解不等式组的解答过程．
小新的解答过程从第__________步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
【答案】四，过程见解析，
【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法，根据解不等式的方法得到开始出现错误的步骤，再用正确的方法解不等式组即可．
【详解】解：小新的解答过程从第四步开始出现错误，
故答案为：四
正确解答如下：
由①得,
所以,
由②得，
所以，
故原不等式组的解集是．
11．（2024·江西南昌·模拟预测）以下是小贤解不等式组的解答过程．
小贤的解答过程从哪一步开始出现错误？请判断，并写出正确的解答过程．
【答案】第四步，正确解答见解析
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
【详解】解：小贤的解答过程从第四步开始出现错误；
解：由①得，
所以，
由②得，
所以，
∴，
故原不等式组的解集是．
12．（2024·江西九江·模拟预测）以下是小贤解不等式组的解答过程．
小贤的解答过程从哪一步开始出现错误？请判断，并写出正确的解答过程．
【答案】小贤的解答过程从第四步开始出现错误，解答过程见解析
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
【详解】解：小贤的解答过程从第四步开始出现错误．
正确的解答如下：
由①得，
，
由②得，
，
，
故原不等式组的解集为．
八．二元一次方程组与不等式的综合应用（共7小题）
1．（2024·江西吉安·二模）为了丰富学生课外活动，提高学生的综合素质，八年级某班购买了20套课外阅读书和10套体育运动器材，共花费了7200元，其中每套器材的价格比每套书多240元．
(1)求每套阅读书和每套运动器材的价格；
(2)一段时间后，发现阅读书和器材不够；若使用剩余班费1040元，并要求至少购买2套阅读书，则最多可购买多少套运动器材？
【答案】(1)每套阅读书160元，每套运动器材400元
(2)最多可购买1套运动器材
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键．
（1）设每套阅读书和每套运动器材的价格分别为元、元，根据购买了20套课外阅读书和10套体育运动器材，共花费了7200元，其中每套器材的价格比每套书多240元，列出方程组进行求解即可；
（2）设可购买套运动器材，根据题意，列出一元一次不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设每套阅读书和每套运动器材的价格分别为元、元．
根据题意，得解得
答：每套阅读书160元，每套运动器材400元．
（2）设可购买套运动器材．当购买2套阅读书时，
根据题意，得．解得．
答：最多可购买1套运动器材．
2．（2024·江西抚州·一模）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．
(1)求每辆A型车和B型车的售价；
(2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于228万元，求B型车至少销售多少辆？
【答案】(1)每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元
(2)B型车至少销售6辆
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结果；
（2）设销售B型车m辆，则销售A型车辆，利用销售总额=每辆A型车的售价×销售A型车的数量+每辆B型车的售价×销售B型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结果．
【详解】（1）解：设每辆A型车的售价是万元，每辆B型车的售价是万元，
根据题意得：，解得：
答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元；
（2）解：设销售B型车辆，则销售A型车辆，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为6．
答：B型车至少销售6辆．
3．（2024·江西吉安·模拟预测）为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元．
(1)求篮球和排球的单价；
(2)据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最多剩下43个，求排球的最大损耗率．
【答案】(1)篮球的单价为48元，排球的单价为56元
(2)排球的最大损耗率为10%
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总价单价数量，列出关于的一元一次不等式．
（1）设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，根据购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设排球的最大损耗率为m，则篮球的损耗率，得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，即可求解．
【详解】（1）设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，
根据题意，得
解得
答：篮球的单价为48元，排球的单价为56元；
