专题09方程、函数与不等式的综合应用【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分项汇编（河南专用）

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解答题
1. （2020·河南·统考中考真题）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；
设某学生暑期健身(次)，按照方案一所需费用为，(元)，且；按照方案二所需费用为(元) ，且其函数图象如图所示．
求和的值，并说明它们的实际意义；
求打折前的每次健身费用和的值；
八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由．
【答案】（1）k1=15，b=30；k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）打折前的每次健身费用为25元，k2=20；
（3）方案一所需费用更少，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得和的值，再根据函数表示的实际意义说明即可；
（2）设打折前的每次健身费用为a元，根据（1）中算出的为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到的值；
（3）写出两个函数关系式，分别代入x=8计算，并比较大小即可求解．
【详解】解：（1）由图象可得：经过（0，30）和（10，180）两点，代入函数关系式可得：，
解得：，
即k1=15，b=30，
k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）设打折前的每次健身费用为a元，
由题意得：0.6a=15，
解得：a=25，
即打折前的每次健身费用为25元，
k2表示每次健身按八折优惠的费用，故k2=25×0.8=20；
（3）由（1）（2）得：，，
当小华健身次即x=8时，
，，
∵1500,∴w随a的增大而增大，
∴当a=10时,w取最大值,w=10+450 =460
30-a=30-10=20.
答:应购进A款玩偶10个,B款玩偶20个才能获得最大利润,最大利润为 460 元。
3.（2022·河南·统考中考真题） 近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
【答案】（1）20元 （2）2250元
【解析】
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可；
（2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可．
【小问1详解】
解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，
解得
检验：将代入，值不为零，
∴是原方程的解，
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
【小问2详解】
解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元，
由题意可知：，
解得，
又∵，
∴，
∵y随m的增大而减小
∴当时，花费最少，
此时
∴本次购买最少花费2250元．
【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键
4.（2023·河南·统考中考真题） 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）活动一更合算
（2）400元 （3）当或时，活动二更合算
【解析】
【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；
（2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；
（3）由题意得活动一所需付款为元，活动二当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解．
【小问1详解】
解：购买一件原价为450元的健身器材时，
活动一需付款：元，活动二需付款：元，
∴活动一更合算；
【小问2详解】
设这种健身器材的原价是元，
则，
解得，
答：这种健身器材的原价是400元，
【小问3详解】
这种健身器材的原价为a元，
则活动一所需付款为：元，
活动二当时，所需付款：元，
当时，所需付款为：元，
当时，所需付款为：元，
①当时，，此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当时，，解得，
即：当时，活动二更合算，
③当时，，解得，
即：当时，活动二更合算，
综上：当或时，活动二更合算．
【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用．
5.（2024·河南·统考中考真题） 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．
（1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包
（2）选用A种食品3包，B种食品4包
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；
（2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用A种食品4包，B种食品2包．
【小问2详解】
解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，
根据题意，得．
∴．
设总热量为，则．
∵，
∴w随a的增大而减小．
∴当时，w最小．
∴．
答：选用A种食品3包，B种食品4包．
一、解答题
1．（2024·河南·三模）为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》订购单价的
1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．
(1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元．
(2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《朝花夕拾》最多购买多少本．
【答案】(1)《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元．
(2)《朝花夕拾》最多购买50本
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系．
（1）设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元，列出关于x的分式方程求解即可；
（2）设再订购本《朝花夕拾》，则再订购本《西游记》，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围．
【详解】（1）设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元．由题意得．
解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
（元）．
答：《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元．
（2）设再订购本《朝花夕拾》，则再订购本《西游记》．
由题意得．
解得．
答：《朝花夕拾》最多购买50本．
2．（23-24九年级下·河南信阳·期中）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多，某品牌的“”店主销纯电动汽车A和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如表：
(1)2月份该“”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，设购进A，B型号的车分别为x辆、y辆，则x，y分别为多少？
(2)因汽车供不应求，该“”店5月份决定购进A，B两种车型共50辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于220分，已知新能源积分每分可获得万元的补贴，那么5月份如何进货才能使“”店获得的补贴最大？并求出最大值．
【答案】(1)x的值为10，y的值为25．
(2)购进A型车20辆，B型车30辆时才能使“”店获得的补贴最大，最大为44万元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系和不等关系列出方程或不等式．
（1）设购进A、B型号的车分别为x，y辆，根据A，B两种车型共花费550万元，全部售出共获得新能源积分130分，列出方程组，解方程组即可；
（2）设4月购进A型车m辆，则购进B型车辆，根据车辆全部售出后获得新能源积分不高于220分列出不等式，求出，设5月份 “”店获得的补贴为w万元，列出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性，求出结果即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：．
答：x的值为10，y的值为25．
（2）解：设5月购进A型车m辆，则购进B型车辆，
依题意得：
解得：．
设5月份 “”店获得的补贴为w万元，
由题意得，，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w最大，最大值为，
∴，
∴购进A型车20辆，B型车30辆时才能使“”店获得的补贴最大，最大为44万元．
3．（2024·河南南阳·一模）为了迎接母亲节，某商家决定售卖康乃馨和玫瑰花两种花．若购进2支康乃馨和3支玫瑰花共花费16元；购进3支康乃馨和6支玫瑰花共花费30元．
(1)康乃馨和玫瑰花的进价分别为多少元一支？
(2)该商家计划购进康乃馨和玫瑰花共400支，每支康乃馨售价为5元，每支玫瑰花售价为8元，且购买康乃馨的数量不少于玫瑰花数量的，请求如何购买，商家获得利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)康乃馨的进价为2元一支，玫瑰花的进价为4元一支
(2)购进康乃馨160支，玫瑰花240支时，利润最大，最大利润为1440元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键：
（1）设康乃馨的进价为x元一支，玫瑰花的进价为y元一支，根据购进2支康乃馨和3支玫瑰花共花费16元；购进3支康乃馨和6支玫瑰花共花费30元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买康乃馨的数量为m支，商家获利w元，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设康乃馨的进价为x元一支，玫瑰花的进价为y元一支．
根据题意，得
解得
答：康乃馨的进价为2元一支，玫瑰花的进价为4元一支．
（2）设购买康乃馨的数量为m支，商家获利w元．
由题意，知：
解得
∵
∴w随m的增大而减小．
∵
∴时，w有最大值．
此时
（元）
答：购进康乃馨160支，玫瑰花240支时，利润最大，最大利润为1440元．
4．（2024·河南鹤壁·一模）围棋起源于中国，被列为“琴棋书画”四大文化之一；象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚．国家“双减”政策实施后，某校为参加棋类社团的同学购买象棋和围棋，其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元．
(1)求每副象棋和围棋的单价；
(2)随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和副象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋；
方案二：按购买总金额的八折付款．
分别求出按照方案一、二购买的总费用、关于的函数解析式；
(3)请直接写出该校选择哪种方案购买更划算．
【答案】(1)每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元
(2)，
(3)当时，选择方案一更划算；当时，两种方案一样划算；当时，选择方案二更划算．
【分析】本题考查了二元一次方程、一元一次不等式和列函数解析式，解题关键是准确把握题目中的数量关系，正确列出方程或不等式．
（1）设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据题目给出的优惠方案，列出关系式即可求解；
（3）根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元；
（2）解：根据购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋，
可得；
根据按购买总金额的八折付款，
可得．
（3）解：当时，，
解得，，
所以，当时，选择方案一更划算；
当时，，
解得，，
所以，当时，两种方案一样划算；
当时，，
解得，，
所以，当时，选择方案二更划算．
