高二寒假数学自学（人教A）第14讲 组合与组合数（思维导图+4知识点+六大考点+过关检测）（解析版）

这是一份高二寒假数学自学（人教A）第14讲 组合与组合数（思维导图+4知识点+六大考点+过关检测）（解析版），共27页。试卷主要包含了组合，组合数与组合数公式，排列与组合的相同点与不同点等内容，欢迎下载使用。

一、组合
1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。
2、两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。
3、对组合概念的两点说明：
（1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出；
（2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。
二、组合数与组合数公式
1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。
2、组合数公式：（，且）
3、组合数的性质：
（1）； （2）； （3）规定
三、解答有限制条件的组合应用题的基本方法
1、直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先选取特殊元素，再选取其他元素。
2、间接法：选择间接法的原则是“正难则反”，若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，可以考虑从反面问题入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键。
四、排列与组合的相同点与不同点
1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素”
2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排雷问题，若无影响，则是组合问题。
【考点一：组合的意义与理解】
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏徐州·期中）一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意由组合数公式计算可得.
【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球，
从中取个球，则有种取法．
故选：D．
2．（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
【答案】C
【分析】根据排列和组合的概念可确定选项.
【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题.
B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题.
C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题.
D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题.
故选：C.
二、解答题
3．（2024高二下·全国·专题练习）判断下列问题是排列问题还是组合问题.
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不同的分数？
(3)若已知集合，则集合的子集中有3个元素的有多少？
(4)在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
【答案】(1)组合问题
(2)排列问题
(3)组合问题
(4)排列问题；组合问题
【分析】由排列和组合的定义，对题目中的情况进行判断.
【详解】（1）4张票是相同的（都是当日动物园的门票），不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关，是组合问题.
（2）选出的2个数分别作为分子和分母，结果是不同的，是排列问题.
（3）已知集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题.
（4）飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题；票价只与两站的距离有关，故求票价的种数是组合问题.
【考点二：有关组合数及其性质的计算、化简、证明】
一、单选题
1．（23-24高二下·河南·阶段练习）从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用分步乘法计数原理，第一步从3件次品中选2件次品，第二步从5件正品中选3件正品，由此可得．
【详解】根据题意，先从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法，
再从5件正品中抽取3件正品，有种抽取方法，
则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种.
故选：C.
2．（24-25高二下·全国·课后作业）若，则的值为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【分析】根据题意，利用组合数的公式，列出方程求得，结合组合数的计算公式，即可求解.
【详解】由，所以，可得，解得，
所以．
故选：C.
3．（24-25高二上·甘肃武威·期中）某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（ ）
A．3，5B．2，5C．5，3D．6，2
【答案】A
【分析】先设男生女生人数，再根据已知列式，结合排列数及组合数的计算即可解.
【详解】设男生人数为，则女生人数为，
由题意可知，即，即，
解得，所以男、女生人数为.
故选:A.
二、填空题
4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知组合数，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用组合数的计算展开不等式求解即可；
【详解】不等式，
即不等式，
解得，又因且为正整数，
所以原不等式的解集为．
故答案为：.
三、解答题
5．（22-23高二下·河北石家庄·阶段练习）若，求m.
【答案】或
【分析】根据题意，利用组合数的计算公式，求得，进而求得实数的值.
【详解】依题意，得且，所以，
由，可得，即，解得，
又因为，所以或.
6．（24-25高二上·江西·阶段练习）按要求完成下列问题：
(1)从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，试判断与的大小关系，并证明你的结论；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)或2021.
【分析】（1）利用组合数的计算公式证明即可；
（2）利用第一问的结论及组合数的性质计算即可.
【详解】（1），
证明如下：由题，，，
则
．
（2）原式
，
所以或2021.
7．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）（1）计算：；(请用数字作答)
（2）解关于正整数n的方程：
【答案】（1）448；（2）
【分析】（1）利用组合数的性质将原式化简重组即可求得结果；
（2）先利用组合数性质化简，再运用组合数和排列数公式展开计算即可求得.
【详解】（1）原式
；
（2）由化简得
展开得，
因，故可化简得：，
解得或 (舍)，故方程的正整数解为.
8．（23-24高二上·上海·课后作业）解关于正整数x的方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解.
【详解】（1）x为正整数，
由可得或，
故或，解得或或或（舍去），
又均为整数，且，
所以或符合要求，不符合要求，
故或
（2）由组合数的性质可得，
所以由可得，进而可得，
解得或（舍去），
由于，所以，故只取，舍去，
【考点三：有限制条件的组合问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课前预习）甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有（ ）
A．27种B．18种C．36种D．48种
【答案】A
【分析】分甲选生物和甲不选生物讨论即可.