（2）设排球的最大损耗率为m，则篮球的损耗率，
根据题意，得，
解得，
即排球的最大损耗率10%．
答：篮球的单价为48元，排球的单价为56元，排球的最大损耗率为．
4．（2024·江西吉安·一模）为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元．
(1)求篮球和排球的单价；
(2)据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最少剩下43个，求排球的最大损耗率．
【答案】(1)篮球单价是56元，排球的单价是48元
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找出等量关系列二元一次方程组和找出各数量关系列出不等式是解题的关键；
（1）设篮球单价是x元，排球的单价是y元，根据“购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元”，即可得出关于x、y的二元一次方程方程组，解方程即可；
（2）设排球的损耗率是m，则篮球的损耗率的，根据“篮球和排球最少剩下43个”，列一元一次不等式，求出最大值即可．
【详解】（1）设篮球单价是x元，排球的单价是y元，根据题意，得
解得：，
答：篮球单价是56元，排球的单价是48元．
（2）解：设排球的损耗率是m，则篮球的损耗率的，根据题意得：

解得：，
当损耗率损耗率最大，
排球的最大损耗率为
5．（2024·江西赣州·模拟预测）小何到早餐店买早点，“阿姨，我买个肉包和个菜包．”阿姨说：“一共元．”付款后，小何说：“阿姨，少买个菜包，换个肉包吧．”阿姨说：“可以，但还需补交元钱．”
(1)请从他们的对话中求出肉包和菜包的单价；
(2)如果小何一共有元，需要买个包子，他最多可以买几个肉包呢？
【答案】(1)肉包和菜包的单价分别是元、元
(2)最多可以买个肉包子
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设肉包和菜包的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设可以买个肉包子，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设肉包和菜包的单价分别为元，元，
由题意得，解得．
答：肉包和菜包的单价分别是元、元．
（2）解：设可以买个肉包子，根据题意得，
解得：，
∴最多可以买个肉包．
答：最多可以买个肉包．
6．（2024·江西·一模）为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．
(1)跳绳和键子的单价分别是多少元？
(2)若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？
【答案】(1)跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元
(2)最多购买80根跳绳
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设跳绳的单价是元，毽子的单价是元，根据购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元，列出方程组进行求解即可；
（2）设学校购买根跳绳，根据学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设跳绳的单价是元，毽子的单价是元．
依题意，得解得
答：跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元．
（2）设学校购买根跳绳，则购买个毽子．
依题意，得，解得，
的最大值为80．
答：最多购买80根跳绳．
7．（2024·江西南昌·一模）为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．
(1)求每辆A型车和B型车的售价；
(2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？
【答案】(1)每辆A型汽车的售价为18万元，每辆B型汽车的售价为26万元
(2)5辆
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设每辆型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元，根据“型汽车的售价比型汽车售价高8万元，本周售出1辆型车和3辆型车，销售总额为96万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设销售型车辆，则销售型车辆，利用销售总额每辆型车的售价销售型车的数量每辆型车的售价销售型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设每辆型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆型车的售价是18万元，每辆型车的售价是26万元；
（2）解：设销售型车辆，则销售型车辆，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为5．
答：型车至少销售5辆．
九．二元一次方程组、不等式与一次函数的综合应用（共6小题）
1．（2024·江西南昌·三模）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动．已知购买20棵树苗和30棵两种树苗需1200元，购买40棵树苗和50棵两种树苗需2200元．