综上，当时，选择方案一更划算；当时，两种方案一样划算；当时，选择方案二更划算．
5．（2024·河南许昌·一模）为有效落实双减政策，切实做到减负提质，某学校在课外活动中增加了球类项目．学校计划用1800元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打六折，打折后购买的篮球总数量比打折前多10个．
(1)求打折前每个篮球的售价是多少元？
(2)由于学生的需求不同，该学校决定增购足球．学校决定购买篮球和足球共50个，每个足球原售价为100元，在购买时打八折，且购买篮球的数量不超过总数量的一半，请问学校预算的1800元是否够用？如果够用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少需要再添加多少元？
【答案】(1)打折前每个篮球的售价是120元
(2)不够用，该学校至少还需要再添加2000元
【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用．
（1）设打折前每个篮球的售价是元，根据打折后购买的篮球总数量比打折前多10个列出方程即可；
（2）根据题意列出总费用关于篮球个数的一次函数再求解即可．
【详解】（1）设打折前每个篮球的售价是元，则打折后每个篮球的售价是元，
由题意，得，解得
经检验，是原方程的解，且符合题意
答：打折前每个篮球的售价是120元；
（2）设购买篮球个，则购买足球个
设购买50个篮球和足球的总费用为元
由题意，得
随着的增大而减小
又
当时，取得最小值，最小值为
学校预算的1800元不够用
（元）
该学校至少还需要再添加2000元．
6．（2024·河南安阳·模拟预测）某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表：
(1)甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？
(2)商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？
【答案】(1)甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元
(2)50个
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意列二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键；
（1）根据第一次和第二次的总费用，列方程组求解即可；
（2）根据总价不超过35000，甲品牌耳机数量不少于30个，列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设甲品牌耳机的进价是x元，乙品牌耳机的进价是y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元．
（2）设第三次购进甲品牌耳机m个，则购进乙品牌耳机个，
根据题意，得，
解得，
∴m的最大值为50．
答：最多能购进50个甲品牌耳机．
7．（2024·河南周口·一模）充电安全报警器，防患未“燃”保平安．某社区决定采购A，B两种型号的充电安全报警器．若购买3个A型报警器和4个B型报警器共需要580元，购买6个A型报警器和5个B型报警器共需要860元．
(1)求两种型号报警器的单价；
(2)若需购买A，B两种型号的报警器共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型报警器多少个？
【答案】(1)A型报警器单价为60元，B型报警器单价为100元
(2)至少需购买A型报警器125个
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设A型报警器单价为x元，B型报警器单价为y元，再建立方程组，然后解出方程组，即可作答．
（2）设需要购买A型报警器a个，根据题意列出不等式，再解不等式，即可作答．
【详解】（1）解：设A型报警器单价为x元，B型报警器单价为y元，
由题意可得：，
解得．
答：A型报警器单价为60元，B型报警器单价为100元；
（2）解：设需要购买A型报警器a个，
由题意可得：．
解得．
答：至少需购买A型报警器125个．
8．（2024·河南安阳·一模）“安阳是一生必去的城市，有文化，必安阳！”越来越多的游客慕名来到安阳旅游，与甲骨文有关的文旅产品受到游客的普遍欢迎.某商店销售以甲骨文为主题的A，B两款文化衫，每件A款文化衫的利润比每件B款文化衫的利润多8元，销售A款文化衫获利元和销售B款文化衫获利元时的销售数量相同．
(1)求每件A款文化衫和B款文化衫的利润．
(2)若该商店计划购进A、B两款文化衫共件进行销售，且A款文化衫数量不超过B款文化衫数量的倍，商店购进A、B两款文化衫各多少件，才能使销售完这件文化衫获得最大利润?最大利润是多少?
【答案】(1)A 款文化衫每件利润元，B 款文化衫每件利润 元；
(2)购进 A 款文化衫 件，B 款文化衫 件，获得最大利润 元．
【分析】本题考查分式方程，一次函数、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键.
（1）设每件 A 款文化衫利润是 x 元，则每件 B 款文化衫利润是元，依题意得：，据此即可求解；
（2）设购进 A 款文化衫 m 件，则购进 B 款文化衫件，销售总利润是 w 元， 依题意，，据此即可求解
【详解】（1）解：设每件 A 款文化衫利润是 x 元，则每件 B 款文化衫利润是元，
依题意得：
解得.
经检验， 是原分式方程的解．
∴
答：A 款文化衫每件利润元，B 款文化衫每件利润 元；
（2）解：设购进 A 款文化衫 m 件，则购进 B 款文化衫件，销售总利润是 w 元， 依题意
解得
∵．
且，所以 w 随 m 的增大而增大，
∴当 时，w 取得最大值 元．
此时，．
答：购进 A 款文化衫 件，B 款文化衫 件，获得最大利润 元．
9．（2024·河南驻马店·一模）2024年春节假日期间，33万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需49元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需53元．
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共48千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】(1)A种食材的单价是每千克19元，B种食材的单价是每千克15元
(2)A种食材购买36千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为864元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克．根据题意列出方程组，并解出方程组的解，即可作答．
（2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，依题意，得，根据“购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，”得，即可作答．
【详解】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克．
根据题意，得
解得
A种食材的单价是每千克19元，B种食材的单价是每千克15元．
（2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元．
根据题意，得．
，
．
，
随的增大而增大．
当时，有最小值为：（元）．
A种食材购买36千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为864元
10．（2024·河南濮阳·一模）每年3月22 日是世界水日，这个节日旨在唤起公众节水意识，加强水资源保护．濮阳市市政府为了鼓励居民节约用水，决定实行分级收费制度．若每月用水量不超过 13 吨(含 13 吨)，每吨按政府补贴优惠价a元收费；若每月用水量超过13吨，则超过部分每吨按市场价b元收费．张明家3月份用水15吨，交水费33元；5月份用水21吨，交水费54元．

(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；
(3)张明家7月份用水25 吨，则他家应交水费多少元？
【答案】(1)优惠价为每吨2元，市场价为每吨3.5元
(2)
(3)68元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，函数关系式的确定，把生活实际问题转化为数学的方程组模型和函数模型是解题的关键．
（1）由收费标准，根据题意列方程组求解即可；
（2）分用水量不大于14吨和大于14吨两种情形求解即可．
（3）代入时的函数解析式，即可求出水费．
【详解】（1）解：
由题意可得：
解得：
即每吨水的政府补贴优惠价为每吨2元，市场价为每吨3.5元．
（2）当时，；
当时，
（3）当时，，即小张家应交水费元．
11．（2024·河南商丘·二模）“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市书吧规定每次去书吧阅读的费用为元．现决定面向社会并提供优惠活动，活动方案如下．
方案一：办理会员卡（会员卡花费元），每次阅读的费用按六折优惠．
方案二：未办理会员卡，每次阅读的费用按九折优惠．
(1)分别写出这两种方案中阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式．
(2)这两种方案中阅读的费用与阅读的次数的关系图象如图所示，请求出点的坐标，并说明点所表示的实际意义．
(3)小东同学计划在暑假期间去书吧阅读次，通过计算说明他选择哪种方案花费更少．
【答案】(1)方案一：；方案二：
(2)，，点所表示的实际意义是当去书吧阅读的次数是时，两种方案总花费一样，均为元
(3)选择方案一花费更少
【分析】本题考查一次函数的应用，一次函数与二元一次方程组的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）按照题意分别列出关系式即可
（2）点在轴上，故将，代入解析式可得，即可求出点坐标，再联列两个关系式，即可形成二元一次方程组，解答即可求出的点坐标，结合题意说明点所表示的实际意义即可．
（3）将分别代入两个关系式，即可求出两个方案的花费，对比大小即可．
【详解】（1）方案一：办理会员卡的花费是元，之后每次阅读的费用打六折，
∴阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式为：．
方案二：每次阅读的费用打六折：
∴阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式为：．
（2）∵，当时，得，
∴点．
由，解得，
∴点．
点所表示的实际意义是当去书吧阅读的次数是时，两种方案总花费一样，均为元．
（3）选择方案一花费更少．
理由：当时，（元），
（元）．
∵，
∴小东同学选择方案一花费更少．
12．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）在2024年“6·18”来临之际，某商场计划采购甲、乙两种厨房小家电，已知购进6件甲种家电的费用与购进5件乙种家电的费用相同，购进1件甲种家电比购进1件乙种家电便宜100元．
(1)求这两种家电每件的进价分别是多少元．
(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？
(3)在（2）的条件下，若甲、乙两种家电分别在进价的基础上提价，销售，求这100件家电全部售完，商场能获得的最大利润是多少．
【答案】(1)甲种家电每件的进价为500元，乙种家电每件的进价为600元
(2)该商场至少购进甲种家电60件
(3)这100件家电全部售完，商场能获得的最大利润是5880元
【分析】此题考查了一元一次方程，一元一次不等式和一次函数的应用，解题的关键是掌握题目中的等量关系和不等关系．
（1）设甲种家电每件的进价为x元，则乙种家电每件的进价为元，根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）设购进甲种家电m件，则购进乙种家电件，根据题意列出一元一次不等式求解即可；
（3）设购进甲种家电m件，商场能获得的总利润为W元，根据题意表示出，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设甲种家电每件的进价为x元，则乙种家电每件的进价为元，
根据题意得：，
解得：
．
答：甲种家电每件的进价为500元，乙种家电每件的进价为600元．
（2）设购进甲种家电m件，则购进乙种家电件，
根据题意得：，解得：，
∴该商场至少购进甲种家电60件．
（3）设购进甲种家电m件，商场能获得的总利润为W元，则
．
随m的增大而减小．
，
∴当时，W取最大值，最大值为．
答：这100件家电全部售完，商场能获得的最大利润是5880元．
13．（2024·河南商丘·二模）高铁站候车厅的饮水机（图1）上有温水、开水两个按钮，示意图如图2所示．小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题：
(1)若小明先接温水，求需再接开水的时间．
(2)设接温水的时间为，水杯中水的温度为．
①求关于的函数表达式；
②求水杯中水的温度为饮水适宜温度时，至少需要接多少的温水?
