高二寒假数学自学（人教A）第13讲 排列与排列数（思维导图+3知识点+四大考点+过关检测）（解析版）

这是一份高二寒假数学自学（人教A）第13讲 排列与排列数（思维导图+3知识点+四大考点+过关检测）（解析版），共15页。试卷主要包含了排列，排列数，有限制条件排列问题常见类型等内容，欢迎下载使用。

一、排列
1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做个不同元素中取出个元素的一个排列。
排列定义的两个要素：一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”
2、相同排列：两个排列相同，当且仅当排列的元素相同，且元素的排列顺序也相同。
3、对排列概念的两个关注点：
（1）顺序性：每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列。
（2）选排列与全排列：在定义中规定，如果，一般称为选排列；如果，则称为全排列。
二、排列数
1、定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。
2、全排列：个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，且
阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。
3、排列数公式：
特别的：（且）；规定：
三、有限制条件排列问题常见类型
1、解有“相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。
2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。
3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法
解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主
【考点一：排列的意义与理解】
一、单选题
1．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（ ）
A．从10个人中选2人分别去种树和扫地
B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表
D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数
【答案】B
【分析】根据排列的定义判断即可.
【详解】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意；
对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意；
对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意；
对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意.
故选：B
2．（24-25高二上·全国·课前预习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
【答案】B
【分析】根据排列的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；
对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确；
对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；
对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误．
故选：B
3．（23-24高一上·北京西城·期中）将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第行的所有数的和为（，2，3，4，5），为，，，，中的最小值，则m的最大值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】根据题意，由5个1分布的列数不同情形进行讨论，即可确定的最大值.
【详解】解：依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定的最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则；
(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，
故,故；
(3)若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，
故，故；
(4)若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.
综上所述，；
另一方面，如下表的例子说明可以取到10.
故选：C.
【考点二：有关排列数的计算、化简、证明】
一、单选题
1．（24-25高二下·全国·课后作业）为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择．若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有（ ）
A．60种B．80种C．120种D．150种
【答案】C
【分析】由排列的概念求解即可.
【详解】甲、乙、丙三名学生每人从6种实践活动中选择1种，3人选择的实践活动不同，
则选法共有种．
故选：C
2．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据排列数的计算公式即可求解.
【详解】由排列数公式2），
可知.
故选：B.
3．（24-25高二上·山东东营·阶段练习）（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】根据排列数的计算即可求解.
【详解】.
故选：B
二、解答题
4．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得：
．
（2）证明：由排列数公式，可得．
5．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于的不等式；
（2）解不等式：.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解，
【详解】（1）依题意，有，，
由，得，即，
整理得，解得，所以，
又得，
所以的解集为.
（2）因为，
所以，即，
整理得，解得，故，
所以不等式解集为.
【考点三：相邻与不相邻的排队问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·河南·阶段练习）在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（ ）
A．24种B．48种C．96种D．120种
【答案】B
【分析】2个特殊的文物利用捆绑法，再与其他文物全排列即可.
【详解】先把2件特殊的文物放一起，看做一个整体与其余3个全排列，
共有种不同的排法，
故选：B
2．（24-25高二下·全国·课后作业）某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（ ）
A．8种B．12种C．16种D．24种
【答案】B
【分析】利用不相邻问题插空法即可求解.
【详解】先对剩下两个人进行全排列，有种，此时有3个空位置，再对甲、乙两人进行排列，有种，
根据分步乘法计数原理，共有种排法．
故选：B
3．（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（ ）
A．18种B．36种C．60种D．72种
【答案】C
【分析】利用定序倍缩法即可得解.
【详解】因为A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，且A须在B前面出场，
所以有种出场顺序.
故选：C
4．（24-25高二下·全国·课后作业）四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（ ）
A．288种B．144种C．96种D．72种
【答案】B
【分析】利用插空法和捆绑法求解即可.
【详解】第一步：先对2名女生进行排队，有种排法；
第二步：将除甲和乙之外的人进行排队，有种排法；
第三步：甲、乙采用插空的方式，有种排法．所以共有种．
故选：B.