(1)求两种树苗的单价；
(2)若现要购买两种树苗共100棵，且要求购买树苗的棵数不多于树苗的3倍，则购买这些树苗至少需要多少元?
【答案】(1)30元，20元
(2)2250元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设种树苗的单价为元，种树苗的单价为元，根据“购买20棵树苗和30棵两种树苗需1200元，购买40棵树苗和50棵两种树苗需2200元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买树苗的数量为棵，则购买，种树苗的熟练为棵，根据“购买树苗的棵数不多于树苗的3倍”列出一元一次不等式，求出的取值范围，设购买这些树苗需要花费元，由题意得出关于的关系式，再根据一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设种树苗的单价为元，种树苗的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
答：种树苗的单价为30元，种树苗的单价为20元；
（2）解：设购买树苗的数量为棵，则购买，种树苗的熟练为棵，
由题意可得，
解得，
设购买这些树苗需要花费元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，，
购买这些树苗至少需要2250元．
2．（2024·江西南昌·模拟预测）某学校开展数学史知识竞赛，并准备购买，两种奖品奖励获奖同学．已知购买2个种奖品和1个种奖品共需55元；购买3个种奖品和2个种奖品共需90元．
(1)求，两种奖品的单价．
(2)学校准备购买，两种奖品共10个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是多少元？
【答案】(1)种奖品的单价为元，种奖品的单价为元；
(2)在购买方案中最少费用是170元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意找出数量关系是解题关键．
（1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据题意列二元一次方程求解即可；
（2）设购买种奖品个，则购买种奖品个，根据题意列不等式，得到的取值范围，令购买费用为，得到关于的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
由题意得：，解得：，
答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元；
（2）解：设购买种奖品个，则购买种奖品个，
由题意得：，
解得：，
令购买费用为，
则，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，最小值为，
即在购买方案中最少费用是170元．
3．（2024·江西吉安·模拟预测）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校共有个班，该校体育社团准备从商场一次性购买副羽毛球拍和乒乓球拍，若购进羽毛球拍副，乒乓球拍副，需要元；购进羽毛球拍副，乒乓球拍副，需要元．
(1)求购进羽毛球拍，乒乓球拍每副各需多少元？
(2)在（1）的条件下，若该校要把购买这批球拍的费用控制在元以内（含元），且每个班的羽毛球拍不少于副，则购买方案有几种，最少费用为多少元？
【答案】(1)一副羽毛球拍价格为元，一副乒乓球拍价格为元
(2)有种方案，最少费用为元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，
（1）设一副羽毛球拍价格为元，一副乒乓球拍价格为元，根据” 购进羽毛球拍副，乒乓球拍副，需要元；购进羽毛球拍副，乒乓球拍副，需要元”建立方程组求解即可；
（2）设学校购买了副羽毛球拍，副乒乓球拍，总费用为元，根据“把购买这批球拍的费用控制在元以内（含元），且每个班的羽毛球拍不少于副”建立关于的一元一次不等式组，继而确定的值，再根据“费用单价数量”建立关于的一次函数，然后根据一次函数的性质即可得解；
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组及一次函数关系式．
【详解】（1）解：设一副羽毛球拍价格为元，一副乒乓球拍价格为元，
根据题意，得：，
解得：，
答：一副羽毛球拍价格为元，一副乒乓球拍价格为元；
（2）设学校购买了副羽毛球拍，副乒乓球拍，总费用为元，
根据题意，得：，
解得：，
∴整数共有个，即，，，，，，，
又∵，
∵，
∴随的增大而增大，
当时，有最小值，此时最小值：（元）．
答：学校购进这批球拍共有种方案，最少费用为元．
4．（2024·江西景德镇·三模）景德镇被誉为“千年瓷都”，据统计，2024年五一假期累计接待游客523万人次．这里不仅有享誉世界的陶瓷，更有种类繁多的特色小吃．“饺子”、“冷粉”摊位前排满了游客．若购买冷粉4份，饺子粑2份需要48元；购买冷粉2份，饺子粑4份需要54元．
(1)求冷粉，饺子粑每份售价分别多少元？
(2)据调查，某商家制作一份冷粉需要成本4元，一份饺子成本6元．该商家结合市场需求，某天可售卖冷粉和饺子粑共1000份，且冷粉的数量至少为饺子粑的3倍．若商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是多少？
【答案】(1)冷粉每份售价是7元，饺子粑每份售价是10元