【答案】(1)需再接开水的时间为
(2)①；②当水杯中水的温度为饮水适宜温度时，至少需要接温水
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）①由题意知温水体积为，开水体积为，根据等量关系列式，即可求解；②由题意知，求出，得出的最小值为20，再计算即可得出答案．
【详解】（1）解：设需再接开水的时间为．
根据题意，得，
解得．
答：需再接开水的时间为．
（2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为，
∴．
化简，得．
∴关于的函数表达式为．
②由题意，知，
∴，
解得．
∴的最小值为20．
．
∴当水杯中水的温度为饮水适宜温度时，至少需要接温水．
14．（2024·河南商丘·二模）某校准备利用劳动课开展植树活动，绿化校园.现需要一批铁锹和运土的藤筐，据市场调查，购买把铁锹和个藤筐需花费 元；购买把铁锹和个藤筐需花费 元
(1)求铁锹和藤筐的单价.
(2)学校准备购买铁锹和藤筐共件，根据挖土和运土学生的分配，购买铁锹的数量不能超过，而且要求购买铁锹的数量不少于藤筐数量的 则该学校有几种购买方案
【答案】(1)铁锹的单价为30元，藤筐的单价为20元．
(2)三种方案
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用；
（1）设铁锹的单价为 元，藤筐的单价为 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设购买铁锹把，则购买藤筐个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式求正整数解即可求解．
【详解】（1）解：设铁锹的单价为 元，藤筐的单价为 元．
根据题意，得
解得
答：铁锹的单价为元，藤筐的单价为 元．
（2）设购买铁锹把，则购买藤筐个．
根据题意，得 ，解得 ．
又，
．
为正整数，
可以取 ，，
∴该学校有3种购买方案
15．（2024·河南周口·二模）为了进一步深化基础教育综合改革，推进素质教育，郑州市教育局、市发改委、市公安局等11部门联合制定并发布《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》．为了有效落实该方案，某中学进行研学旅行活动，原计划租用可坐乘客45 人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
(1)求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
(2)若该校计划租用A，B两种客车共26辆，要求B种客车不超过4辆，且每人都有座位，求有哪几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆240元，B种客车租金为每辆320元，应该怎样租车才最合算？
【答案】(1)26辆，1200人
(2)有3种租车方案：方案1：租用2辆B种客车，24辆A 种客车；方案2：租用3辆B种客车，23辆A种客车；方案3：租用4辆B种客车，22辆A种客车
(3)租用2辆B种客车，24辆A种客车最合算
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用——方案选择问题．熟练掌握总人数与每种每辆车载人数和每种车辆数的关系列出一元一次方程与一元一次不等式组，总租金与每种每辆车租金和每种车辆数的关系计算、比较、选择方案，是解题的关键．
（1）设原计划租用A 种客车x辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）设租用B种客车y辆，则租用 A 种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）分别求得三种方案的费用，比较，即可求解．
【详解】（1）设原计划租用 A 种客车x辆，
则这次研学去了人．
根据题意，得，
解得，
∴（人）．
答：原计划租用 A 种客车26辆，这次研学去了1200人．
（2）设租用B种客车y辆，则租用 A 种客车辆．
根据题意，得，
解得，
∴，
又∵y为正整数，
∴y可以为2，3，4，
∴该学校共有3种租车方案．
方案1：租用2辆B种客车，24辆A 种客车；
方案2：租用3辆B种客车，23辆A种客车；
方案3：租用4辆B种客车，22辆A种客车．
（3）选择方案 1 的总租金为：（元）；
选择方案 2 的总租金为：（元）；
选择方案 3 的总租金为：（元）．
∵，
∴租用2辆B种客车，24辆A种客车最合算．
16．（2024·河南周口·二模）河南某农业公司为增强土地肥力，增加农作物产量，计划购进复合肥与有机肥若干．购买过程中发现，每复合肥比有机肥贵0.5元，用4000元购买的复合肥与用3000元购买的有机肥质量相同．
(1)求每千克有机肥与每千克复合肥的价格；
(2)该公司共有500亩土地，每亩需撒复合肥或有机肥，为方便操作，用无人机辅助播撒复合肥，人工播撒有机肥，现需要播撒复合肥的亩数不低于播撒有机肥的亩数的4倍，求多少亩播撒复合肥、多少亩播撒有机肥能使肥料成本最低．
【答案】(1)每千克有机肥的价格为元，每千克复合肥的价格为2元
(2)400亩播撒复合肥、100亩播撒有机肥能使肥料成本最低
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设每千克有机肥的价格为元，则每千克复合肥的价格为元，根据“用4000元购买的复合肥与用3000元购买的有机肥质量相同”列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）设亩播撒复合肥，则亩播撒有机肥，根据“现需要播撒复合肥的亩数不低于播撒有机肥的亩数的4倍”列出一元一次不等式，得出，设肥料成本为元，求出关于的关系式，再根据一次函数的性质求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设每千克有机肥的价格为元，则每千克复合肥的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是原分式方程的解，且符合题意．
（元）．
答：每千克有机肥的价格为元，每千克复合肥的价格为2元．
（2）解：设亩播撒复合肥，则亩播撒有机肥，
根据题意，得．
解得．
设肥料成本为元，
则．
∵，
∴随的增大而增大．
∵，取整数，
∴当取时，有最小值．（亩）．
答：400亩播撒复合肥、100亩播撒有机肥能使肥料成本最低．
17．（2024·河南漯河·二模）“河阴石榴砀山梨，荥阳柿子甜如蜜”，荥阳柿子不仅种植历史悠久，而且栽植广、品种多、产量高、品质佳．某柿农与快递公司合作寄送柿子到Z市．
素材1：
素材2：
请根据上述素材，回答下列问题．
(1)请求出m的值，并求出当柿子重量超过时单件寄送费y（元）与柿子重量之间的函数表达式．
(2)现将一批柿子寄往Z市，已知这批柿子的重量超过且小于，若这批柿子分两个件寄送（两个件均不超过）的费用比单件寄送的费用低，则这批柿子的重量应在什么范围内．
(3)柿农准备将一批重量为的柿子全部寄送到Z市，请直接写出最低寄送费用，并给出费用最低的一种寄送方案．
【答案】(1)，
(2)这批柿子的重量应大于且小于
(3)最低寄送费用为160元，方案见解析
【分析】本题主要考查一元一次方程、一次函数和一元一次不等式的应用：
（1）利用电子存单2的总费用和计量重量列出方程求出m，从而得解；
（2）设计方案求出总费用，比较大小即可；
（3）要尽可能的多寄送，则分两个件寄送，且每个件均不小于，从而得解．
【详解】（1）解：由电子存单2的信息，可得，
解得．
由题意，可得．
（2）解：设这批柿子的重量为．
单件寄送的费用为元，
分两个件寄送的费用为（元）．
由题意，得，
解得．
这批柿子的重量应大于且小于．
（3）解：最低寄送费用为160元．
寄送方案：分两个件寄送，且每个件均不小于．（如一个件，另一个件；或一个件，另一个件等，合理即可）
当柿子重量为时，寄送费用的单价最低，为5.6元，因此按此单价寄送的数量越多，总费用越低．
故若寄送，应分两个件寄送，且每个件均不小于，
最低费用为（元）．
18．（2024·河南南阳·二模）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多，某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A 和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如表：
(1)4月份该“4S”店共花费620万元购进A，B 两种车型，且全部售出共获得新能源积分180分，求4月份购进A，B 型号的车分别有多少辆？
(2)因汽车供不应求，该“4S”店5月份决定购进A，B 两种车型共60辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于300分，已知新能源积分每分可获得0.2万元的补贴，那么5月份如何进货才能使“4S”店获得的补贴最大？并求出最大值．
【答案】(1)购进A、B型号的车分别为25辆和10辆；
(2)购进A型车30辆，B型车30辆时才能使“”店获得的补贴最大，最大为60万元．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系和不等关系列出方程或不等式．
