备战2025年高考数学(新高考专用)抢分秘籍数列求和(五大题型)(学生版+解析)练习

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【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】利用公式法求和
【题型二】奇偶并项（分组）求和
【题型三】 列项相消求和
【题型四】错位相减法求和
【题型五】数列新定义
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：求和时项数，化简易错

：以选择题和填空题为主，偶尔出现在解答题中，难度中等偏上．通项主要考查等差数列和等比数列的通项公式，常结合递推关系求解通项。求和重点考查等差数列和等比数列的前项和公式，以及错位相减法、裂项相消法等求和方法．
：熟练掌握数列求和的几种常规方法，等差等比数列混合的时候弄清楚等差与等比数列的项数；数列与新定义结合的时候深刻理解新定义的定义是什么以及考察的知识点
【题型一】利用公式法求和
【例1】已知数列中，．
(1)求数列的前5项；
(2)若等差数列满足，求的前n项和．
【例2】已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，.
(1)求，的通项公式：
(2)求数列的前项和.
【变式1】记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（ ）
A．16B．18C．23D．25
【变式2】已知等比数列的公比，，．
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和．
【变式3】已知数列为等差数列，首项，公差．
(1)若，证明：是等比数列；
(2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值．
(3)若，求数列的前项和；
【题型二】奇偶并项（分组）求和
【例1】已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A．360B．480C．960D．1280
【例2】已知数列满足，记．
(1)证明：数列是等差数列．
(2)求的通项公式．
(3)求的前20项和．
【变式1】已知数列满足，且，该数列前20项和 ．
【变式2】已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
【变式3】已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，，
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【题型三】 列项相消求和
【例1】已知数列中，，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，为数列的前n项和，证明：.
【例2】已知为等差数列，前项和为，是首项为且公比大于的等比数列，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足：，且数列的前项和为，求证：．
【变式1】记数列的前项和为，已知.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和.
【题型四】错位相减法求和
【例1】已知等比数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
【变式1】已知数列满足．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【变式2】已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
【题型五】数列新定义
【例1】已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【例2】若数列满足，则称为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】若数列的各项均为正数，且，都有，则称数列具有“性质”，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则数列具有“性质”
B．若，则数列具有“性质”
C．具有“性质”的数列的前项和为
D．具有“性质”的数列的前项和为
【变式2】对于数列，若存在常数满足，则称为“上界数列”，为的“上界”，并把最小的值叫做“上界临界值”，记为．记数列的前项和为，已知，．
(1)判断是否为“上界数列”，并说明理由；
(2)若，为数列的前项和，求数列的“上界临界值”；
(3)若，数列的“上界临界值”为，证明：．
易错点：等差等比项数混淆
解题技巧：熟练掌握等差等比项数统计方法
例1．在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.则数列的通项公式为 .
变式1．已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
变式2．已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足
(1)求数列，的通项公式;
(2)若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和.
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）常用公式：
= 1 \* GB3 ①平方和公式：；
= 2 \* GB3 ②立方和公式：．
（4）如果一个数列通过适当分组可写成的形式，而数列，可利用公式求和或可转化能够求和的数列，进而分别求和，再将其合并从而得出原数列的和．
1、常见类型
（1）通项含有或或或；
（2）型；
（3）型；
（4）．
2、注意事项：
①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”；
②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇.若通项公式确定，则求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项;若通项公式不确定，则按照求偶的方式求奇即可；
③并项后要注意新数列的项数．
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
1、解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．