备战2025年高考数学(新高考专用)抢分秘籍圆锥曲线(七大题型)(学生版+解析)练习

这是一份备战2025年高考数学(新高考专用)抢分秘籍圆锥曲线(七大题型)(学生版+解析)练习，文件包含备战2025年高考数学新高考专用抢分秘籍圆锥曲线七大题型教师版docx、备战2025年高考数学新高考专用抢分秘籍圆锥曲线七大题型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】椭圆标准方程及其性质
【题型二】双曲线标准方程及其性质
【题型三】抛物线标准方程及其性质
【题型四】焦点三角形
【题型五】中点弦
【题型六】离心率
【题型七】直线与圆锥曲线位置关系
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：圆锥曲线中的距离和差最值问题

：圆锥曲线的定义、方程与几何性质将继续作为高考的重点内容，题型不会有太大变化．复杂的代数运算和几何推理仍然是解题的关键，特别是涉及离心率、渐近线、弦长等几何性质的计算．
：
基础知识熟练掌握的基础上还需要利用数形结合等的思想结合几何和代数的方法来解决相应问题。
需要记忆的结论很多，所以相应的推理方法也都必须要能够理解，
【题型一】椭圆标准方程及其性质
【例1】已知圆的圆心为，设是圆上任意一点，，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【例2】椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【例3】已知椭圆的左、右焦点分别为、，是上一点，、分别是、的中点，为坐标原点，若，且四边形的面积为，的短轴长为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（多选）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．内切圆半径的最大值为D．外接圆半径的最小值为1
【变式2】用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（ ）

A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中为椭圆长轴，为球的半径，有
【题型二】双曲线标准方程及其性质
【例1】已知双曲线的焦距为6，则为（ ）
A．5B．C．D．32
【例2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】已知为双曲线的右顶点，为上一点，关于轴的对称点为，，，的面积为，则的焦距为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（多选）双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的离心率
C．直线与的斜率之积是2D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则
【变式3】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（ ）
A．直线的斜率为B．的离心率为2
C．到上最近点的距离为D．
【题型三】抛物线标准方程及其性质
【例1】已知抛物线上的点M与焦点F的距离为6，则M到y轴的距离为（ ）
A．B．C．2D．4
【例2】已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例3】已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ．
【变式1】已知定点，点在抛物线上，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2】已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上.若M的横坐标为1，且，则p的值为（ ）
A．B．1C．2D．4
【变式3】已知抛物线的焦点为，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【题型四】焦点三角形
【例1】（多选）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ）
A．B．离心率为
C．的面积为6D．的面积为12
【例2】设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（ ）
A．B．12C．D．6
【变式1】设双曲线 的左，右焦点分别为F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 P ，直线 PF1与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q .若点Q 恰好为线段PF1的中点，则直线 PF2的斜率的值为（ ）
A．−2B．C．D．
【变式2】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（ ）
A．20B．10C．D．
【题型五】中点弦
【例1】已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例2】已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【题型六】离心率
【例1】已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【例2】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于点，交的右支于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】．A，B分别为双曲线的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数．若C的离心率为2，则该常数为（ ）
A．B．C．D．3
【变式2】已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是 .
【题型七】直线与圆锥曲线位置关系
【例1】已知椭圆，直线经过的两个顶点．
(1)求的方程；
(2)若为上一动点，过点作圆的两条切线分别交于两点，证明：直线过原点．
【例2】已知双曲线过点，渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点.
（i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率；
（ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上.
【例3】已知是抛物线上一点，以点为圆心，2为半径的圆过的焦点．按如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于另一点，点为关于轴的对称点．
(1)求的方程；
(2)令，证明是等差数列，并求其通项公式；
(3)设是的面积，求证：．
【变式1】已知椭圆的右焦点为，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作直线l与椭圆E交于不同的两点A，B．设，直线BC与直线交于点N，求证：直线AN的斜率为定值．
【变式2】已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若的离心率为2，求.
(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.
(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.
【变式3】已知椭圆过点，且的右焦点为．
(1)求的方程；
(2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点．
（i）证明：直线平分；
（ii）若的面积等于的面积，求的坐标．
易错点：圆锥曲线中和差距离最值问题
例1．设椭圆的左焦点为，点在上，则的最小值为 ，最大值为 ．
例2．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 .
例3．已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
变式1．已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
变式2．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ．
变式3．已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 .
1、已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型；
2、焦点位置不确定的要分类讨论，找准与,正确利用求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是，，，而应是，，．
1、已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型；
2、焦点位置不确定的要分类讨论，找准与,正确利用求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是，，，而应是，，．
1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq \f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq \f(p,2)．
3、抛物线的标准方程求法
（1）定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
（2）待定系数法：根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；焦点位置不确定时要注意分类讨论．
1、椭圆的焦点三角形：
性质1：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a.（两个定义）
∆AF1F2的周长为AF1+AF1+F1F2=2a+2c；∆ABF1的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a
性质2：4c2=F1F22=AF12+AF22−2AF1AF2csθ（余弦定理）
2、在双曲线的“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
1、椭圆的中点弦
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有．
2、双曲线、抛物线的中点弦与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
（1）和易求，由求得离心率．
（2）在椭圆中，，故；在双曲线中，，故．因此，求出和的比值即可求出的值，反之亦然．
（3）和不易求，和的比值不易求，但是以条件可求出，，的关系式，从而得到齐次式，等号两边同时除以，得到关于的方程，求解即可．注意根据的取值范围进行检验．
1、直线与圆锥曲线的位置关系判断主要依靠联立直线与曲线方程，通过判别式来确定，但要注意双曲线与抛物线中只有一个交点时的特殊情况．
2、弦长公式
设，，根据两点距离公式．
（1）若，在直线上，代入化简，得．
（2）若，在直线上，代入化简，得．
（3）构造直角三角形求解弦长．其中为直线斜率，为直线倾斜角