2024届新高考数学专题复习-抽象函数（专题资料）

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一、抽象函数必背知识
1.是偶函数;是奇函数.
2.若函数在处有意义，则.
3.若 满足对任意实数a,b都有,则是奇函数;
4.若满足对任意实数a,b都有，则是奇函数.
5.若的定义域，且对任意，都有，则是偶函数.
6.若的图象关于直线对称,则或
7.若的图象关于点对称,则或
8.函数满足对定义域内任一实数都有（其中为非零常数）,
①，则是以为周期的周期函数；
②，则是以为周期的周期函数；
③，则是以为周期的周期函数；
④，则是以为周期的周期函数；
⑤，则是以为周期的周期函数.
⑥，则是以为周期的周期函数.
⑦，则是以为周期的周期函数
9.若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
10.若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
11.若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
12.对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．
13.增函数与减函数的等价形式：若，且，在上是增函数；在上是减函数.
14.复合函数的单调性可简记为“同增异减”.
15.若奇函数在区间上是增函数，则在区间上也是增函数；若偶函数在区间上是增函数，则在区间上是减函数.
16.判断抽象函数的单调性,一般根据定义来判断,即在所给区间上,然后利用题中条件确定的大小.
17.解决周期性、奇偶性与单调性及图象的结合．问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,将涉及到的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,然后利用奇偶性和单调性求解．
二、近几年高考数学中的抽象函数真题
1.（2022新高考全国2卷）已知函数的定义域为R,且,
则（）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】解法一：因为,令可得,
所以,令可得,,即,
所以为偶函数,
令得,,
即有,两式相加得,
所以,,
所以是周期函数,其中一个周期为．
因为,
,
,
,
,所以
．由于22除以6余4,
所以．故选A．
解法二：由三角函数的和差化积公式及,
构造函数,可得的周期,且
．
由于22除以6余4,
所以．故选A．
2.（2020新高考山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,
所以在上也是单调递减,且,,
所以当时,,当时,,
所以由可得：
或或
解得或,
所以满足的的取值范围是,故选D.
3. （2021新高考全国2卷）已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数,
则,
可得,
因为函数为奇函数,
则,
所以,,
所以,,
即,
故函数是以为周期的周期函数,
因为函数为奇函数,则,
故,其它三个选项未知.故选B.
4. (2024·全国)已知函数为f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2), 且当x<3 时f(x)=x,
则下列结论中一定正确的是( )
A.f(10)>100 B.f(20)>1000
C.f(10)<1000 D.f(20)<10000
【解析】因为当x<3 时f(x)=x, 所 以f(1)=1,f(2)=2,
又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2),
则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,
f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,
f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,
f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377
f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,
f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000, 则依次下去可知f(20)>1000, 则B 正确；且无证据表明ACD一定正确,故选B.