【详解】当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有（种）；
当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙的选法有（种），
则甲、乙总的选法有（种）．
故选：A.
2．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（ ）
A．20B．30C．22D．40
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用两个基本原理，结合组合计数问题列式计算即得.
【详解】选出的志愿者中，有2个女生2个男生时，选法种数为种，
有3个女生1个男生时，选法种数为种，
所以不同选法有种.
故选：C
3．（24-25高二下·全国·课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（ ）
A．80种B．90种C．100种D．120种
【答案】C
【分析】结合分类加法和分步乘法计数原理，利用组合数即可求得.
【详解】若恰有1名女生参加，则有种，
若恰有2名女生参加，则有种，
所以共有种不同的选派方式．
故选：C.
4．（24-25高二上·甘肃白银·期末）袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（ ）
A．12B．24C．36D．48
【答案】C
【分析】根据袜口和脚趾颜色是否相同进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】若袜口和脚趾颜色相同，则有种，
若袜口和脚趾颜色不同，则有种，
共有种．
故选:C
5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．24种
【答案】D
【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的一人在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即可得到答案.
【详解】要使四人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：
第一步，先从四人中任选三人，有种方法；
第二步再选这三人所在的区域，有种方法；
第三步，将另外一人从余下的两个区域里任选，有种方法.
由分步乘法计数原理，共有种方法.
故选：D.
6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为，若，，，则这样的数列共有（ ）
A．70个B．71个C．80个D．81个
【答案】B
【分析】先分类，再分步，根据加法原理以及乘法原理、组合数即可求解.
【详解】若，则这样的数列有个；
若，则这样的数列有个；
若，则这样的数列有个，
所以满足条件的数列共有个，
故选：B．
7．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114B．120C．126D．132
【答案】A
【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.
【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，
所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.
第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法；
第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法；
第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方法；
第四类：值班3天在时，共有种不同的值班方法；
综上可知三位老师在国庆节7天假期共有种不同的值班方法.
故选：A
8．（23-24高二下·安徽·期中）已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有（ ）
A．36种B．52种C．88种D．92种
【答案】D
【分析】有2名演员既会京剧也会豫剧，分既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均没有选中、若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人选中1人、若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中讨论，结合组合知识可得答案.
【详解】分析可得：有2名演员既会京剧也会豫剧，称为能手
（1）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均没有选中，
此时只会唱京剧的3人全部选中，只会唱豫剧的4人选择3人，共种选择；
（2）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人选中1人，有种选择，
此人去进行唱京剧，则从只会唱京剧的3人选择2人，只会唱豫剧的4人选择3人，
有种选择，
此人去进行唱豫剧，则从只会唱京剧的3人全部选中，只会唱豫剧的4人选择2人，
有种选择，
此时共有种选择；
（3）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中，
2人均进行唱京剧，则从只会唱京剧的3人选择1人，只会唱豫剧的4人选择3人，
有种选择，
2人均进行唱豫剧，则从只会唱京剧的3人选择3人，只会唱豫剧的4人选择1人，
有种选择，
2人有1人进行唱京剧，1人进行唱豫剧，有 QUOTE A22=2 A22=2种选择，
再从只会唱京剧的3人选择2人，只会唱豫剧的4人选择2人，有种选择，
此时有种选择，
所以若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中，有种选择，
综上：共有种选择.
故选：D.
【考点四：几何中的组合问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·广东广州·期末）以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（ ）
A．70B．64C．58D．24
【答案】C
【分析】利用平行六面体的性质，结合构成四面体的4个顶点不共面，先求8个顶点任选4个顶点的总数，再去掉4个顶点共面的情况，即为所求平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数.
【详解】由题意知：要使平行六面体的顶点为顶点构成四面体，则4个顶点不共面，
1、8个顶点任选4个，有种，
2、8个顶点任选4个，共面的有12种，
∴以平行六面体的顶点为顶点的四面体有个.
故选：C
2．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有（ ）．
A．36条B．30条C．21条D．18条
【答案】C
【分析】根据题意，先计算所有的情况数，然后减掉不符合要求的情况数，即可得到结果.
【详解】在小圆上确定3个点，两两连接三个点，并延长交外圆于6个点，
下面确定这9个点确定的直线条数，
从9个元素中任取两个共有种结果，
其中有3组四个点在同一条直线上，所以要减去，
这样多减了3条线，
所以共有条.
