广东省广州市第七十五中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段性测试数学试卷（含解析）

这是一份广东省广州市第七十五中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段性测试数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，内角所对各边分别为，且，则角（ ）
A．B．C．D．
5．以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．8πB．4πC．8D．4
6．如图，已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形或等腰三角形
8．如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
B．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．用平面截圆柱，得到的截面不可能是等腰梯形
D．底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数的虚部为
B．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为
C．若为虚数单位，为正整数，则
D．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限
11．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点F在弧上，且，点E在弧上运动.则下列结论正确的有（ ）
A．B．，则
C．在方向上的投影向量为D．的最小值是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则 .
13．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 .
14．如图所示的两个对称的等腰与，且，，若该平面图形绕着直线旋转一周围成的几何体的体积记为，该平面图形绕着直线旋转一周围成的几何体的体积记为，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知．
(1)求；
(2)当为何值时，与平行？
16．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，等腰直角三角形的面积为.

(1)求圆锥的表面积；
(2)若点是的一个三等分点，求三棱锥的体积.
17．在中，内角、、所对的边分别是、、，且
(1)求角；
(2)若，，求的面积.
18．如图，在中，点在边上，．
(1)若，，，求；
(2)若是锐角三角形，，求的取值范围．
19．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
(1)在仿射坐标系中，若，求；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
(3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】易知.
故选D
2．【答案】D
【详解】由题设，
所以.
故选D
3．【答案】D
【详解】由可得，
由于，可得，
解得，
由于，因此．
故选D
4．【答案】A
【详解】因为，且由余弦定理得，
所以，解得，而在中，，则，故A正确.
故选A．
5．【答案】A
【详解】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，
其底面半径r=2，高h=2，
故其侧面积为.
故选A
6．【答案】B
【详解】由，得，而，
所以.
故选B
7．【答案】D
【详解】，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选D.
8．【答案】C
【详解】在中，由正弦定理得，
即，得，
在中，，是等边三角形，，
在中，，由余弦定理，
，
所以．
故选C.
9．【答案】AC
【详解】棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，则A选项正确；
两个面平行，其余各面都是梯形的多面体，不一定是棱台，还需强调所有梯形的两腰延长线都交于同一点，则B选项错误；
用平面截圆柱得到的截面可能是曲边梯形，不可能是等腰梯形，则C选项正确；
底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱，可能为斜棱柱，则D选项错误．
故选AC．
10．【答案】BC
【详解】由复数的概念可知复数的虚部为，故A错误；
若，则复平面内对应的点位于半径为1的圆上或内部，其面积为，故B正确；
根据复数的运算法则知，所以，故C正确；
易知复数的共轭复数为，其对应点为，显然位于第三象限，故D错误.
故选BC
11．【答案】BCD
【详解】
以O为坐标原点，OB为x轴建立如图平面直角坐标系，
因为，，，
所以，，，，，
设，，
对于A项，，故A错误，
对于B项，，即，解得，，
，故B正确，
对于C项，因为，，所以在方向上的投影向量为，故C正确，
对于D项，
因为，所以，，
所以时，最小为，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】由题得，则，又，
.
13．【答案】
【详解】由直角梯形可得，，，
，
而，故，
故直角梯形的面积为
14．【答案】4
【详解】由题可知该平面图形绕直线旋转一周围成的几何体为一圆柱减去两圆锥形成的.
因为与是两个对称的等腰三角形，且，，
所以点到边的距离为，
即该圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为.
所以.
而该平面图形绕着直线旋转一周围成的几何体是相同大小的两个圆锥，且这个圆锥的底面半径为1，高为2，
所以，
所以.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
则.
（2）由，
，
当与平行时，则，
解得
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）等腰直角三角形中，又因为其面积为，
所以，即圆锥底面半径，
圆锥母线长为：，
所以圆锥SO的表面积为：．
（2）在底面圆中为直角三角形，不妨设点B靠近点C，
可得．
由此可得的面积，
所以．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
由正弦定理得
因为,
所以，
所以
因为，
所以，
所以，所以，
因为
所以，.
（2）因为，，
由余弦定理得：
，即，
因为，所以，
所以，所以.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
即，即，
而，解得，则，
在中，，
由余弦定理得.
（2）在锐角中，，，且，则，
由正弦定理得，
显然，即有，因此，即，
所以的取值范围是.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，.
则，所以.
（2）由，，得，，
且，
所以，，
，则，
，
因为与的夹角为，则，解得.
（3）依题意设、，
且，，，
因为为的中点，则，
因为为中点，同理可得，
所以，，
由题意可知，，，
则，
在中依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理，
设，则，且，
所以，，，
，
为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则