高二寒假数学自学（人教A）第08讲 导数中构造函数的应用（思维导图+3知识点+四大考点+过关检测）（原卷版）

这是一份高二寒假数学自学（人教A）第08讲 导数中构造函数的应用（思维导图+3知识点+四大考点+过关检测）（原卷版），共8页。试卷主要包含了构造函数解不等式解题思路，构造函数解不等式解题技巧等内容，欢迎下载使用。

一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1、同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln?ex(x?R),x=eln?x(x>0)将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2、对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
3、常见的构造函数有
（1）与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
二、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
三、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于，构造
模型2.对于不等式，构造函数.
模型3.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型4.对于不等式，构造函数
模型5.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型6.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造
（2）若，则构造
模型8.对于，构造.
模型9.对于，构造.
模型10.（1）对于，即，
构造．
（3）对于，构造．
模型11.（1） （2）
【考点一：构造函数比较大小】
一、单选题
1．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·江苏苏州·期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数的最大值为a，令，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【考点二：构造函数解不等式】
一、单选题
1．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
5．（23-24高二下·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【考点三：构造函数求参数的最值(范围)】
一、单选题
1．（24-25高二上·云南·阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
2．（24-25高二上·安徽六安·阶段练习）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若存在实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
4．（23-24高二下·河南安阳·期中）若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·浙江·模拟预测）已知对恒成立，则的最大值为（ ）
A．0B． C．eD．1
【考点四：构造函数证明不等式】
一、解答题
1．（24-25高二下·全国·课堂例题）当时，求证：．
2．（23-24高二上·北京·阶段练习）已知函数 在处的切线方程为．
(1)求的值;
(2)求证：恒成立．(参考数据：
3．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
4．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数，．
(1)证明：．
(2)证明：．
(3)若，求的最大值．
5．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
6．（2024高二·全国·专题练习）已知，函数.
(1)当时，求证：；
(2)若，求的取值范围.
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．（2024·山东威海·一模）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若存在正实数满足：，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
5．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知是定义在上的导函数，同时，对任意，则必有（ ）
A．B．
C．D．
7．（24-25高二上·重庆·期中）设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）设，,，则下列大小关系正确的是 （ ）
A．B．C．D．
9．（重庆市2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题）已知，若，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（24-25高二上·安徽·期中）已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ．
11．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知函数，，若，，则的最小值为 ．
三、解答题
12．（2024高二·全国·专题练习）当时，证明：.
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，.
14．（24-25高二上·四川·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，证明：.
15．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
【考点一：构造函数比较大小】
【考点二：构造函数解不等式】
【考点三：构造函数求参数的最值(范围)】
【考点四：构造函数证明不等式】
模块四 小试牛刀过关测
1.了解需要构造函数的一般形式.
2.掌握指对同构在写题中的应用.