故选：C．
3．（23-24高二下·河北唐山·期中）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ）
A．35B．34
C．31D．30
【答案】C
【分析】由间接法，从所有三角形中减去不能构成三角形的情况计算即可.
【详解】从这七个点任意选取三个点有个，
其中共线的四点中有个不能构成三角形，
所以不同的三角形个数有31个，
故选：C.
4．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 .
A．90B．85C．80D．75
【答案】A
【分析】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内，所以交点的个数就是四边形的个数，再由组合数计算即可；
【详解】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内，
所以交点的个数就是四边形的个数，即个，
故选：A.
5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）使方程组至少有一个解，且所有的解都是整数解的实数对的个数是（ ）
A．66B．78C．72D．70
【答案】C
【分析】首先确定圆上的整点，直线与圆相交过两个整点且不过原点，也可与圆相切过一个整点，每条直线对应一对,分类计数即可.
【详解】解：因为且，
所以，，，共12组整数解，
对应12个整点，即，，，，，
，，，，，，.
又因为表示不经过原点的直线，
所以当直线与圆相交于两个整点时，共有条直线，
且对应有实数对的个数为；
当直线与圆相切于一个整点时，共有条直线，
且对应有实数对的个数为；
综上符合要求的实数对的个数为.
故选：C.
6．（23-24高二下·四川眉山·期末）一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（ ）对异面直线
A．174B．180C．210D．368
【答案】B
【分析】分析底面是梯形的直四棱柱中，任取4个顶点能构成四面体的最多个数，再利用一个四面体有3对异面直线，列式计算即得.
【详解】每对异面直线，需4个顶点并且这4个顶点不共面，而不共面的4个点顺次连接构造一个四面体，
一个四面体的3组相对棱都是异面直线，底面是梯形的直四棱柱有8个顶点，
从8个顶点中任取4个有种方法，其中6个表面四边形4个顶点共面，
对角面都是平面四边形，4个顶点共面，
因此从底面是梯形的直四棱柱的8个顶点中任取4个顶点，构成四面体的个数最多有，
所以最多能组成异面直线对数是.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题求出异面直线对数的关键是求出最多的四面体个数.
【考点五：分组分配问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·河南洛阳·期中）洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（ ）
A．90种B．150种C．240种D．300种
【答案】B
【分析】将5名志愿者分为1，2，2和1，1, 3两种情况, 再进行排列即可
【详解】将5名志愿者分为1，2，2，则有 种分法，
将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法，
则不同的分配方案有种.
故选：B.
2．（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ）
A．630种B．840种C．1470种D．1480种
【答案】C
【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解.
【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配，
故总的分配方案有种．
故选：C
3．（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A．90B．150C．390D．420
【答案】C
【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可.
【详解】若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种，
若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种，
若人都被录用，满足条件的录用情况有种，
由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是.
故选：C.
4．（23-24高二下·河北·阶段练习）暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（ ）
A．540B．720C．1080D．1170
【答案】D
【分析】根据排列组合知识结合分组问题求解即可.
【详解】因为甲没有选景点，所以甲有种选法，
其余5名学生可以选3个景点或4个景点.
当其余5名学生选3个景点时，有种选法；
当其余5名学生选4个景点时，有种选法.
故共有种不同的选法.
故选：D.
5．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ）
A．1280B．300C．1880D．1560
【答案】D
【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解.
【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2．
当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法；
当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法．
故不同安排方法有种．
故选：D.
6．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A．82B．100C．124D．164
【答案】C
【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余6个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可．
【详解】若小王在甲号路口，小李在乙号路口，则剩余6个人分到两个路口，
两个路口为人分布，共有种方案，
两个路口为人分布，共有种方案，
两个路口为人分布，共有种方案，
此时共有种方案；
同理若小王在甲号路口，小李在乙号路口，也共有种方案．
所以一共有种不同的安排方案种数．
故选：C．
【考点六：排列组合综合问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·河南·期中）现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（ ）
A．14种B．18种C．12种D．7种
【答案】A
【分析】先求出5人中选出2人分别做调料师和营养师，再求出没有女厨师被选中的选法，两个选法数相减可得至少有1名女厨师被选中的方法数.
【详解】从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，共有20（种），没有女厨师被选中的选法共有（种），
故至少有1名女厨师被选中的不同选法有（种）.
故选：A.
2．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）某中学安排4位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
【答案】C
【分析】利用排列组合知识计算即可.