（1）设购进A、B型号的车分别为x，y辆，根据A，B两种车型共花费620万元，全部售出共获得新能源积分180分，列出方程组，解方程组即可；
（2）设4月购进A型车m辆，则购进B型车辆，根据车辆全部售出后获得新能源积分不高于300分列出不等式，求出，设5月份“”店获得的补贴为w万元，列出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性，求出结果即可．
【详解】（1）解：设购进A、B型号的车分别为x，y辆，
依题意得：，
解得：．
答：购进A、B型号的车分别为25辆和10辆；
（2）解：设5月购进A型车m辆，则购进B型车辆，
依题意得：，
解得：．
设5月份“”店获得的补贴为w万元，
由题意得，，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w最大，最大值为，
∴，
∴购进A型车30辆，B型车30辆时才能使“”店获得的补贴最大，最大为60万元．
19．（2024·河南郑州·二模）近年来，西峡县把猕猴桃作为支撑农业农村发展、助力脱贫攻坚的支柱产业，着力打造“中国金果猕猴桃之都”．某水果店积极响应政府号召，线上线下销售“中国人的阳光金果”——猕猴桃．已知在抖音平台上销售5箱和线下门店销售10箱猕猴桃共得1600元；在抖音平台上销售10箱和线下门店销售8箱猕猴桃共得2000 元．
(1)求该水果店在抖音平台上和在线下门店销售一箱猕猴桃的单价分别为多少元？
(2)该水果店在抖音平台和线下门店共销售猕猴桃2000箱，设在抖音平台上销售a箱，销售这2000箱猕猴桃获得的总销售额为w元．
①写出w关于a的函数关系式；
②若总销售额不低于216000元，在抖音平台上至少应销售多少箱？
【答案】(1)在抖音平台和线下门店销售猕猴桃的单价分别为120元和100元；
(2)①w关于a的函数关系式为；②在抖音平台上至少应销售800箱．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一次函数的实际运用．熟练掌握销售额与销售单价和销售量的关系列二元一次方程组，列一次函数关系式，列不等式，是解决问题的关键．
（1）设平台和线下门店销售猕猴桃的单价分别为m元和n元，由平台上销售5箱和线下门店销售10箱猕猴桃共得1600元；平台上销售10箱和线下门店销售8箱猕猴桃共得2000 元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）①由销售额与销售单价和销售量的关系，总销售额等于线上零售额与线下批发额的和，即可求出解析式；②由①总销售额不低于216000元列不等式，解不等式即可．
【详解】（1）设抖音平台和线下门店销售猕猴桃的单价分别为m元和n元，
依题意得 ，，
解得， ，
∴在抖音平台和线下门店销售猕猴桃的单价分别为120元和100元．
（2）①w关于a的函数关系式为，
．
②依题意得，
，
解得，．
∴在抖音平台上至少应销售800箱．
20．（2024·河南安阳·二模）河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元．
(1)求每个太阳帽、旅行包的进价；
(2)该景区太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元．景区计划购进太阳帽和旅行包共700个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)太阳帽进价4元/个，旅行包进价15元/个
(2)购进旅行包280个，购进太阳帽420个，可使销售所获利润最大，最大利润为2240元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：
（1）设太阳帽进价x元/个，旅行包进价y元/个，根据“购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元”列方程组求解即可；
（2）设购进太阳帽m个，旅行包个，设销售完后获得的利润为w元，根据“总利润=太阳帽的利润+旅行包的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设太阳帽进价x元/个，旅行包进价y元/个，
根据题意，得，
解得，
答：太阳帽进价4元/个，旅行包进价15元/个；
（2）解：设购进太阳帽m个，旅行包个，获得的利润为w元，
根据题意，得，
解得，
∵
，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w有最大值，最大值为，此时，
∴购进旅行包280个，购进太阳帽420个，可使销售所获利润最大，最大利润为2240元．
21．（2022·河南信阳·一模）为美化校园，某校需补栽甲、乙两种花苗．经咨询，这两种花苗的价格都有零售价和批发价之分（若按批发价购买，则每种花苗购买数量不少于100株），零售时每株甲种花苗比每株乙种花苗多5元．已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，所用费用分别是100元、50元．
(1)求甲、乙两种花苗的零售价；
(2)该校预计批发这两种花苗共1000株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，甲、乙两种花苗的批发价分别为8元/株、2元/株．设甲种花苗的批发数量为m株，相比按零售价购买可节约的资金总额为W元，求W与m之间的函数关系式，并求节约资金总额的最大值．
【答案】(1)甲、乙两种花苗的零售价分别为10元/株、5元/株
(2)与之间的函数关系式为，节约资金总额的最大值是2750元
【分析】（1）设乙种花苗的零售价为x元/株，则甲种花苗的零售价为（x＋5）元/株，根据数量＝总价÷单价，结合该单位以零售价分别用100元和50元采购了相同株数的甲、乙两种花苗，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买甲种花苗m株，则购买乙种花苗（1000−m）株，根据购进甲种花苗的株数不少于乙种花苗株数的，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设所需资金总额为元，根据所需资金总额＝甲种花苗的批发价×购进数量＋乙种花苗的批发价×购进数量，即可得出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）设乙种花苗的零售价为元/株，则甲种花苗的零售价为元/株．
由题意，可得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲、乙两种花苗的零售价分别为10元/株、5元/株．
（2）由题意，可得．
∵甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，
∴，
解得，
故当时，取得最大值，为2750．
答：与之间的函数关系式为，节约资金总额的最大值是2750元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于m的函数关系式．
22．（2024·河南濮阳·二模）孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售，若按康乃馨和百合花各5束搭配需成本1200元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本880元．
(1)求一束康乃馨和一束百合花的成本价各多少元；
(2)若花店共进康乃馨，百合花两款花束共100束，其中一束康乃馨售价为120元，一束百合花售价为220元，设销售康乃馨x束，获得总利润为w元．
①求w关于x的函数关系式；
②要使销售花束的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该花店设计一个配货方案，并求出其所获利润的最大值．
【答案】(1)一束康乃馨成本为80元，一束百合花成本为160元
(2)①；②该花店应该购进康乃馨75束，百合花25束，可以使利润最大，最大值为4500元
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，读懂题意列出方程或函数解析式是解题的关键．
（1）利用二元一次方程组解题即可；
（2）①根据总利润为康乃馨，百合花花束利润的总和列函数关系式；
②根据实际情况求出自变量的取值范围，然后利用一次函数的增减性解题即可．
【详解】（1）设一束康乃馨成本为x元，一束百合花成本为y元，
由题意可得： ，
解得：，
答：一束康乃馨成本为80元，一束百合花成本为160元．
（2）①
②由题意得
即
解得
随x的增大而减小
即当时，w取得最大值，最大值为
该花店应该购进康乃馨75束，百合花25束，可以使利润最大，最大值为4500元．
23．（2024·河南南阳·二模）甲、乙两个绿化队共同承担两个荒地的绿化任务，在工期内，甲、乙两个绿化队分别可以绿化30万平方米和70万平方米，两个荒地需要绿化的面积分别为60万平方米与40万平方米，且两个绿化队在两个荒地完成1万平方米的绿化任务的成本如下：设甲绿化队在荒地绿化 万平方米 完成这两个荒地共需总成本万元．
(1)求与的函数关系式；
(2)是否能等于 6500万元，请说明理由；
(3)若在施工过程中，甲绿化队在 荒地绿化1万平方米的成本减小元，但仍高于甲绿化队在荒地绿化1万平方米成本，求如何分配绿化任务，使总成本最小．