5．（24-25高二上·河南·期中）如图，在两行三列的网格中放入标有数字、、、、、的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【分析】先考虑左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列，利用间接法可得出放法种数，同理可得出左边一列两个数字为和的放法种数，即可得解.
【详解】在、、、、、六个数字中，，
若左边一列两个数字为和，根据题意，、不能放在一列，
此时，不同的填数字的方法种数为，
所以，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种.
同理，若左边一列两个数字为和，符合条件的放法种数为种.
因此，满足条件的放法种数为种.
故选：C.
【考点四：排数问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·湖北·阶段练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的数共有（ ）个
A．48B．36C．32D．24
【答案】B
【分析】根据题意，分为两类：个位数字是0和个位数字是5，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，能被5整除的没有重复的三位数分成两类：
①个位数字是0，有；
②个位数字是5，先填百位再填十位，有种，
由分步计数原理，可得共有种.
故选：B．
2．（23-24高二下·重庆长寿·期末）3张卡片的正、反面分别写有数字1和2、3和4、5和6．将这3张卡片排成一排，可构成不同的三位数的个数为（ ）
A．120B．48C．8D．6
【答案】B
【分析】结合题意根据分步乘法计数原理求解即可.
【详解】“组成三位数”这件事，分2步完成：
第1步：确定排在百位、十位、个位上的卡片，即3个元素的一个全排列；
第2步：分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法.
根据分步乘法计数原理，共可以得到不同的三位数个.
故选：.
3．（23-24高二下·云南昆明·期中）从1，2，3，4，5，6中选出5个数字组成一个没有重复数字的五位数，其中1，2两数只能放在个位或者万位，能组成多少个这样的五位数？（ ）
A．144个B．96个C．72个D．36个
【答案】A
【分析】根据给定条件，按五位数中有1,2两个数和1,2之一分类，再按特殊元素法列式计算即得.
【详解】依题意，五位数中只有1，2之一，则有个五位数；
五位数中有1，2两个数，则有个五位数。
所以能组成符合要求的五位数个数是.
故选：A
4．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）用，，，，，这六个数字可以组成（ ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数”
A． QUOTE 108 108B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，分千位小于，千位为，百位小于，千位为，百位等于，当十位小于时，然后根据分类计数原理可得．
【详解】当千位小于时，有种，
当千位是，百位小于时，有种，
当千位是，百位是，十位小于时，有种，
由分类计数原理，可得小于的四位偶数共有，
故选：B.
5．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（ ）
A．192B．240C．360D．720
【答案】A
【分析】根据题意和首位非零的要求，将六位数分成三类，在每一类中，再运用相邻元素捆绑法求出方法数，最后根据分类加法计数原理即可求得.
【详解】依题意，可将这样的六位数分成三类：
第一类，首位是1，则第二位必须是4，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法；
第二类，首位是4，则第二位必须是1，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法；
第三类，首位从中人去一个，有种，再将看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排有种，
再考虑的顺序，有种，故由分步乘法计数原理，有种方法.
由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个.
故选：A.
一、单选题
1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，先把3个县捆绑在一起，看成一个整体，再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有种排法；
再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共种，
根据分步相乘计数原理，共有种排法．
故选：C．
2．（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（ ）
A．60种B．80种C．90种D．150种
【答案】B
【分析】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解.
【详解】当甲被选中时，不同的选派方案有种；
甲没被选中时，不同的选派方案有种.
故满足条件的不同的选派方案有种.
故选：B.
3．（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（ ）
A．6种B．12种C．18种D．24种
【答案】B
【分析】分领导在最左侧和最右侧，再结合全排列公式即可得到答案.
【详解】领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可，
则共有不同的站位顺序共有种.
故选：B.
4．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【分析】利用捆绑法可求得结果.
【详解】将本语文书捆绑、本数学书捆绑，
则相同科目的书相邻的排法种数为种.
故选：C.
