高二寒假数学自学（人教A）第14讲 组合与组合数（思维导图+4知识点+六大考点+过关检测）（原卷版）

这是一份高二寒假数学自学（人教A）第14讲 组合与组合数（思维导图+4知识点+六大考点+过关检测）（原卷版），共10页。试卷主要包含了组合，组合数与组合数公式，排列与组合的相同点与不同点等内容，欢迎下载使用。

一、组合
1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。
2、两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。
3、对组合概念的两点说明：
（1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出；
（2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。
二、组合数与组合数公式
1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。
2、组合数公式：（，且）
3、组合数的性质：
（1）； （2）； （3）规定
三、解答有限制条件的组合应用题的基本方法
1、直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先选取特殊元素，再选取其他元素。
2、间接法：选择间接法的原则是“正难则反”，若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，可以考虑从反面问题入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键。
四、排列与组合的相同点与不同点
1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素”
2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排雷问题，若无影响，则是组合问题。
【考点一：组合的意义与理解】
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏徐州·期中）一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
二、解答题
3．（2024高二下·全国·专题练习）判断下列问题是排列问题还是组合问题.
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不同的分数？
(3)若已知集合，则集合的子集中有3个元素的有多少？
(4)在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
【考点二：有关组合数及其性质的计算、化简、证明】
一、单选题
1．（23-24高二下·河南·阶段练习）从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·全国·课后作业）若，则的值为（ ）
A．12B．14C．16D．18
3．（24-25高二上·甘肃武威·期中）某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（ ）
A．3，5B．2，5C．5，3D．6，2
二、填空题
4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知组合数，则关于的不等式的解集为 ．
三、解答题
5．（22-23高二下·河北石家庄·阶段练习）若，求m.
6．（24-25高二上·江西·阶段练习）按要求完成下列问题：
(1)从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，试判断与的大小关系，并证明你的结论；
(2)若，求的值．
7．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）（1）计算：；(请用数字作答)
（2）解关于正整数n的方程：
8．（23-24高二上·上海·课后作业）解关于正整数x的方程：
(1)；
(2)．
【考点三：有限制条件的组合问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课前预习）甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有（ ）
A．27种B．18种C．36种D．48种
2．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（ ）
A．20B．30C．22D．40
3．（24-25高二下·全国·课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（ ）
A．80种B．90种C．100种D．120种
4．（24-25高二上·甘肃白银·期末）袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（ ）
A．12B．24C．36D．48
5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．24种
6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为，若，，，则这样的数列共有（ ）
A．70个B．71个C．80个D．81个
7．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114B．120C．126D．132
8．（23-24高二下·安徽·期中）已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有（ ）
A．36种B．52种C．88种D．92种
【考点四：几何中的组合问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·广东广州·期末）以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（ ）
A．70B．64C．58D．24
2．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有（ ）．
A．36条B．30条C．21条D．18条
3．（23-24高二下·河北唐山·期中）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ）
A．35B．34
C．31D．30
4．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 .
A．90B．85C．80D．75
5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）使方程组至少有一个解，且所有的解都是整数解的实数对的个数是（ ）
A．66B．78C．72D．70
6．（23-24高二下·四川眉山·期末）一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（ ）对异面直线
A．174B．180C．210D．368
【考点五：分组分配问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·河南洛阳·期中）洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（ ）
A．90种B．150种C．240种D．300种
2．（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ）
A．630种B．840种C．1470种D．1480种
3．（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）
A．90B．150C．390D．420
4．（23-24高二下·河北·阶段练习）暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（ ）
A．540B．720C．1080D．1170
5．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ）
A．1280B．300C．1880D．1560
6．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A．82B．100C．124D．164
【考点六：排列组合综合问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·河南·期中）现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（ ）
A．14种B．18种C．12种D．7种
2．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）某中学安排4位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
3．（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ）
A．630种B．840种C．1470种D．1480种
4．（23-24高二下·山东菏泽·期中）将3种植物种植在如图所示的4块试验田内，每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有（ ）
A．24种B．21种C．18种D．12种
5．（23-24高二下·天津北辰·期中）从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．48B．30C．24D．6
6．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）有10只不同的实验产品，其中有4只次品，6只正品.现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，则错误的是（ ）
A．最后一只次品正好在第四次测试时被发现的不同情形有24种
B．最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有576种
C．所有次品正好是第六次测试时被全部查出的不同情形有7200种
D．4只次品全测出至多需要九次测试
7．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
8．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有（ ）种
A．B．C．D．
9．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（ ）
A．50B．64C．66D．78
一、单选题
1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（ ）
A．21B．35C．70D．126
2．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）2024年2月，贵州省多点爆发山火，给国家和当地人民带来了巨大的财产损失.为帮助兄弟省份有效控制火势继续蔓延，省政府决定让我市抽派3名志愿者去支援抗火.目前6名志愿者中有男性4名女性2名，至少抽派到1名女性的方法数是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）甲辰龙年新年伊始，“尔滨”成为旅游城市中的“顶流”，仅元旦假期，哈尔滨接待游客突破300万人次，实现旅游收入59亿元，冰雪大世界更是游客们必去打卡点之一.小于、小智等5个“南方小土豆”决定在冰雪大世界的雪花摩天轮、超级大滑梯、急速雪圈、雪地旋转4个项目中选择1个项目优先游玩体验.若每个项目至少有1个“小土豆”去优先体验，每个“小土豆”都会选择1个项目优先体验，且小于、小智都单独1人去某1个项目，则不同的优先游玩体验方法有（ ）
A．36种B．72种C．84种D．96种
4．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．286B．285C．219D．218
5．（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（ ）
A．18B．17C．16D．15
6．（23-24高二下·湖北·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次．比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（ ）
A．72B．78C．96D．120
7．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知且，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高二下·湖北·期中）2024年元旦期间，哈尔滨这座冰城火爆出圈，成为旅游城市中的顶流．某班级6位同学也准备趁着春节假期共赴一场冰雪之约，这6位同学准备在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪纪念塔三个景点中游玩，已知6位同学都会进行选择且只能选择其中一个景点，并且每个景点至少一位同学会选，则不同的选法总数为（ ）
A．240B．360C．420D．540
9．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A．180种B．336种C．720种D．1440种
10．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如图，一个椭圆形花坛分为A，B，C，D，E，F六个区域，现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同．现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择，B区域必须种红花，则不同的种法种数为（ ）