【答案】(1)
(2)不能等于6500万元， 理由见解析
(3)分配方案见解析
【分析】本题考查一次函数解实际应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、解一元一次方程、一次函数增减性求最值等知识，读懂题意，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）设甲绿化队在 荒地绿化万平方米，则甲绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在 荒地绿化万平方米，根据题意，求出表达式即可得到答案；
（2）假设，代入函数关系式，解方程得到，由即可判断；
（3）由题意，可得总成本与 荒地绿化面积的函数关系，讨论一次项系数的正负，利用一次函数增减性分析求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲绿化队在 荒地绿化万平方米，则甲绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在 荒地绿化万平方米，
由题意得，
∴与的函数关系式为∶；
（2）解：不能等于6500万元，
理由如下∶
当时，， 解得，
∵，
∴不符合题意，
∴不能等于6500万元；
（3）解：由题意得，
∵，解得，
∴，
①当时，则，
∴随的增大而增大，
∴时，有最小值，
此时，甲绿化队在 荒地绿化10万平方米，则甲绿化队在荒地绿化20万平方米，乙绿化队在荒地绿化50万平方米，乙绿化队在 荒地绿化20万平方米；
②当时，则，
∴随的增大而减小，
∴时，有最小值，
此时，甲绿化队在 荒地绿化20万平方米，则甲绿化队在荒地绿化10万平方米，乙绿化队在荒地绿化40万平方米，乙绿化队在 荒地绿化30万平方米；
③当时，总成本与分配绿化任务无关，均是6200万元．
24．（2024·河南驻马店·二模）宁陵酥梨产自河南省宁陵，最大可达千克以上．成熟后的酥梨酥脆多汁、香甜味美、金黄发亮，是畅销海内外的佳品珍果．某水果商购进酥梨产品进行销售，酥梨鲜果以元/千克的成本价购进，并以元/千克的价格出售．梨膏以元/千克的成本价购进，并以元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题：
(1)该商店购进酥梨鲜果和梨膏共千克，花费元，则购进酥梨鲜果和梨膏各多少千克？
(2)该水果商店两天售完所有酥梨鲜果和梨膏后，决定再购进共千克的酥梨鲜果和梨膏（所购进梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍），则当该水果商店购进多少千克酥梨鲜果时，才能使利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)购进酥梨鲜果千克，梨膏千克；
(2)当该水果商店购进千克酥梨鲜果时，利润最大，最大利润是元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和函数解析式是解题的关键．
（1）设购进酥梨鲜果千克，梨膏千克，根据“购进酥梨鲜果和梨膏共千克，花费元”列出方程组求解即可；
（2）设购进千克酥梨鲜果，则购进梨膏千克，根据“梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍”列出不等式求出的取值范围，再根据“利润酥梨鲜果的利润梨膏的利润”列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）设购进酥梨鲜果千克，梨膏千克．
根据题意，得：
解得：
答：购进酥梨鲜果千克，梨膏千克．
（2）设购进千克酥梨鲜果，则购进梨膏千克，全部售出后获得的利润为元．
购进梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍，
解得：
根据题意，得：
即：
随的增大而减小．
当取最小值时，取得最大值，最大值为：（元）
答：当该水果商店购进千克酥梨鲜果时，利润最大，最大利润是元．
25．（2024·河南焦作·二模）为了有效落实河南省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生．
(1)参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？
(2)现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．甲、乙两种型号的客车各租几辆，学校租车总费用最少？并求出最少的费用．
【答案】(1)参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名
(2)租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设参加此次研学活动的老师有x位，则参加此次研学活动的学生有y名，根据每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生列出方程组求解即可；
（2）设租用m辆甲型客车，则租用辆乙型客车，设租车的总费用为 W元，根据载客量之和要大于等于总人数列出不等式求出m的值，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有x位，则参加此次研学活动的学生有y名，
根据题得： ，
解得，
答：参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名；
（2）解：设租用m辆甲型客车，则租用辆乙型客车，设租车的总费用为 W元
根据题意得：，
∴，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当时， ，
∴租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元．
26．（2024·河南开封·二模）河南省鄢陵县特产——鄢陵蜡梅是中国国家地理标志产品，某中学为了加强劳动教育，计划组织学生去某教育基地体验鄢陵蜡梅种植，为了方便开展活动，需要采购一批鄢陵蜡梅树苗，现有两个采购地可供选择，具体信息如下：
信息一：
信息二：用540元在市场上购买A种树苗的棵数恰好与用400元在园艺基地购买A种树苗的棵数相同．
(1)请分别求出园艺基地、市场上A种树苗的单价．
(2)学校决定在园艺基地购买A，B两种树苗共300棵，且A种树苗的棵数不超过B种树苗的棵数的，园艺基地为了支持该学校的活动，对A，B两种树苗均降价销售，已知两种树苗每棵均降价4元，则学校最少花费多少元？
【答案】(1)40元；54元
(2)12600元
【分析】（1）根据题意，园艺基地的单价为a元，市场的单价为元，根据题意，得，解方程即可．
（2）设购进A种树苗m棵，则B种树苗为棵，总花费为w元，根据题意，得，结合，建立不等式计算即可．
本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，园艺基地的单价为a元，市场的单价为元，根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：园艺基地、市场上A种树苗的单价分别为40元，54元．
（2）设购进A种树苗m棵，则B种树苗为棵，总花费为w元，根据题意，得，
∵，
解得，
根据，得y随x的增大而减小，
故时，费用最低，最低为（元）．
此时，
答：购进A种树苗120棵，B种树苗为180棵，花费最少为12600元.
27．（2024·河南开封·二模）习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元．
(1)求甲、乙两种书的单价．
(2)如果学校决定再次购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】(1)甲、乙两种书的单价分别为元、元
(2)该校最多购买本甲种书
【分析】本题主要考查了分式方程及不等式的应用，读懂题意，正确找出相等关系和不等关系是解题的关键．
设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，根据购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元求解即可；
设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本，根据购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，由题意得
，
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合实际．
∴
答：甲、乙两种书的单价分别为元、元．
（2）解：设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本，
则，
解得∶
∴该校最多购买本甲种书．
28．（2024·河南信阳·二模）“靠山吃山，靠水吃水”．紧邻云台山的大学生王林暑期借文旅热潮的东风，在景区附近售卖纪念品，购买了A，B两种纪念品共140件，每件纪念品的批发价和零售价如下表所示：
(1)若王林恰好用完预计的进货款1280元，则应购进A，B两种纪念品各多少件?
(2)若A纪念品的进货量不超过B纪念品的倍，应怎样进货才能获得最大利润?利润最多为多少元?