5．（23-24高二下·广东东莞·期中）回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；则用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A．15B．30C．36D．72
【答案】C
【分析】分两类，第1类，用一个数字组成四位数的回文数，第2类，用两个数字组成四位数的回文数，求出相加可得答案.
【详解】分两类，
第1类，用一个数字组成四位数的回文数，有6个；
第2类，用两个数字组成四位数的回文数，
只需从这6个数字中任取2个数字，排在前两位（后两位由前两位顺序确定），
有个，
故全部4位回文数共有6+30=36个.
故选：C.
6．（23-24高二下·山西忻州·阶段练习）用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（ ）
A．48B．96C．60D．120
【答案】A
【分析】根据特殊位置优先安排，万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，最后根据定序问题求解即可.
【详解】万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，
则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为，
所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为．
故选：A.
7．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）由这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为（ ）
A．B．12C．18D．24
【答案】A
【分析】按个位数字是0和2分类求解即得.
【详解】当个位数字是0时，无重复数字的四位偶数的个数是，
当个位数字是2时，无重复数字的四位偶数的个数是，
所以不同的排法种数为.
故选：A
8．（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5760B．5660C．5642D．5472
【答案】D
【分析】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得.
【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种，
若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种，
则共有种．
故选：D.
9．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法
【答案】C
【分析】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可.
【详解】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，
此时，共有种不同的排法，故A错误；
B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，
此时，共有种不同的排法种数，故B错误；
C：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，
此时，共有种不同的排法种数，故C正确；
D：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，
此时，共有种不同的排法种数，故D错误.
故选：C．
二、多选题
10．（23-24高二下·全国·课堂例题）（多选）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
【答案】BC
【分析】根据排列的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；
对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确；
对于C，确定向量涉及顺序问题，是排列问题，C正确；
对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误．
故选：BC
11．（24-25高二上·甘肃白银·期末）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（ ）
A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种
B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为
C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为
D．“射”排在最后的培训方法种数为
【答案】BCD
【分析】利用捆绑法可判断AC；定序问题使用除法可判断B；先排“射”，然后全排可判断D.
【详解】对于A，先排“礼、射”有种，然后将“礼、射”看作一个元素，与其余4个全排有，
所以满足条件的培训方法种数为，故A项错误；
对于B，先全排有种，“数”和“乐”的顺序有2种，满足顺序排法相同，
所以满足条件的排法有种，故B项正确；
对于C，先排“御、书、数”有种，然后将“御、书、数”看作一个元素，与其余3个全排有，
所以满足条件的培训方法种数为，故C项正确；
对于D，先排“射”，然后其他5种全排，共有培训方法种数为，故D项正确．
故选：BCD
12．（24-25高二上·江西·阶段练习）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】按照乙安排在周一和乙不安排在周一分类讨论求解判断CD，先求出所有的排法，然后排除甲排在周一及乙排在周三的情况求解判断B，先求出周一不安排甲的排法数,再排除乙排在周三的情况求解判断A.
【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法；
若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法．
故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确．
间接法：（1）不管条件限制共有种不同的排法．
当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法；
当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法．
故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确．
（2）从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法，
其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的，
故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确.
故选：ABD
三、解答题
13．（2023高二·江苏·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)若，求x.
【答案】(1)720
(2)1
(3)x＝5
【分析】（1）（2）（3）利用排列数公式化简求值或列方程求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）由题设，则，
所以，则，
又，故.
14．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立；
（2）利用排列数公式化简可证得等式成立.
【详解】（1）证明：.
（2）证明：.
15．（2023高二·全国·专题练习）解不等式：；
【答案】
【分析】根据排列数公式得到不等式，解得即可.
【详解】因为，，，
所以不等式可化为，
解得，又，，
所以不等式的解集为．
16．（22-23高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式．
(1)=2；
(2).
【答案】(1)n=5
(2)x=8
【分析】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果；
（2）先利用排列数公式得到 ，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果.
【详解】（1）因为=2，
由，解得，
由原式可得，解得或或．
又因为，所以．
（2）因为