备战2025年高考数学(新高考专用)抢分秘籍解三角形(八大题型)(学生版+解析)练习

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【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】余弦定理解三角形
【题型二】正弦定理解三角形
【题型三】 三角形解的个数问题
【题型四】判定三角形状问题
【题型五】面积公式的应用
【题型六】三角形中最值范围问题
【题型七】 距离、高度、测量问题
【题型八】与其它知识综合问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：最值范围忽视角度取值范围问题

：作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型，无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占15分，难度不大也适应了新高考的新题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握
：常规题型的归纳总结，基础知识的记忆与推导理解；最值范围的问题以构造函数求范围。
【题型一】余弦定理解三角形
【例1】在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则 .
【例2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则 .
【变式1】在中，，则（ ）
A．5B．3或5C．4D．2或4
【变式2】在中，内角所对的边分别为，且，则 .
【题型二】正弦定理解三角形
【例1】（多选）在中，，则角A为（ ）
A．B．C．D．
【例2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】是斜边上一点，若，则的值（ ）
A．B．C．D．
【题型三】 三角形解的个数问题
【例1】符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【例2】已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（多选）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【变式2】已知中，，，有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型四】判定三角形的形状问题
【例1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcsA+acsB=csinC，则△ABC为（ ）.
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【例2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk=sinB3=sinC4(k为非零实数），则下列结论错误的是（ ）
A．当k=5时，△ABC是直角三角形B．当k=3时，△ABC是锐角三角形
C．当k=2时，△ABC是钝角三角形D．当k=1时，△ABC是钝角三角形
【变式1】在△ABC中，a，b，c分别为角A、B，C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若acsB=bcsA，则△ABC为等腰三角形
B．若atanA=btanB，则△ABC为等腰三角形
C．若sin2A+sin2B+cs2C−1，则△ABC为钝角三角形
【变式2】已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b+ccsB+csC，则△ABC的形状是 .
【题型五】面积公式的应用
【例1】在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【例2】在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足．
(1)求；
(2)若，，求边上的高．
【变式1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，的面积为，求b，c的值．
【变式2】已知在中，，.
(1)求的大小
(2)若AB边上的高等于1，求的面积.
【题型六】三角形中最值范围问题
【例1】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求；
(2)若，求的面积的最大值.
【例2】记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求；
(2)求的最大值．
【变式1】已知，为上一点，且．动点满足为线段上一点，满足，则下列说法中不正确的是（ ）
A．若，则为线段的中点B．当时，的面积为
C．点到距离之和的最大值为5D．的正切值的最大值为
【变式2】已知.
(1)求函数图象的对称轴方程；
(2)求函数单调递增区间；
(3)设的内角所对的边分别为，若且.求面积的最大值.
【变式3】若一个三角形中两边的平方和是第三边平方的倍，则称该三角形为阶准直角三角形.在中，角的对边分别为，且.
(1)证明：是2阶准直角三角形；
(2)若，求的值；
(3)若，求的面积的最大值.
【题型七】 距离、高度、测量问题
【例1】如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则 .
【例2】某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ）
A．米B．米C．米D．米
【变式1】如图，A，B，C三点位于同一水平面，A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏东60°方向，A在C的正西方向，且A，C之间的距离为50米，B处正上方建有一栋楼房，C处正上方建有一座塔，从A处观察塔尖E，测得仰角为45°，从楼房顶D处观察塔尖E，测得仰角为30°，则楼房的高度为 米.
【变式2】某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米．
(1)求该人工圆形湖泊的直径；
(2)若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围．
【变式3】为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设，分别为建筑物的最高点和底部.选择一条水平基线，使得，，三点在同一直线上，在，两点用测角仪测得的仰角分别是和，测角仪器的高度是，，由此可计算出建筑物的高度.若，，则此建筑物的高度是 （答案用，表示）
【题型八】与其它知识综合问题
【例1】在边长为2的正方形中作出.直角顶点为的中点.其他两顶点分别在边上运动.则的周长的取值范围（ ）

A．B．C．D．
【例2】已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【变式1】在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为 ．
【变式2】已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（多选）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去，则（ ）
A．对于任意的正整数n，
B．对于任意的正整数n，为整数
C．存在正整数n，三角形的面积为2025
D．存在正整数n，三角形为钝角三角形
易错点：最值范围易忽视最值范围问题
解题技巧：审题时看是否存在对角度的要求，尤其是出现“锐角三角形”的限制条件，就要求每个角都为锐角。
例1、在锐角中，角的对边分别为，已知
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围.
变式1、（多选）已知锐角，角所对应的边分别为，下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．若，则是等腰三角形
C．若，则的取值范围
D．若，则的取值范围
变式2、锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．