【答案】(1)王林购进A纪念品80件，B纪念品60件．
(2)购进A纪念品100件，B纪念品40件获得最大利润；利润最多为1980元
【分析】本题考查了一元一次方程和一次函数的应用，
（1）设王林购进A纪念品x件，则购进B纪念品件，根据该校购进购进A，B两种纪念品140件且共花费1280元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设王林购进A纪念品a件，B纪念品件，获得利润y元，根据A纪念品的进货量不超过B纪念品的倍，求出，再根据利润=售价-进价，得出利润y关于a的一次函数，由函数的增减性求出利润的最大值．
【详解】（1）解：设王林购进A纪念品x件，则购进B纪念品件．
根据题意，得，
解得．
．
答：王林购进A纪念品80件，B纪念品60件．（4分）
（2）解：设王林购进A纪念品a件，B纪念品件，获得利润y元
根据题意，得，
解得．
又．
∵y是关于a的一次函数，，
∴y随a的增大而增大．
当a取最大值100时，y有最大值，
此时，（件）．
（元）．
答：购进A纪念品100件，B纪念品40件获得最大利润，利润最多为1980元．
29．（2024·河南洛阳·二模）洛邑古城，被誉为“中原渡口”，截止目前景区总接待游客量突破2600万人次，日接待游客量最高突破10万人次．是集游、玩、吃、住、购于一体的综合性人文旅游观光区，近期被大数据评为“第一热门汉服打卡地”．洛邑古城内某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．若该商铺采购9件A种和6件B种共需330元；若采购5件A种和3件B种共需175元．两种饰品的售价均为每件30元；
(1)求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
(2)该商铺计划采购这两种饰品共400件进行销售，其中A种饰品的数量不少于150件，且不大于300件．实际销售时，若A种饰品的数量超过250件时，则超出部分每件降价3元销售．
①求该商铺售完这两种饰品获得的利润y(元)与购进A种饰品的数量x(件)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】(1)A 饰品的进价为20元/件，B饰品的进价为25元/件
(2)①；②购进A饰品的数量300件，购进B饰品的数量100件时，获利最大，最大利润为3350元
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，分段函数等知识，审清题意找出等量关系并正确列式和方程是解题的关键．
（1）设A 饰品每件的进价为a元，B饰品每件的进价为b元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）①由购进A饰品的数量为x件，得购进B饰品的数量为件，再分当时和当时两种情况，根据总利润的计算公式求出总利润即可；
②根据两种情况下的解析式分别求出最大值，再比较即可．
【详解】（1）解：设A 饰品每件的进价为a元，B饰品每件的进价为b元，
由题意列方程组为： ，
解得
答：A 饰品的进价为20元/件，B饰品的进价为25元/件；
（2）①购进A饰品的数量为x件，则购进B饰品的数量为件，
∴当时，；
当时，，
综上所述：这两种饰品获得的利润y(元)与购进A种饰品的数量x(件)之间的函数关系式是；
②当时，
∴当时，y取最大值，此时(元)．
当时， ，
当时y取最大值，此时，
∵，
∴当，即购进A饰品的数量为件，则购进B饰品的数量为件时，y取最大值元．
30．（2024·河南平顶山·二模）在“五一”假期期间，为了回馈新老客户，某服装批发市场开展让利活动，规定购买服装总费用不超过300元按原价销售；若购买服装总费用超过300元，则超过部分的费用打八折．某服装店在让利活动前，购买了A，B两种型号的服装，若按让利活动价计算则可省150元．
(1)问服装店在让利活动前购买这批服装花费多少元？
(2)服装店在让利活动前购买的A，B两种型号服装中，A型号服装的数量为7件．
两种服装的市场批发价和服装店售价如下表：
①请计算服装店销售完这两种型号服装获得的总利润．
②由于季节的变换，A型号服装很快销售一空．在让利活动期间，服装店又购进件A型号服装．设售完两次购进的所有服装，获得的总利润为元．求出与的函数关系式，当两次销售的总利润不少于600元时，第二次购进A型号服装最少多少件？
【答案】(1)1050元
(2)①305元；②与的函数关系式：，第二次购进A型服装的数量最少为15件
【分析】本题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程及总利润关系式．
（1）根据题中关系列出一元一次方程即可；
（2）①结合（1）中结论及表格数据即可求出总利润；②列出总利润关系式，再根据两次销售的总利润不少于600元，列出不等式即可求解．
【详解】（1）解：设服装店在让利活动前购买这批服装花费元，由题意得
，
解得：．
答：服装店在让利活动前购买这批服装花费1050元；
（2）①A型号服装的费用：（元），
购买B型号服装的费用：（元），
故购买B型号服装的数量：（件），
该服装店获得的总利润为：
（元），
答：服装店获得的总利润为305元；
②由题意可得，
化简得，
解不等式，得，
因为为正整数，所以的最小值为15．
答：当两次销售利润不少于600元时，第二次购进A型服装的数量最少为15件．
31．（2024·河南周口·二模）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知购买1个足球比购买1个篮球多花20元，花费1600元所能购买足球的数量与花费1200元所能购买的篮球的数量相同．
(1)求足球和篮球的单价分别是多少元？
(2)学校准备购买这两种球共50个，要求篮球数量不超过足球数量的2倍，请设计最省钱的购买方案；
(3)在（2）设计的方案下，学校购买时正好赶上商场店庆，商品进行打折销售，学校共付了2656元，如果两种球折扣相同，求店庆期间商场的折扣．
【答案】(1)足球80元，篮球60元；
(2)足球17个，篮球33个；
(3)8折．
【分析】此题考查分式方程、一次函数和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数是解题的关键．
（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据花费1600元所能购买足球的数量与花费1200元所能购买的篮球的数量相同列出方程，解方程检验后即可得到答案；
（2）设购买m个篮球，则购买个足球，先根据篮球数量不超过足球数量的2倍列不等式求出m的取值范围，再购买这两种球共50个的费用为w元，得到w关于m的一次函数，根据一次函数的增减性，求出方案即可；
（3）设店庆期间折扣为n折，根据学校共付了2656元列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，
则，
解得
经检验，是分式方程的解且符合题意，
答：足球的单价为80元，则篮球的单价为60元
（2）设购买m个篮球，则购买个足球，
则，
解得
∴，且m为正整数，
设购买这两种球共50个的费用为w元，则
，
∵
∴随着m的增大而减小，
∴当，时，取最小值，
即购买足球17个，篮球33个最省钱；
（3）设店庆期间折扣为n折，
由题意可得，，
解得，
即店庆期间商场的折扣为8折．
32．（2024·河南·二模）为了解决初中生画图难、画图不准的问题，数学杨老师设计了初中专用套尺，并申请了国家专利，打印出来后，发现非常实战好用．为让厂大初中生受益，杨老师决定借贷万元投入生产，咨询了甲、乙两家工厂．甲工厂方案：制作模具需万元，另加收每套尺子的费用元；乙工厂方案：每套尺子的生产费用元，不收其他费用．杨老师分别计算后发现，这两个厂刚好都是用万元，且生产出来的尺子套数相同．
(1)求；
(2)如果杨老师采用了甲厂的方案，问共生产了多少套尺子？
(3)杨老师按元/套的价格售卖，去年因不会销售，仅售出千套，则今年至少卖出多少套才能开始盈利．
【答案】(1)的值为
(2)共生产了万套尺子
(3)今年至少卖出万套才能开始盈利
【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用以及求代数式的值，找出等量关系及不等关系列方程和不等式是解题的关键．
（）根据两个厂刚好都是用万元，且生产出来的尺子套数相同列分式方程求解即可；
（）把，代入即可得解；
（）设今年卖出万套，根据两年的销售额之和不小于万元列不等式得求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，列方程得：
，
解得，
经检验是原分式方程的解，
答：的值为；
（2）解：由（）知，代入中，得（万套），
答：共生产了万套尺子；
（3）解：设今年卖出万套，根据题意列不等式得：
，
解得：，
答：今年至少卖出万套才能开始盈利．
33．（2024·河南周口·一模）为展青年华彩，丰富校园生活，激发学生英语学习兴趣，某校举办“趣味横声 英你精彩”英文合唱比赛．王老师负责本次英文合成比赛的奖品采购，经过调查，选择A奖品为一等奖，B奖品为二等奖，已知购买每件A奖品比每件B奖品贵20元，购买3个A奖品和5个B奖品的价钱相同．
(1)求A、B两种奖品的单价；
(2)本次英文合唱比赛共需购进A、B两种奖品100个，且一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，实际购买时A种奖品可打7折，请你帮王老师设计花费最小的购买方案，并求出最小花费．
【答案】(1)A、B两种奖品的单价分别为50元，30元
(2)当购买A种奖品34个，B种奖品66个时，花费最小，最小为3170元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设A种奖品的单价为x元，则B种奖品的单价为元，根据购买3个A奖品和5个B奖品的价钱相同列出方程求解即可；
（2）设购买A种奖品m个，总费用为w，则购买B种奖品个，先求出，再由一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，求出，据此利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A种奖品的单价为x元，则B种奖品的单价为元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：A、B两种奖品的单价分别为50元，30元；
（2）解：设购买A种奖品m个，总费用为w，则购买B种奖品个，
∴，
∵一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，
∴，
∴，
∵，，
∴w随m增大而增大，
又∵m为正整数，
∴当时，w最小，最小值为，此时，
∴当购买A种奖品34个，B种奖品66个时，花费最小，最小为3170元．
34．（23-24九年级下·河南郑州·期中）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植甲、乙两种树苗．已知甲种树苗的单价比乙种树苗的单价多10元；3棵甲种树苗与4棵乙种树苗的总价相等．
(1)求甲、乙两种树苗的单价分别为多少元？
(2)若购买甲、乙两种树苗共500棵，且甲种树苗的数量不少于乙种树苗的两倍．请为采购组设计最省钱的方案，并求出此时的总费用？
【答案】(1)甲、乙两种树苗的单价分别为40元，30元
(2)最省钱的方案为购买甲种树苗334棵，则购买乙种树苗166棵，此时的总费用为18340元
【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，根据题意列出方程组，求解即可；
（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为w元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两种树苗的单价分别为x元，y元．
由题意得：
解得：
答：甲、乙两种树苗的单价分别为40元，30元．
（2）解：设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗棵，总费用为w元
由题意得：
解得：
，
w随m的增大而增大，
又，且m为整数，
当时，w取得最小值，最小值为．
答：最省钱的方案为购买甲种树苗334棵，则购买乙种树苗166棵，此时的总费用为18340元．
35．（2024·河南周口·二模）“菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C．某水果商城购进了一批质量相等的“果冻橙”和“脐橙”，其中购买“果冻橙”用了6300元，“脐橙”用了4200元，已知每千克“果冻橙”进价比每千克“脐橙”贵4元.