(2)商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润为3250元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用：
（1）设冷粉，饺子粑每份售价分别是x元和y元，则购买冷粉4份，饺子粑2份需要48元；购买冷粉2份，饺子粑4份需要54元，列出方程组，即可求解；
（2）设售卖冷粉m份，则售卖饺子粑份，根据某天可售卖冷粉和饺子粑共1000份，且冷粉的数量至少为饺子粑的3倍，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设总利润为w元，利用总利润=销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设冷粉，饺子粑每份售价分别是x元和y元，根据题意得，
，
解得，
答：冷粉每份售价是7元，饺子粑每份售价是10元
（2）解：设售卖冷粉m份，则售卖饺子粑份，根据题意得，
，
∴；
又
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，的最大值为（元）
答：商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润为3250元
5．（2024·江西九江·二模）某工厂计划生产甲、乙两种型号的新型智能机床共100台，现已知甲、乙两种型号的智能机床的生产成本和售价如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)若该工厂共投入540万元来生产这两种型号的智能机床，并且投入的资金刚好用完，则可以生产甲、乙两种型号的智能机床各多少台？
(2)根据市场调查，生产甲种型号的智能机床的数量大于乙种型号的智能机床数量的2倍，该工厂应如何制订生产计划才能获得最大利润？最大利润是多少万元？
【答案】(1)生产甲、乙两种型号的智能机床分别为台，台；
(2)生产甲种型号的智能机床台，则生产乙种型号的智能机床台，可获得最大利润，最大利润为万元．
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）设生产甲、乙两种型号的智能机床分别为台，台，根据该工厂共投入540万元来生产这两种型号的智能机床100台列方程组解题即可；
（2）设生产甲种型号的智能机床台，则生产乙种型号的智能机床台，获得的总利润为万元，列出函数关系式，及得到且为整数，根据函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：设生产甲、乙两种型号的智能机床分别为台，台，则
，
解得：，
答：生产甲、乙两种型号的智能机床分别为台，台；
（2）解：设生产甲种型号的智能机床台，则生产乙种型号的智能机床台，则
，
解得：，而，
∴且为整数；
∴最小整数解为，
设获得的总利润为万元，
∴，
∵，
∴当时，最大利润为（万元）；
∴生产甲种型号的智能机床台，则生产乙种型号的智能机床台，可获得最大利润，最大利润为万元．
6．（2024·江西萍乡·一模）“光明商店”为了抓住某次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品5件，B种纪念品4件，需要620元；购进A种纪念品7件，B种纪念品8件，需要1180元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若每件A种纪念品的售价为56元，每件B种纪念品的售价为160元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为W元，请写出总利润W（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．
【答案】(1)A种纪念品每件价格为20元，种纪念币每件价格为130元
(2)，种纪念品购买件，种纪念品购买件时利润高
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，
（1）设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意得出关于和的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，求出总利润关于购买种纪念品件的函数关系式，由函数的增减性确定总利润取最值时的值，从而得出结论．
找到相应的关系式是解决问题的关键．
【详解】（1）解：设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，
根据题意，得，
解得，
答：种纪念品每件价格为20元，种纪念币每件价格为130元；
（2）根据题意，得，
解得，
根据题意得：
，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值：，（件，
故购进种纪念品270件，购进种纪念品30件时利润最高，利润最高为10620元．
十．分式方程与不等式的综合应用（共2小题）
1．（2024·江西上饶·一模）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校体育社团准备从商场一次性购买若干副羽毛球拍和乒乓球拍，已知羽毛球拍的单价比乒乓球拍的单价高50元，用320元购买羽毛球拍的数量和用120元购买乒乓球拍的数量相等．
(1)求购买一副羽毛球拍、一副乒乓球拍各需要多少元？
