广东省佛山市高明区第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市高明区第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了请考生保持答题卷的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必要填写答题卡上的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔盒涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知向量，若向量，则实数的值为（ ）
A B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示列式求解.
【详解】向量，由，得，解得，
所以实数的值为3.
故选：B
2. 已知，且为第一象限角，则（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式，结合正余弦齐次法列式计算.
【详解】由为第一象限角，得，
而，解得，
所以.
故选：D
3. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中．这些公式被编人计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．比如，用前三项计算，就得到．运用上述思想，可得到的近似值为（ ）
A. 0.53B. 0.54C. 0.55D. 0.56
【答案】B
【解析】
【分析】利用泰勒公式，保留前三项求和估算，即可得到结果.
【详解】由泰勒公式：可得：
，
故选：B．
4. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）.
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换，准确运算，即可求解.
【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，
再的图象向左平移个单位长度，可得，
所以所求得象的函数解析式为.
故选：C.
5. 在中，，BC边上的高等于,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：设
,故选C.
考点：解三角形.
6. 在平行四边形中，为的重心，，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.
【详解】如图，设与相交于点，为的重心，
可得为的中点，,
可得,
故选：C
7. 据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y（单位：量）与时间t（单位：）满足如下函数关系式：（为常数，）.已知早上8：30（即）时的车流量为500量，则下午15：30（即）时的车流量约为（ ）（参考数据：，）
A. 441量B. 159量C. 473量D. 127量
【答案】A
【解析】
【分析】根据时的车流量为500求出，再求时的车流量可得答案.
【详解】由题意可得，可得，
解得，所以，
当时，
（量）.
故选：A.
8. 定义域在上奇函数.若存在，使得成立，则实数k的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由得，由指数函数的性质可得在上为减函数，利用函数奇偶性转化不等式，结合函数单调性可解决问题.
【详解】∵是定义域在R上的奇函数，
∴，解得，检验得时，是奇函数，
∴，
由指数函数的性质可得在R上为减函数.
由得，
∴，即存在，使得，
记，，则，
，
∵，∴，
∴，∴，
∴，即实数k的取值范围为.
故选：D.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 关于同一平面内的任意三个向量，下列四种说法错误的有（ ）
A.
B. 若，且，则
C. 若，则或
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对A，根据向量的数量积不满足结合律可判断，对B，若，则不一定成立，对C，根据向量及向量模的概念可判断，对D，由向量模的三角公式可判断.
【详解】对于A：因为向量的数量积不满足结合律，故选项A错误；
对于B：若，则不一定成立，故选项B错误；
对于C：，但是与不一定是共线同向或反向，故选项C错误；
对于D：，故选项D正确；
故选：ABC．
10. 关于函数,下列选项错误的有（ ）
A. 函数最小正周期为B. 表达式可写成
C. 函数在上单调递增D. 的图像关于直线对称
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正弦型函数周期性可判断;根据诱导公式可判断;根据正弦型函数的单调性可判断;根据正弦型函数的对称性可判断.
【详解】对于,函数最小正周期,故正确;
对于,,故错误;
对于,在上不单调,故错误;
对于,的图像关于直线对称,故正确;
故选:BC.
11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为中点，且，，则下列各式正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由向量与四心的性质对选项逐一判断
【详解】对于A，重心为G，有
故，故A正确
对于B，外心为O，有，
，故B错误
对于C，由欧拉线定理得，即
又有，相加可得，故C正确
对于D，由得，故
，故D正确
故选：ACD
三、填空题（每题5分，共15分）
12. ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据利用两角和的正切公式展开，从而得解.
【详解】，
，
，
.
故答案为：
13. 已知点是角终边上一点，将角的终边逆时针旋转得到角，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角函数定义计算可得，再由角以及诱导公式代入计算可得结果.
【详解】由题可知，
将角的终边逆时针旋转得到角，可得，
因此；
所以.
故答案为：
14. 如图所示，，圆与分别相切于点，，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知四边形为正方形，圆的半径为1，过点作圆的直径所在直线交圆于点，当点在点处时，取得最大值，当点在点处时， 取得最小值.
【详解】因为，圆与分别相切于点，，所以四边形为正方形，所以
过点作圆的直径所在直线交圆于点， 所以
做平行四边形当点在点处时，四边形为正方形，取得最大值，
所以
同理可知，当点在点处时，所以.
故答案为：
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简得到，再代入求值即可；
（2）求出，再化为齐次式，化弦为切，代入求值.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
由（1）知，，故，
原式
．
16. 已知向量与的夹角为，且，
（1）求；
（2）若，求；
（3）求向量在向量上的投影向量的模．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）转化为求平面向量的数量积，对平方再开方可求出结果；
（2）根据，以及平面向量数量积的运算律和定义可求出结果.
（1）根据题意结合投影向量的模的概念与计算公式即可求解；
【小问1详解】
因为，
又与的夹角为，所以．
∴
；
【小问2详解】
因为，所以，
即，
即，解得.
【小问3详解】
因为，，且与的夹角为，
所以
；
,
则在上的投影向量的模为.
17. 已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合已知可得，再利用余弦定理化简可得，利用余弦定理计算即可求得答案.
（2）对于，利用正弦定理边化角可得，结合两角和差的正弦公式化简即可证明结论.
【小问1详解】
因为，所以由正弦定理可得.
因为，所以由余弦定理可得，
两式联立，整理得，即.
在中，由余弦定理得.
【小问2详解】
证明：因为，由正弦定理可得，
因为，所以，
则，
所以，
由，
得，
即，
则，
所以.
18. 已知函数，将函数的图象左移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象．
（1）求函数的最小正周期及单减区间；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为；（2）最小值为，对应的的集合为.
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，解不等式可得出函数的减区间；
（2）由可计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出函数的最小值及其对应的的值，即可得解.
【详解】（1），
因此，
所以，函数的最小正周期为，
解不等式，得，
因此，函数的单调减区间为；
（2）时，则，，
当时，即当时，函数取得最小值，此时，对应的的集合为.
【点睛】本题考查正弦型函数周期、单调区间与最值的求解，同时也考查了利用三角函数图象变换求三角函数解析式，考查运算求解能力，属于中等题.
19. 如图，已知直线，是，之间的一个定点，且点到，的距离分别为1，2，是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点.设，的面积为.

（1）求的最小值；
（2）已知，，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）2 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）解和分别可得，，则的面积，根据的范围即可求的最小值；
（2）原不等式恒成立可转化为恒成立，令，可得，再令，根据的范围，讨论的值即可求解.
【小问1详解】
在中，，则；
在中，，，则，
∴的面积.
∵，∴，
故当，即时，取得最大值1，此时取得最小值2.
【小问2详解】
由（1）知，，
∴.
不等式对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立.
令，则，
因为，所以，所以，
又，
∴.
令，其中，
∴，.
①当时，，即；
②当时，函数在上单调递增，
∴，即；
③当时，函数上单调递减，
∴，即
综上，当时，实数的取值范围是；
当时，实数的取值范围.
【点睛】关键点睛：本题第二问得到对任意的恒成立后，利用与之间的关系进行换元转化是解决问题的关键.