(1)问每千克“果冻橙”和“脐橙”进价各是多少元？
(2)若该水果商城决定再次购买同种“果冻橙”和“脐橙”共600千克，再次购买的费用不超过6000元，且每种橙子进价保持不变.若每千克“果冻橙”的售价为18元，每千克“脐橙”的售价为12元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每千克“果冻橙”进价为12元，每千克“脐橙”进价为8元
(2)该水果商城购买300千克“果冻橙”，300千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是3000元
【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．
（1）设每千克“脐橙”进价为x元，则每千克“果冻橙”进价为元，根据题意列方程求解即可；
（2）设再购买a千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”，根据题意求出a的取值范围；设总利润为w元，并求出w与a的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）设每千克“脐橙”进价为x元，则每千克“果冻橙”进价为元.
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，，
答：每千克“果冻橙”进价为12元，每千克“脐橙”进价为8元．
（2）设再购买a千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”，
根据题意，得，
解得，
每千克“果冻橙”的利润为（元），
每千克“脐橙”的利润为（元），
设总利润为w元，根据题意，得
，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w有最大值，，此时，．
答：该水果商城购买300千克“果冻橙”，300千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是3000元．
36．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）至2024年底、南阳市中心城区将建成“诸葛书屋”50个以上，某“诸葛书屋”新进科普和文字两类图书（同一类的图书每本价格相同），已知每本科普类图书的进价是文学类图书进价的1.2倍，购进的文学类图书比科普类图书多100本，每类图书的总花费为12000元．
(1)求每本文学类图书与科普类图书的进价分别为多少元？
(2)若第二批计划购进同种文学类和科普类图书共350本，且科普类图书的数量不低于文学类图书数量的2倍，恰逢4月23日世界读书日来临，供货商决定对文学类图书打八折销售，科普类图书降价销售，则书屋如何购买才能使购进第二批图书时总花费最少？
【答案】(1)每本文学类图书进价20元，每本科普类图书的进价为24元；
(2)当购进文学类图书116本，科普类图书234本时，能使购进第二批图时总花费最少．
【分析】（1）设每本文学类图书进价是x元，则每本科普类图书的进价为元，根据题意即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设第二批购进文学类图书m本，则购进科普类图书本，总花费为w元，求出，根据题意，然后根据范围即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，解题的关键读懂题意列出方程和函数关系式．
【详解】（1）设每本文学类图书进价x元，则每本科普类图书的进价为元；
解得：
经检验：是原分式方程的解，且符合题意；
答：每本文学类图书进价20元，每本科普类图书的进价为24元；
（2）设第二批购进文学类图书m本，则购进科普类图书本，总花费为w元；
．
由题意：，
，
w随m的增大而减小；
∵m取整数，
当时，总花费最少；
此时，
当购进文学类图书116本，科普类图书234本时，能使购进第二批图时总花费最少．
37．（2024·河南商丘·三模）2024 年郑州市中招体育考试抽号流程为：第一次抽号确定素质类项目（从1 分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远四项素质类项目中抽考1 项）；第二次抽号确定运动健康技能类统考项目（从篮球运球投篮、足球运球射门、排球垫球三项运动健康技能类中抽考1项）．某班为了备战中考体育，统一采购了一批跳绳和足球，已知跳绳与足球的总数量为50个（每种都购买），下面是经过调查，甲、乙两个商店的跳绳和足球售价信息及优惠方案：
(1)在调查过程中，由于粗心，将足球与跳绳的单价遗失了，只知道甲、乙两个商店的足球和跳绳的单价相同，如果按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球，求跳绳与足球的单价；
(2)已知跳绳的数量不超过足球数量的一半，若跳绳与足球只能在同一家店购买，则在哪家店购买，该班所需总费用最低？求出这个最低总费用．
【答案】(1)跳绳的单价为元根，足球的单价为元个
(2)在甲家店购买，该班所需总费用最低，这个最低总费用为元
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，解题的关键是：（）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（）由总价单价数量，找出关于的函数关系式．
（1）设跳绳的单价为元个，足球的单价为元条，根据“按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买跳绳条，则购买足球（）个，根据总价单价数量，可得出关于的函数关系式，由跳绳的数量不超过足球数量的一半，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再利用一次函数的性质求出最值比较即可解决问题．
【详解】（1）解：设跳绳的单价为元根，足球的单价为元个，依题意，得：
，
解得：．
答：跳绳的单价为元根，足球的单价为元个．
（2）设购买跳绳条，则购买足球（）个，
∵跳绳的数量不超过足球数量的一半，
∴
∴
设总费用为元，依题意，得：．
，
∵
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，为（元），
，
∵
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，为（元）
∵，
∴在甲家店购买，该班所需总费用最低，这个最低总费用为元．
38．（2024·河南郑州·三模）第届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息：
根据以上信息：
(1)求每个大盘与每个小盘的批发价；
(2)若该商店购进小盘的数量是大盘数量的倍还多个，并且大盘和小盘的总数不超过个，该商店计划将一半的大盘成套销售，每套元，其余按每个大盘元，每个小盘元零售．设该商店购进大盘个．请帮助他设计一种获取销售额最大的方案并求出最大销售额．
【答案】(1)每个大盘的批发价是元，每个小盘的批发价是元；
(2)购进大盘个，购进小盘个，最大销售额为元．
【分析】（）根据题意列出一元一次方程，解方程即可；
（）设该商户购进大盘个，则该商户购进小盘的数量是个，销售额为元，根据题意列出函数关系式，结合题中所给信息列出一元一次不等式设计方案即可；
本题考查了一元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，根据不等式设计方案，找准题中的等量关系列出函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）设每个小盘的批发价是元，则每个大盘的批发价是元，
根据题意得：，
解得：，
，
答：每个大盘的批发价是元，每个小盘的批发价是元；
（2）设该商户购进大盘个，则该商户购进小盘的数量是个，销售额为元，
，
即该商户计划获取的销售额为元；
∵，
解得，，
∵为整数，
∴且为整数，
∵，
∴当时，取得最大值，此时，，
答：购进大盘个，购进小盘个，最大销售额为元．
39．（2024·河南·三模）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件．如果该经销商将购进的农产品按照4种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【答案】(1)A每件进价120元，B每件进价150元
(2)A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．
（1）设A每件进价x元，B每件进价y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程，解方程即可求解．
（2）设A农产品进a件，B农产品件，由题意列出关于a的一元一次不等式求出a的取值范围，再设利润为y元，则，利用一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设A每件进价x元，B每件进价y元，
由题意得，
解得：，
答：A每件进价120元，B每件进价150元
（2）设A农产品进a件，B农产品件，由题意得，
解得，
设利润为y元，则
，
∵y随a的增大而减小，
∴当时，y最大，最大值，
答：A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元
40．（2022·河南濮阳·三模）某学校计划一次性购买A，B两种类型的书架，用于建设班级读书角，方便学生利用课余时间阅览图书．已知购买3个A型书架和4个B型书架共需640元，购买5个A型书架和2个B型书架共需670元．