(2)如果该校需要乒乓球拍的数量是羽毛球拍数量的2倍还多3副，且购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过2890元，那么学校最多可购买多少副羽毛球拍？
【答案】(1)购买一副羽毛球拍需要80元，购买一副乒乓球拍需要30元
(2)学校最多可购买20副羽毛球拍
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，不等式的实际应用，利用所给的信息寻找出列出方程与不等式是解题的关键．
（1）设购买一副乒乓球拍需要元，则购买一副羽毛球拍需要元，根据用320元购买羽毛球拍的数量和用120元购买乒乓球拍的数量相等建立方程求解即可；
（2）设该校购买羽毛球拍副，则需要购买乒乓球拍是副，根据乒乓球拍的费用加上羽毛球拍的费用不超过2890元列出不等式求解即可．
【详解】（1）设购买一副乒乓球拍需要元，则购买一副羽毛球拍需要元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以，
答：购买一副羽毛球拍需要80元，购买一副乒乓球拍需要30元；
（2）设该校购买羽毛球拍副，则需要购买乒乓球拍是副，
由题意得：，
解得，
答：学校最多可购买20副羽毛球拍．
2．（2024·江西吉安·三模）为建设文明城市，提升居民生活幸福指数，某市政府决定对该市85千米长的老旧燃气管道进行升级改造．通过招标，委托甲、乙两工程队合作完成，已知乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，若由乙工程队单独完成改造，则能比由甲工程队单独完成改造节省17天．
(1)甲、乙两工程队每天改造管道的长度分别是多少千米？
(2)已知甲工程队工作一天需付费8万元，乙工程队工作一天需付费12万元，若完成城市燃气管道85千米的改造，总费用不能超过800万元，则最多安排乙工程队工作多少天？
【答案】(1)甲工程队每天改造管道的长度是1千米，乙工程队每天改造管道的长度是1.25千米
(2)最多安排乙工程队工作60天
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出分式方程以及找数量关系列一元一次不等式是解题的关键．
（1）设甲工程队每天能改造x千米，则乙工程队每天能改造千米，根据“乙工程队比甲工程队单独完成节省17天”，即可列出分式方程．
（2）设安排乙工程队工作a天，则甲工程队工作天，根据“总费用不能超过800万元”即可列出一元一次不等式．
【详解】（1）解：设甲工程队每天能改造x千米，则乙工程队每天能改造千米．
由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际，
∴．
答：甲工程队每天改造管道的长度是1千米，乙工程队每天改造管道的长度是1.25千米．
（2）设安排乙工程队工作a天．
由题意得，
解得．
答：最多安排乙工程队工作60天．
十一．分式方程、不等式与一次函数的综合应用（共4小题）
1．（2024·江西·二模）无人机作业已经成为现代农业生产的重要技术手段之一．为了保证无人机飞行作业的安全可靠，需要加强对操作人员的培训和管理，促进其规范发展．某县劳动就业培训机构购进甲、乙两种无人机用于职业培训，已知用72000元购进的甲种无人机的数量与用90000元购进的乙种无人机的数量相同，乙种无人机的进货单价比甲种无人机的进货单价多600元．
(1)求甲、乙两种无人机的进货单价；
(2)该县劳动就业培训机构打算再购进甲、乙两种无人机共40架，其中乙种无人机的购货数量不少于甲种无人机购货数量的3倍，如何进货才能花费最少?
【答案】(1)甲种无人机的进货单价为 2400 元，乙种无人机的进货单价为 3000 元
(2)购进甲种无人机 10 架，乙种无人机 30 架时，花费最少
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．
（1）设甲种无人机的进货单价为 x 元，根据“用72000元购进的甲种无人机的数量与用90000元购进的乙种无人机的数量相同”列方程，求解方程即得答案；
（2）设购进甲种无人机 m 架，购进 40 架无人机的总花费为 y 元，先列出y关于m的函数解析式，然后根据乙种无人机的购货数量不少于甲种无人机购货数量的 3 倍，列出不等式，求出m的取值范围，最后根据一次函数的增减性，即可求得答案．
【详解】（1）设甲种无人机的进货单价为 x 元，则乙种无人机的进货单价为元，
由题意得 ，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，则，
答：甲种无人机的进货单价为 2400 元，乙种无人机的进货单价为 3000 元．
（2）设购进甲种无人机 m 架，则购进乙种无人机架，购进 40 架无人机的总花费为 y 元，
由题意得，
乙种无人机的购货数量不少于甲种无人机购货数量的 3 倍，
，
解得，
，则函数 y 的值随 m 的增大而减小，
当时，y 最小，
此时，
答：购进甲种无人机 10 架，乙种无人机 30 架时，花费最少．
2．（2024·江西景德镇·二模）教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．学校为了让学生体验农耕劳动，开设校园劳动基地．现计划购买甲，乙两种型号的劳动工具．已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具少3元，且用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等．
(1)求甲，乙两种型号劳动工具的单价各是多少元?