【详解】三个项目均有学生观看，四位同学分三组，
根据题意，其中有两人看一个项目，所以安排方案有种.
故选：C
3．（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ）
A．630种B．840种C．1470种D．1480种
【答案】C
【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解.
【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配，
故总的分配方案有种．
故选：C
4．（23-24高二下·山东菏泽·期中）将3种植物种植在如图所示的4块试验田内，每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有（ ）
A．24种B．21种C．18种D．12种
【答案】C
【分析】根据题意，分2步进行分析：①在3种植物中选出1种，安排在4块试验田中不相邻的两块，②剩下的2种植物安排在剩下的2块试验田，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2步进行分析：
①在3种植物中选出1种，安排在4块试验田中不相邻的两块，有种情况，
②剩下的2种植物安排在剩下的2块试验田，有种情况，
则有种不同的种植方法．
故选：C．
5．（23-24高二下·天津北辰·期中）从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．48B．30C．24D．6
【答案】B
【分析】考虑到百位数字非零的限制，将三位奇数分成三类，分别用排列组合数表示方法数，最后运用分类加法计数原理计算即得.
【详解】依题意，这样的三位奇数分为三类：
①元素0被选中，则应放在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有种方法；
②元素2被选中，则可放在百位或十位，再从1，3，5中选两个数字排在余下的两个数位，有种方法；
③元素4被选中，与②情况相同，有种方法.
由分类加法计数原理可得，奇数的个数为个.
故选：B.
6．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）有10只不同的实验产品，其中有4只次品，6只正品.现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，则错误的是（ ）
A．最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不同情形有24种
B．最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有576种
C．所有次品正好是第六次测试时被全部查出的不同情形有7200种
D．4只次品全测出至多需要九次测试
【答案】C
【分析】利用计数原理以及排列组合相关知识逐项分析即可.
【详解】最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不同情形有种 ，故A正确；
最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有种，故B正确；
所有次品正好是第六次测试时被全部查出的不同情形有种，故C错误；
因为共有10只不同的实验产品，所以4只次品全测出至多需要九次测试，故D正确.
故选：C.
7．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【分析】分别考虑甲负责个任务和甲负责个任务的情况，结合甲不负责，可得答案.
【详解】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务.
若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，
则此时的分配方法共有种；
若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，
则此时的分配方法共有种；
综上，满足题意的分配方法共有种.
故选：C.
8．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有（ ）种
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用排除法列式计算得解.
【详解】从这人中任选人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员有种方法，其中甲乙两人都入选的方法为种.
所以甲乙两人不都入选的不同选法共有种.
故选：C
9．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（ ）
A．50B．64C．66D．78
【答案】A
【分析】以“宫”的顺序将音阶排序分为四类，再考虑“商”“角”顺序，运用排列组合知识可得答案.
【详解】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取音阶，
排成的音序有种；
②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取音阶，
排成的音序有种；
③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶，
排成的音序有种；
④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶，
排成的音序有种.
由分类加法计数原理可知，一共有种排法.
故选：A.
一、单选题
1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（ ）
A．21B．35C．70D．126
【答案】A
【分析】先让两端的两盏灯亮着，再点亮中间11盏中的6盏，6盏灯有7个空，利用插空法即可求解.
【详解】让两端的两盏灯亮着，再点亮中间11盏中的6盏，
6盏灯有7个空格，从7个空格中随机的选5个空格，
因为灯是没有顺序的，所以共有种，
故选：A.
2．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）2024年2月，贵州省多点爆发山火，给国家和当地人民带来了巨大的财产损失.为帮助兄弟省份有效控制火势继续蔓延，省政府决定让我市抽派3名志愿者去支援抗火.目前6名志愿者中有男性4名女性2名，至少抽派到1名女性的方法数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分有1名女生、2名女生计算求解即可.
【详解】6名志愿者中有男性4名，2名女性，
至少抽派到1名女性的方法数是.
故选：C.
3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）甲辰龙年新年伊始，“尔滨”成为旅游城市中的“顶流”，仅元旦假期，哈尔滨接待游客突破300万人次，实现旅游收入59亿元，冰雪大世界更是游客们必去打卡点之一.小于、小智等5个“南方小土豆”决定在冰雪大世界的雪花摩天轮、超级大滑梯、急速雪圈、雪地旋转4个项目中选择1个项目优先游玩体验.若每个项目至少有1个“小土豆”去优先体验，每个“小土豆”都会选择1个项目优先体验，且小于、小智都单独1人去某1个项目，则不同的优先游玩体验方法有（ ）
A．36种B．72种C．84种D．96种
【答案】B
【分析】先优先单独安排玩一个项目的2个“小土豆”，再将剩下3个“小土豆”分成两组，共有，最后再排列即可，这里还用到分步计数乘法原理.
