备战2025年高考数学(新高考专用)抢分秘籍导数及其应用(九大题型)(学生版+解析)练习

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【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】 切线问题
【题型二】 极值与极值点
【题型三】 含参讨论单调性
【题型四】 恒成立求参
【题型五】 能成立求参
【题型六】 零点问题
【题型七】 隐零点问题
【题型八】 构造函数求参
【题型九】 多变量问题
【误区点拨】
易错点1：①除法求导要注意分子是相减，分母带平方；
②复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即．
易错点2：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断

：导数在新结构试卷中的考察重点偏向于小题，原属于导数的压轴题有所改变，但导数在高考中的考察依然属于重点，题型很多，结合的内容也偏多，比如常出现的比较大小和恒成立问题等都结合着构造函数的思想.
：在处理含对数的等式、不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，从而避免了多次求导. 这种让对数“孤军奋战”的变形过程，俗称之为“对数单身狗”.

【题型一】 切线问题
【例1】已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求过点且与曲线相切的直线的切点坐标.
【例2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则
【变式1】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【变式2】过原点且与曲线相切的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【变式3】过定点作曲线的切线，恰有2条，求实数的取值范围.
【题型二】 极值与极值点
【例1】设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（ ）
①函数有极大值
②函数有极小值
③函数有极大值
④函数有极小值
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例2】已知函数在处取得极值.
(1)求的值；
(2)当时，求曲线在处的切线方程；
(3)当时，求曲线的极值.
【变式1】已知函数若，则函数的极小值点是 ；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为 ．
【变式2】已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
(1)求函数的解析表达式；
(2)求函数的极值.
【变式3】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
【题型三】 含参讨论单调性
【例1】设函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)当时，求的单调区间.
【例2】设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
【变式1】已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
【变式2】已知函数．
(1)讨论的单调性；
【题型四】 恒成立求参
【例1】已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【例2】已知函数.
(1)若存在极小值，且极小值为，求；
(2)若，求的取值范围.
【变式1】已知对于任意的，存在，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【变式2】已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求实数的值．
【题型五】 能成立求参
【例1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ．
【例2】已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若存在，使得，求的取值范围．
【变式1】已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】已知函数.
(1)当在处的切线是时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数的取值范围.
【题型六】 零点问题
【例1】已知函数
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数．
【例2】函数有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】若函数，当时，函数有极值，关于x的方程有三个不等实根，则实数k的取值范围是 .
【变式2】已知函数 ．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【变式3】已知函数．
(1)若，求在上的值域；
(2)若，求在上的零点个数．
【题型七】 隐零点问题
【例1】已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：函数的图象在x轴上方.
【例2】已知函数．
(1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值；
(2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：．
【变式1】已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间有唯一零点，证明：.
【变式2】已知函数．
（1）证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【题型八】 构造函数求参
【例1】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知实数满足且，则的最小值为 .
【例3】已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ）
B．C．D．
几种导数的常见构造：
对于 ，构造
若遇到，构造
对于，构造
对于，构造
对于或，构造
对于，构造
对于，构造
【变式1】已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 ．
【变式2】已知恒成立，则正数的取值范围为 ．
【变式3】（多选）定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型九】 多变量问题
【例1】已知函数，其中
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，证明：
【例2】已知函数．
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
【变式1】已知函数，其中，为自然对数的底数.
(1)求的单调区间；
(2)设且，请判断与的大小，并证明.
【变式2】已知函数．
(1)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；
(2)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围．
【变式3】已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，；
(3)如果，且，证明：．
目标希望是这样的：由；
在处理含指数的等式、不等式时，通常要将指数型函数与其它函数（乘或除）结合起来，这样再对新函数求导时，就避免了多次求导. 俗称之为“指数找朋友”或“指数常下沉”.
例1、知函数fx=lgaxxa(a>0且a≠1).
(1)当a=2时，判断fx的单调性；
(2)若fx≥−1恒成立，求a的值.
变式1、已知函数fx=2lnx+x+axa∈R
(1)若a=2，求fx的单调区间.
(2)若对∀x∈0,+∞，fx≤xex恒成立，求实数a的取值范围
变式2、已知函数fx=lnx+1−mx,gx=csmx−1，其中m∈R.
(1)讨论fx的单调性；
(2)若恒成立，求.