(2)该校计划购买甲，乙两种型号的劳动工具共90个，且乙型劳动工具的数量不少于甲型劳动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用．
【答案】(1)甲型劳动工具的单价为20元，乙型劳动工具的单价为23元；
(2)购买这批劳动工具的最少费用为1890元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）设甲型劳动工具的单价为元，则乙型劳动工具的单价为元，根据“用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可；
（2）设购买乙型劳动工具个，则购买甲型劳动工具个，购买这批劳动工具的费用为元，根据题意求出关于的函数关系式，再求出的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
【详解】（1）解：设甲型劳动工具的单价为元，则乙型劳动工具的单价为元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解且符合题意，
则，
答：甲型劳动工具的单价为20元，乙型劳动工具的单价为23元；
（2）设购买乙型劳动工具个，则购买甲型劳动工具个，
设购买这批劳动工具的费用为元．
则，
∵，
∴随着的增大而增大．
根据题意，得，
解得，
∵为整数，
∴的最小值为30，
∴当时，最小，最小值为，
答：购买这批劳动工具的最少费用为1890元．
3．（2024·江西抚州·一模）某公司欲订购一种纪念品在五一期间回馈老客户，工厂接到此订单后计划通过引进一条新生产线来完成任务．根据以往经验，一名熟练工人比一名普通工人每小时制作的纪念品数量多5件，且一名熟练工人制作120件纪念品与一名普通工人制作80件纪念品所用的时间相同．
(1)求一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能制作多少件纪念品？
(2)新生产线的目标产能是每小时生产200件纪念品，该工厂计划在本地招聘n名普通工人，并从其他生产线上调用m名熟练工人共同完成新生产线的任务，请用含n的代数式表示m；
(3)该工厂在做市场调研时发现，一名普通工人每天工资为120元，一名熟练工人每天工量为150元，而且从其他生产线上调用的熟练工人不超过10人，则在（2）的条件下，该工厂如何安排工人，才能使支付的工资最少？
【答案】(1)一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成15个纪念品、10个纪念品
(2)与的函数关系式是
(3)招聘普通工人5人，调用熟练工人10人时，支付工资的总费用最少
【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成多少个纪念品，注意分式方程要检验；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以得到含n的代数式表示m；
（3）然后根据一次函数的性质，即可得到该企业如何招聘工人，使得工人工资的总费用最少．
【详解】（1）解：设一名普通工人每小时完成个纪念品，则一名熟练工人每小时完成个纪念品，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
即一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成15个纪念品、10个纪念品；
（2）解：由题意可得，
，
则，
即与的函数关系式是；
（3）解：设工人工资的总费用为元，
，
随的增大而增大，
从其他生产线上调用的熟练工人不超过10人，
，即，
解得，
当时，取得最小值，此时，，
答：招聘普通工人5人，调用熟练工人10人时，支付工资的总费用最少．
4．（2024·山东济南·模拟预测）生活需要仪式感，随着人们生活质量的提高和品位的提升，鲜花深受广大消费者喜爱．某鲜花店为了满足消费者的需要，准备购进一批玫瑰花和康乃馨．已知购买玫瑰花花费1800元，购买康乃馨花费1380元，每枝玫瑰花的价格是每枝康乃馨的倍，购买玫瑰花的数量比康乃馨的数量少30枝．
(1)玫瑰花和康乃馨的单价分别是多少元？
(2)两种鲜花到店后很快售馨，鲜花店老板准备再次购进玫瑰花和康乃馨共600枝，且玫瑰花的数量不低于康乃馨的3倍，则玫瑰花和康乃馨各购买多少枝花费最少？最少费用是多少元？
【答案】(1)每枝康乃馨6元，每枝玫瑰花9元
(2)购买康乃馨150枝、玫瑰花450枝时花费最少，最少费用为4950元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设每枝康乃馨x元，则每枝玫瑰花元，根据购买玫瑰花的数量比康乃馨的数量少30枝列出方程求解即可；
（2）设购买康乃馨m枝，则购买玫瑰花枝，购买玫瑰花和康乃馨共花费W元．根据玫瑰花的数量不低于康乃馨的3倍，列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每枝康乃馨x元，则每枝玫瑰花元，
依题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，则．
答：每枝康乃馨6元，每枝玫瑰花9元．
（2）解：设购买康乃馨m枝，则购买玫瑰花枝，购买玫瑰花和康乃馨共花费W元．
依题意得，
解得．
，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当时，W取得最小值，此时，．
答：购买康乃馨150枝、玫瑰花450枝时花费最少，最少费用为4950元．
解：原方程可变形为，（第一步）
∴，（第二步）
∴，（第三步）
∴，（第四步）
∴，（第五步）
∴，．（第六步）
解：由①得, 第一步
所以, 第二步
由②得， 第三步
所以， 第四步
故原不等式组的解集是． 第五步
解：由①得，…………………………………………第一步
所以，……………………………………………………第二步
由②得，……………………………………………第三步
所以，……………………………………………………第四步
故原不等式组的解集是．……………………………第五步
解：由①得，第一步
所以，第二步
由②得，第三步
所以，第四步
故原不等式组的解集是．第五步
型号
生产成本/（万元/台）
售价/（万元/台）
甲
5
6
乙
6
7.2