【详解】小于与小智单独选择1个项目有种方法，剩余3个“小土豆”有种方法，
根据分步乘法计数原理得共有种方法．
故选：B．
4．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．286B．285C．219D．218
【答案】B
【分析】利用组合数性质计算可得答案.
【详解】由，得或，
解得（舍）或，
则
.
故选：B.
5．（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（ ）
A．18B．17C．16D．15
【答案】C
【分析】计算出从七个点中任意选两个点的总条数，再减去四点共线重复的直线条数，可得结果.
【详解】根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有种，
其中四点中任意选两点只能作一条直线，有种重复，
所以所得直线的条数为种.
故选：C
6．（23-24高二下·湖北·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次．比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（ ）
A．72B．78C．96D．120
【答案】B
【分析】讨论甲是否在第5名，根据排列组合公式计算即可.
【详解】当甲是第5名时，共有种；
当甲不是第5名时，共有种；
综上，共有78种.
故选：B
7．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知且，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，
所以，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C
8．（23-24高二下·湖北·期中）2024年元旦期间，哈尔滨这座冰城火爆出圈，成为旅游城市中的顶流．某班级6位同学也准备趁着春节假期共赴一场冰雪之约，这6位同学准备在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪纪念塔三个景点中游玩，已知6位同学都会进行选择且只能选择其中一个景点，并且每个景点至少一位同学会选，则不同的选法总数为（ ）
A．240B．360C．420D．540
【答案】D
【分析】利用组合数的性质结合分类加法计数原理求解即可.
【详解】若三个景点选择人数之比为，共有种选法，
若三个景点选择人数之比为，共有种选法，
若三个景点选择人数之比为，共有种选法，
由分类加法计数原理得共有种选法，故D正确.
故选：D
9．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A．180种B．336种C．720种D．1440种
【答案】C
【分析】分个新节目在一起、个新节目有两个相邻、个新节目都不相邻三种情况讨论，利用插空法计算可得.
【详解】①若个新节目在一起，则有种插法；
②若个新节目有两个相邻，则有种插法；
③若个新节目都不相邻，则有种插法；
综上一共有种不同的插法.
故选：C
10．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如图，一个椭圆形花坛分为A，B，C，D，E，F六个区域，现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同．现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择，B区域必须种红花，则不同的种法种数为（ ）

A．156B．144C．96D．78
【答案】A
【分析】依题意对、、、区域所选颜色分三种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】除B区域外，其他区域的种法分三类：
第一类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色，A区域选红色，有种不同的种法;
第二类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的3种，
C，F同色或D，E同色，A区域有2种选法，有种不同的种法;
第三类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的2种，
C，F同色且D，E同色，A区域有3种选法，有种不同的种法．
综上可得，共有（种）不同的种法．
故选：A
11．（23-24高二下·安徽·阶段练习）将编号为1，2，3，4，5，6的小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有一个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A．90B．135C．264D．270
【答案】C
【分析】使用间接法结合计数原理可求出结果．
【详解】解：根据题意，有且只有1个盒子的编号与放入的小球编号相同，
在六个盒子中任选1个，放入与其编号相同的小球，有种选法，
剩下的5个盒子的编号与放入的小球编号不相同；
因为所有排列方法有种，
其中4个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种数为种，
3个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种数为种，
2个盒子的编号与放入的小球编号不相同的放法种数为种，全部都对上的有1种.
综上，则不同的放法种数为：种放法．
故选：C
12．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在某次高峰论坛中，有2名科学家，2名企业家，3名国际负责人要进行主题演讲交流.若3名国际负责人的演讲顺序不相邻且2名企业家不在第一个演讲，则不同的演讲顺序共有（ ）
A．1152种B．1040种
C．864种D．288种
【答案】A
【分析】分类讨论当第一个演讲安排科学家、国际负责人时，结合插空法和分类、分布计数原理计算即可求解.
【详解】因为2名企业家不在第一个演讲，所以第一个演讲可安排科学家或国际负责人.
当第一个演讲安排科学家时，则有种方法，
剩下的1名科学家和2名企业家全排列，有4个空，
将3名国际负责人插入4个空中，共有种方法，
此时共有种方法；
当第一个演讲安排国际负责人时，则有种方法，
而2名科学家和2名企业家全排列，有5个空，
将2名国际负责人插入到除了第2个空外的4个空中，共有种方法，
此时共有种方法，
所以共有种方法.
