备战2025年高考数学(新高考专用)抢分秘籍抽象函数(四大题型)(学生版+解析)练习

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【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】抽象函数的性质
【题型二】常见抽象函数模型①（一次、二次、反比例）
【题型三】常见抽象函数模型②（指数、对数、幂函数、三角函数）
【题型四】复合函数的应用
【误区点拨】
易错点：忽视定义域和对称性与周期性弄混淆。

：以选择填空的形式考察性质，难度中等偏上。
：抽象函数求解的重要技巧：赋值法
1.赋值法使用，注意和题目条件作适当的联系；比如，涉及到奇偶行时候，可以考虑设字母为x和-x，或者取值为a和-a。等等
2.转化过程要以相关定义为目的，不断转变；比如，涉及到单调性，欲寻找单调性证明和推导，可以设变量为x1与x2两个变量，寻找f（x1）与f（x2）的大小关系。
3.还要学会用反例作论证，推出矛盾，可以直接排除对应的性质关系。
【题型一】抽象函数的性质
【例1】已知的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【例2】定义域均为R的函数，满足，且，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是奇函数D．是偶函数
【例3】已知不恒为零的函数为定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式1】已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（ ）
A．4047B．4048C．4049D．4050
【变式2】已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（ ）
A．2B．C．0D．
【变式3】已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法错误的有（ ）
A．B．
C．D．若，则周期为
【题型二】常见抽象函数模型①（一次、二次、反比例）
【例1】已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．没有极值点
【变式1】已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数且在上单调递减
B．是奇函数且在上单调递增
C．是偶函数且在上单调递减
D．是偶函数且在上单调递增
【变式2】已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
【变式3】（多选）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．
B．
C．是奇函数
D．是偶函数
【题型三】常见抽象函数模型②（指数、对数、幂函数、三角函数）
【例1】已知函数满足，当，若在区间内，函数有两个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（多选）已知函数的定义域为R，值域为，，则（ ）
A．B．
C．D．是函数的极小值点
【变式1】已知函数的定义域为，且，时，，，则（ ）
A．
B．函数在区间单调递增
C．函数是奇函数
D．函数的一个解析式为
【变式2】已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数 .
【题型四】复合函数的应用
【例1】函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（多选）设函数且在区间上单调递减，则的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
易错点：对称性与周期性混淆
1.周期性：；；
；（为常数）；
2.对称性：
对称轴：或者 关于对称；
对称中心：或者 关于对称；
3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
例1、已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
例2、已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
一、抽象函数的性质
1.周期性：；；
；（为常数）；
2.对称性：
对称轴：或者 关于对称；
对称中心：或者 关于对称；
3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
5.常见的特殊函数性质一览
①是奇函数
②（为常数）是奇函数
③或者或者或者是奇函数
④关于对称
⑤复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇
抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
【正切函数模型】
模型：若，则
模型3：若，则
1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数.
2.求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数 分解成
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增
增
增
增
减
减
减
增
减