A．156B．144C．96D．78
11．（23-24高二下·安徽·阶段练习）将编号为1，2，3，4，5，6的小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有一个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A．90B．135C．264D．270
12．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在某次高峰论坛中，有2名科学家，2名企业家，3名国际负责人要进行主题演讲交流.若3名国际负责人的演讲顺序不相邻且2名企业家不在第一个演讲，则不同的演讲顺序共有（ ）
A．1152种B．1040种
C．864种D．288种
13．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（ ）
A．38B．42C．50D．56
二、多选题
14．（22-23高二下·江苏·单元测试）下列是组合问题的是（ ）
A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？
15．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有种
B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种
16．（23-24高二下·吉林·期中）下列说法正确的为（ ）
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；
B．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有540种不同的分法；
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法．
17．（23-24高二下·广东江门·期末）在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段
B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个
C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个
D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个
三、填空题
18．（23-24高二下·湖北·期中）若，则正整数的值为 .
19．（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）满足等式的所有整数x组成的集合为 .
四、解答题
20．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）（1）解不等式；
（2）解方程.
21．（23-24高二上·江西·期末）已知，．
(1)证明： ；
(2)证明： ．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
【考点一：组合的意义与理解】
【考点二：有关组合数及其性质的计算、化简、证明】
【考点三：有限制条件的组合问题】
【考点四：几何中的组合问题】
【考点五：分组分配问题】
【考点六：排列组合综合问题】
模块四 小试牛刀过关测
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系；
2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算；
3.会解决一些简单的组合问题。
第一试验田
第二试验田
第三试验田
第四试验田