故选：A
13．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（ ）
A．38B．42C．50D．56
【答案】C
【分析】根据参加接待工作的人数分类讨论，先分组再分配，结合排列组合即可求解.
【详解】（1）如果参加接待工作只有一人，则只能为甲，
再把其余4人分组有两类情况：和.
把4人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法，
因此不同分组方法数为，
再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法，
所以不同分配方法种数是.
（2）如果参加接待工作有2人，则除了甲之外，还需要再安排一人有种情况，
再把其余3人分组成，有种分组方法，
再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法，
所以不同分配方法种数是.
（3）如果参加接待工作有3人，则除了甲之外，还需要再安排两人有种情况，
再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法，
所以不同分配方法种数是.
综上，不同的志愿者分配方案的种数是.
故选：C.
二、多选题
14．（22-23高二下·江苏·单元测试）下列是组合问题的是（ ）
A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？
【答案】ABC
【分析】根据有无顺序即可判断是否是组合.
【详解】A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关；
B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；
C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；
D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．
故选:ABC．
15．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有种
B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种
【答案】CD
【分析】根据分步乘法计数原理、排列数和组合数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】不同的安排方法共有种，故选项A错误；
若恰有一项工作无人去参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数，
则不同的安排方法共有种，故选项B错误；
若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，
此时先从丙、丁两人中，选人或人安排到项工作，然后再安排剩余的人到项工作，
则不同的安排方法共有种，故选项C正确；
学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班，
每个班至少一个名额，采用挡板法，有种方法；故选项D正确．
故选：CD
16．（23-24高二下·吉林·期中）下列说法正确的为（ ）
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；
B．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有540种不同的分法；
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法．
【答案】AC
【分析】用分步乘法原理判断AB，用隔板法判断C，先组合再排列判断D.
【详解】对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙，
最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确；
对于B，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有1种不同的分法，故B错误；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种，故C正确；
对于D，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组，
最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人，
共有种，故D错误；
故选：AC.
17．（23-24高二下·广东江门·期末）在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段
B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个
C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个
D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个
【答案】ABD
【分析】利用几何组合计数问题，结合正方体及直三棱柱、三棱锥、四棱锥的构造特征，列式计算即得.
【详解】对于A，每两点确定一条线段，则正方体的8个顶点可确定不同的线段有条，A正确；
对于B，直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等，因此直三棱柱两底面在正方体相对面上，
以正方形的顶点为顶点的三角形有4个，从而正方体的一组相对面对应的直三棱柱有4个，
因此以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有个，B正确；
对于C，正方体顶点任取4个点，共有种选法，
其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，因此三棱锥共有个，C错误；
对于D，由选项C，知正方体四点共面的情况有12种，每一种情况，余下每个点对应1个四棱锥，
因此四棱锥共有，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
18．（23-24高二下·湖北·期中）若，则正整数的值为 .
【答案】5
【分析】利用组合数性质化简方程，根据组合数性质解方程即可.
【详解】由组合数性质：，可得，则，
所以或，解得或（舍）.
故答案为：5
19．（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）满足等式的所有整数x组成的集合为 .
【答案】
【分析】由组合数公式的性质列式求解．
【详解】由，
得，或，
解得：或
故答案为：
四、解答题
20．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）（1）解不等式；
（2）解方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用组合数的性质可得答案；
（2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案.
【详解】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得.
进一步变形为.
根据阶乘的性质，则.
约分后得到，解这个不等式得.
又因为且（组合数中的取值范围要求），即且，
综合可得或，故不等式解集为.
（2）原方程可化为，即，
∴，∴，
∴，解得或，经检验：是原方程的解.
故方程解集为
21．（23-24高二上·江西·期末）已知，．
(1)证明： ；
(2)证明： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由组合数公式计算即可；
（2）由组合数公式计算即可.
【详解】（1）因为，
，
所以；
（2）因为，
，
所以．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
【考点一：组合的意义与理解】
【考点二：有关组合数及其性质的计算、化简、证明】
【考点三：有限制条件的组合问题】
【考点四：几何中的组合问题】
【考点五：分组分配问题】
【考点六：排列组合综合问题】
模块四 小试牛刀过关测
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系；
2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算；
3.会解决一些简单的组合问题。
第一试验田
第二试验田
第三试验田
第四试验田