(1)求购买一个A型书架和一个B型书架各需多少元．
(2)该学校打算购买A，B型书架共52个，且购买的总费用不超过4700元．若A型书架的最大放书量为80册，B型书架的最大放书量为65册，请设计出放书总量最大的购买方案，并说明理由．
【答案】(1)购买一个A型书架需要100元，购买一个B型书架需要85元
(2)放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架，理由见解析
【分析】（1）设购买一个A型书架需要x元，购买一个B型书架需要y元，根据题意建立二元一次方程组即可求解；
（2）设购买m个A型书架，则购买个B型书架，建立不等式可求的取值范围．
设购买两种书架的放书总量为w册，建立与的函数关系式，即可利用函数的性质求解．
【详解】（1）解：设购买一个A型书架需要x元，购买一个B型书架需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一个A型书架需要100元，购买一个B型书架需要85元；
（2）解：放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架，理由如下：
设购买m个A型书架，则购买个B型书架，
根据题意得：，
解得： ．
设购买两种书架的放书总量为w册，则．
∵，
∴w随m的增大而增大，
又∵ ，且m为整数，
∴当时，w取得最大值，此时，
∴放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数在实际问题中的应．正确理解题意是解题关键．
41．（2024·河南驻马店·三模）河南省为加快高速公路建设，需要有甲、乙两个工程队共同完成某段高速公路的修建．已知甲工程队单独完成此项工程比乙队单独完成此项工程多用15天，且甲队60天的工作量和乙队40天的工作量相同．
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若施工方案是甲队先单独施工x天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成，已知甲队的施工费用为每天3.5万元，乙队的施工费用为每天6.5万元，求施工总费用y（万元）关于x 的函数解析式．
(3)在（2）的条件下，若要求在27天内完成该项工程，如何制定施工方案可使总费用最少，最少费用为多少万元？
【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要45 天，乙队单独完成此项工程需要30天
(2)
(3)甲队先施工15 天后，甲、乙两队再共同施工12天，总费用最少，最少费用为 172.5 万元
【分析】此题主要考查分式方程的应用和解法，一次函数的性质等知识，正确的列出分式方程、求出费用与时间之间的函数关系式是解决问题的关键．
（1）设乙队单独完成此项工程需a天，则甲队单独完成此项工程需要天，根据甲队60天的工作量和乙队40天的工作量相同，列出方程即可求解；
（2）设甲、乙两队合作完成剩下的工程需要p天，根据题意得到p与x的关系，根据题意即可写出y与x的关系式；
（3）根据施工期定为天内完成得到x的取值范围，再根据一次函数的性质求出y的最小值．
【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需a天，则甲队单独完成此项工程需要天，根据题意得
解得，
经检验，是原分式方程的根
答：甲队单独完成此项工程需要45 天，乙队单独完成此项工程需要30天；
（2）解：设甲、乙两队合作完成剩下的工程需要p天，则


；
（3）解：由题意得
解得
且，
∴ y随 x 的增大而减小，
∴当时，y 最小，最小值为172.5，
则（天），
答：甲队先施工15 天后，甲、乙两队再共同施工12天，总费用最少，最少费用为 172.5 万元．
42．（2024·河南平顶山·三模）“六一”节将至，某校为营造一个优美的花园式学校，后勤处计划购买甲、乙两种花卉．已知购买盆甲花和盆乙花需要花费元，购买盆甲花和盆乙花需要花费元．
(1)求甲、乙两种花每盆分别为多少元？
(2)若购买甲、乙两种花共盆，且要求乙花的盆数不少于甲花盆数的倍，设购买甲花盆，总费用为元，请设计出购买这盆花费用最少的购买方案．
(3)根据经验可知甲、乙两种花的成活率分别为，，而后勤处要求总成活率不小于，在（2）的条件下，要想花费最少，花的成活率能不能满足后勤处的要求？
【答案】(1)甲种花每盆为元，乙种花每盆为元
(2)购买盆甲花、盆乙花时，费用最少
(3)花的成活率能满足后勤处的要求
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、用一元一次不等式解决实际问题、有理数四则混合运算的实际应用，理解题意、正确列出二元一次方程组和一次函数关系式是解题的关键．
（1）设甲种花每盆为元，乙种花每盆为元，根据“购买盆甲花和盆乙花需要花费元，购买盆甲花和盆乙花需要花费元”，列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据“甲、乙两种花共盆，且要求乙花的盆数不少于甲花盆数的倍”，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，设计费用最少的购买方案即可；
（3）根据（2）所求费用最少的购买方案，“甲、乙两种花的成活率分别为，”，计算花的总成活率，和比较大小得出答案即可．
【详解】（1）解：设甲种花每盆为元，乙种花每盆为元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种花每盆为元，乙种花每盆为元；
（2）解：由题意得：，
解得：，
，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，（盆），
∴购买盆甲花、盆乙花时，费用最少；
（3）解：∵由题意得：，
∴花的成活率能满足后勤处的要求，
答：花的成活率能满足后勤处的要求．
43．（2024·河南许昌·一模）近日，许昌以其厚重的文化底蕴，吸引了不少外地游客游览打卡．在曹魏古城景区，游客们穿上汉服，戴上簪花，穿梭于亭台楼榭之间，与古城相映成趣．景区内某汉服商店计划购进一批汉服用于出租，已知购买1件A型汉服和4件B型汉服共550元；购买2件A型汉服和3件B型汉服共需600元
(1)求A，B两种类型汉服的单价．
(2)该商店计划购买两种类型汉服共100件，且A型汉服的数量不少于B型汉服数量的2倍．请计算该商店购买两种类型汉服各多少件时费用最少．并求出最少费用．
【答案】(1)A类型汉服的单价为每件150元，B类型汉服的单价为每件100元
(2)购买B类型汉服33件，购买A类型汉服为77件，总花费最少为13350元．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，以及一次函数的实际应用．
（1）设A类型汉服的单价为每件x元，B类型汉服的单价为每件y元，列出二元一次方程组求解即可．
（2）设总费用为w， 购买B类型汉服a件，则购买A类型汉服为件，根据题意得出，再列出w关于a的一次函数，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A类型汉服的单价为每件x元，B类型汉服的单价为每件y元，
根据题意有：，
解得：，
故A类型汉服的单价为每件150元，B类型汉服的单价为每件100元．
（2）设总费用为w，购买B类型汉服a件，则购买A类型汉服为件，
且，则，
根据题意有：，
整理得：，
∵，
∴w随着a的增大而减小，
则当a取最大值33时，w取的最小值．
当时，
．
故购买B类型汉服33件，购买A类型汉服为77件，总花费最少为13350元．
类别
价格
款玩偶
款玩偶
进货价（元/个）
销售价（元/个）
车型
纯电动汽车A
插电混动汽车B
进价/（万元/辆）
25
12
新能源积分/（分/辆）
8
2
购进数量/辆
x
y
第一次
第二次
甲品牌耳机（个）
20
30
乙品牌耳机（个）
40
50
总费用（元）
10800
14600
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）．
生活经验：饮水适宜温度是（包括与）．
快递公司规定：从当地寄送柿子到Z市按重量收费，重量不超过时，需要寄送费56元；重量超过时，超过部分另收寄送费m元．
电子存单1
电子存单2
电子存单3
托寄物：柿子
计量重量：
件数：1
总费用：56元
托寄物：柿子
计量重量：
件数：1
总费用：72元
托寄物：柿子
计量重量：
托寄物：柿子
计量重量：
件数：2
总费用：152元
车型
纯电动汽车A
插电混动汽车 B
进价/（万元/辆）
25
12
新能源积分/（分/辆）
8
2
荒地完成1万平方米绿化的成本
荒地完成1万平方米绿化的成本
甲绿化队
90万元
70万元
乙绿化队
60万元
50万元

甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
树苗品种
单价/（元/棵）
采购地
A
B
市场
55
园艺基地
a
50
批发价/元
零售价/元
A
10
25
B
8
20
A型号服装
B型号服装
市场批发价（元/件）
50
70
服装店售价（元/件）
65
90
商店
足球单价
跳绳单价
优惠方式
甲


所购商品按原价打八折
乙


足球原价，跳绳五折
每个大盘的批发价比每个小盘多元；
一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘；
每套组合瓷盘的批发价为元．