广东省佛山市高明区第一中学（佛山市高级中学）2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市高明区第一中学（佛山市高级中学）2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了请考生保持答题卷的整洁， 曲线在处的切线如图所示，则， 下列求导正确的是， 已知数列满足则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必要填写答题卡上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔盒涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题（本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的运算法则计算．
详解】由题意，所以．
故选：A．
2. 等差数列中，已知，，则等于（ ）
A. 11B. 13C. 15D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式和前项和表达式即可得到方程，解出即可.
【详解】设等差数列的公差为，
则，
即，解得，则.
故选：A.
3. 在等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A. B. 或1C. －1D. 或－1
【答案】B
【解析】
【分析】把已知条件用和公比表示后求解．
【详解】由题意，解得或．
故选：B．
【点睛】本题考查求等比数列的公比，解题方法是基本量法．属于基础题．
4. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
5. 某水库储水量与水深的关系如下表所示：
在范围内，当水深每增加时，水库储水量的平均变化率（ ）
A. 不变B. 越来越小C. 越来越大D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均变化率的定义判断.
【详解】根据平均变化率的定义, 在范围内，当水深每增加时，水库储水量的平均变化率依次为:
平均变化率越来越大.
故选：C.
6. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）
A. 8，2B. 2，4C. 4，10D. 2，8
【答案】D
【解析】
【分析】设出等比数列的项数及公比，利用给定条件列出方程组，求解作答.
【详解】设等比数列共有项，公比为，则该数列为：，
依题意，，于是得，，解得，
所以这个数列的公比为2，项数为8.
故选：D
7. 曲线在处的切线如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出切线方程，利用导数的几何意义求出的值，利用切线方程求出的值，进而可求得的值.
【详解】设曲线在处的切线方程为，则，解得，
所以，曲线在处的切线方程为，所以，，，
因此，.
故选：C.
8. 已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据递推关系利用迭代法（累加法）求出，可得，再利用对勾函数的单调性求解即可.
【详解】由，得，
所以
，，
显然满足上式，则，所以，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，且，
所以当时，取最小值.
故选：B.
二、多选题（本大题3小题，每小题6分，共18分.每小题至少有2个正确答案，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 下列求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本函数的求导公式以及导数的运算法则，即可结合选项求解.
【详解】对于A，因为是常数，所以，故A不正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
10. 已知数列满足则（ ）
A. B. 是等比数列
C. D. 是等比数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过构造法求数列的通项公式可得选项C正确；根据通项公式可得选项A正确；求出数列的前3项可得选项B错误；通过定义法证明等比数列可得选项D正确.
【详解】由得则数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，从而，C正确.
由得，A正确.
由得，
故数列不是等比数列，B错误.
由得，
故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，D正确.
故选：ACD.
11. 已知数列各项均为正数，且满足，下列正确的有（ ）
A. B.
C. 为等比数列D. 为递减数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用可判断A；求出可判断B；利用可判断D，利用可判断C.
【详解】对于A，时，，
因为数列各项均为正数，所以，A正确；
对于B，时，，
因为数列各项均为正数，所以，B正确；
对于C，时，，
所以，
因为数列各项均为正数，所以，
令，即，
由题意得是单调递增的，易得为递减数列，
当时，，，
，且，易得不是等比数列，所以C错误，D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本大题3小题：每小题5分，共15分）
12. 已知，a，b，c，成等比数列，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比中项的性质求解即.
【详解】因为，a，b，c，成等比数列，
所以，
设数列，a，b，c，的公比为，则，
所以和b同号，则.
故答案为：.
13. 一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的函数为（的单位是cm），则时，弹簧振子瞬时速度是______cm/s.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求导可得，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，
将代入，则
所以弹簧振子瞬时速度是 cm/s
故答案为：
14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则______．
【答案】4725或4746
【解析】
【分析】根据给定的运算法则，逆推进出前4项，再结合数列周期性求出.
【详解】由，得，或，
若，则数列是周期数列，其周期为3，
因此；
若，则数列去掉前3项后是周期数列，其周期为3，
因此.
故答案为：4725或4746
【点睛】思路点睛：由“角谷猜想”的运算法则，利用逆推的方法求出前4项，再利用周期性求和.
四、解答题（本大题5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知数列是公差为1的等差数列，且是与6的等差中项.
（1）求的通项公式；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差中项与等差数列定义，建立方程求得首项，可得答案；
（2）利用裂项相消求和，可得答案.
【小问1详解】
由等差数列的公差，且与的等差中项为，
则，
即，解得，
所以等差数列的通项.
小问2详解】
.
16. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）单调递增区间为和，单调递减区间为.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值；
（2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
函数，则，
则，而直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
则，解得，
【小问2详解】
由（1）可知，所以，定义域为，
，
令，即，化简可得，解得，
当时，函数单调递增。由，即，解得或，
所以的单调递增区间为和，
当时，函数单调递减，由，即，解得，
所以的单调递减区间为；
综上， 的单调递增区间为和，单调递减区间为.
17. 已知数列的前项和为．
（1）证明：数列为等比数列，并求出．
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据递推关系及等比数列的定义证明；
（2）由（1）可得，根据关系求解通项，根据等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）由已知，
整理得，
所以，
令，得，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
（2）由（1）知，，
当时，，
当时，，
所以
所以
所以．
18. 如图，等腰梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．
（）求证：平面．
（）求三棱柱的体积．
（）线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由，可得平面，进而得，在等腰梯形中，可证得，从而得证；
（2）由即可得解；
（3）取的中点，的中点，连结，，，可证得四边形为平行四边形，从而得证，进而得证.
试题解析：
（）证明：∵，∴．
∵在等腰梯形中，，
∴在四棱锥中，．
又，∴平面．
又∵平面，∴．
∵在等腰梯形中，，，且，
∴，，，
∴，
∴．
∵，
∴平面．
（）∵，平面，
∴．
（）线段上存在一点，使得平面，为的中点，
证明：取的中点，的中点，连结，，．
∵，分别为，的中点，
∴且．
∵且，
∴且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
19. 若在一个有穷数列中每相邻两项之间插入这两项的积，得到一个新的数列，把它定义为数列的一次扩展.在数列扩展中，数列扩展的次数记为，第n次扩展后的新数列记为，其项数记为，所有项的积记为.例如：已知数列，经过第1次扩展后得到的新数列为，，，已知数列.
（1）计算，；
（2）求出通项，；
（3）求出数列前n项和.
【答案】（1），.
（2），.
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据数列扩展的概念可得，.
（2）构造递推公式，根据递推公式求数列的通项公式.
（3）利用错位相减求和法求和.
【小问1详解】
因为，
所以，所以，；
，所以，.
【小问2详解】
由数列扩展的定义可知，数列的每一次扩展就是在原数列相邻两线中间插入这两项的积，
所以第次扩展就会在第次扩展的基础上增减项，
即，
又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以.
设第次扩张后数列的各项为：，则，
所以.
所以.
由，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
【小问3详解】
因为.
设
则，
两式相减得：.
所以.
所以.
水深()
储水量
水深
平均变化率
2
4
12
14
23
32