广东省 佛山市高明区第一中学（佛山市高级中学）2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析）

这是一份广东省 佛山市高明区第一中学（佛山市高级中学）2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，已知，，则等于（ ）
A．11B．13C．15D．16
3．在等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A．B．或1C．－1D．或－1
4．已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．2
5．某水库储水量与水深的关系如下表所示：
在范围内，当水深每增加时，水库储水量的平均变化率（ ）
A．不变B．越来越小C．越来越大D．不能确定
6．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A．8，2B．2，4C．4，10D．2，8
7．曲线在处的切线如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列满足则（ ）
A．B．是等比数列
C．D．是等比数列
11．已知数列各项均为正数，且满足，下列正确的有（ ）
A．B．
C．为等比数列D．为递减数列
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，a，b，c，成等比数列，则 .
13．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的函数为（的单位是cm），则时，弹簧振子瞬时速度是 cm/s.
14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），若，记数列的前项和为，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列是公差为1的等差数列，且是与6的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)求的值.
16．已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间.
17．已知数列的前项和为．
（1）证明：数列为等比数列，并求出．
（2）求数列的前项和．
18．如图，等腰梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．
（）求证：平面．
（）求三棱柱的体积．
（）线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．

19．若在一个有穷数列中每相邻两项之间插入这两项的积，得到一个新的数列，把它定义为数列的一次扩展.在数列扩展中，数列扩展的次数记为，第n次扩展后的新数列记为，其项数记为，所有项的积记为.例如：已知数列，经过第1次扩展后得到的新数列为，，，已知数列.
(1)计算，；
(2)求出通项，；
(3)求出数列的前n项和.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为集合，，
则，
则.
故选A.
2．【答案】A
【详解】设等差数列的公差为，
则，
即，解得，则.
故选A.
3．【答案】B
【详解】由题意，解得或．
故选B．
4．【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以.
故选C.
5．【答案】C
【详解】根据平均变化率的定义, 在范围内，当水深每增加时，水库储水量的平均变化率依次为:
平均变化率越来越大.
故选C.
6．【答案】D
【详解】设等比数列共有项，公比为，则该数列为：，
依题意，，于是得，，解得，
所以这个数列的公比为2，项数为8.
故选D.
7．【答案】C
【详解】设曲线在处的切线方程为，则，解得，
所以，曲线在处的切线方程为，所以，，，
因此，.
故选C.
8．【答案】B
【详解】由，得，
所以
，，
显然满足上式，则，所以，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，且，
所以当时，取最小值.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】对于A，因为是常数，所以，故A不正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D正确.
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】由得则数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，从而，C正确.
由得，A正确.
由得，
故数列不是等比数列，B错误.
由得，
故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，时，，
因为数列各项均为正数，所以，A正确；
对于B，时，，
因为数列各项均为正数，所以，B正确；
对于C，时，，
所以，
因为数列各项均为正数，所以，
令，即，
由题意得是单调递增的，易得为递减数列，
当时，，，
，且，易得不是等比数列，所以C错误，D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】因为，a，b，c，成等比数列，
所以，
设数列，a，b，c，的公比为，则，
所以和b同号，则.
13．【答案】
【详解】因为，则，
将代入，则.
所以弹簧振子瞬时速度是 cm/s
14．【答案】4725或4746
【详解】由，得，或，
若，则数列是周期数列，其周期为3，
因此；
若，则数列去掉前3项后是周期数列，其周期为3，
因此.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由等差数列的公差，且与的等差中项为，
则，
即，解得，
所以等差数列的通项.
（2）
.
16．【答案】(1)
(2)单调递增区间为和，单调递减区间为.
【详解】（1）函数，则，
则，而直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
则，解得，
（2）由（1）可知，所以，定义域为，
，
令，即，化简可得，解得，
当时，函数单调递增。由，即，解得或，
所以的单调递增区间为和，
当时，函数单调递减，由，即，解得，
所以的单调递减区间为；
综上， 的单调递增区间为和，单调递减区间为.
17．【答案】（1）证明见解析；；（2）．
【详解】（1）由已知，
整理得，
所以，
令，得，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
（2）由（1）知，，
当时，，
当时，，
所以
所以
所以．
18．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【详解】试题分析：（1）由，可得平面，进而得，在等腰梯形中，可证得，从而得证；
（2）由即可得解；
（3）取的中点，的中点，连结，，，可证得四边形为平行四边形，从而得证，进而得证.
试题解析：
（）证明：∵，∴．
∵在等腰梯形中，，
∴在四棱锥中，．
又，∴平面．
又∵平面，∴．
∵在等腰梯形中，，，且，
∴，，，
∴，
∴．
∵，
∴平面．
（）∵，平面，
∴．
（）线段上存在一点，使得平面，为的中点，
证明：取的中点，的中点，连结，，．
∵，分别为，的中点，
∴且．
∵且，
∴且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
19．【答案】(1)，.
(2)，.
(3).
【详解】（1）因为，
所以，所以，；
，所以，.
（2）由数列扩展的定义可知，数列的每一次扩展就是在原数列相邻两线中间插入这两项的积，
所以第次扩展就会在第次扩展的基础上增减项，
即，
又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以.
设第次扩张后数列的各项为：，则，
所以.
所以.
由，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
（3）因为.
设
则，
两式相减得：.
所以.
所以.
水深()
储水量
水深
平均变化率
2
4
12
14
23
32