高二寒假数学自学（人教A）第16讲 二项式系数的性质（思维导图+4知识点+四大考点+过关检测）（解析版）

这是一份高二寒假数学自学（人教A）第16讲 二项式系数的性质（思维导图+4知识点+四大考点+过关检测）（解析版），共21页。试卷主要包含了二项式定理的性质等内容，欢迎下载使用。

一、二项式定理的性质
1、对称性：在的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
即，，…，
2、增减性与最大值
当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小；
二、巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题
1、求二项式系数和：
（1）令，则
（2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即
2、求各项系数和
（1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，；
（2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为；
（3）若，则的各项系数之和为，
奇数项系数之和为，偶数项系数之和为
三、二项式系数的最值与项的系数的最值问题
1、二项式系数的最值问题
如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，
它们的二项式系数和相等且最大；
2、项的系数的最值问题
求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第项的系数为最大，然后解不等式即可
四、应用二项式定理解决整除问题的方法
用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再利用二次项定理展开，只需考虑后面（或前面）的一项或两项即可。
注：在解决问题时要注意余数的范围，（为余数，，是除数），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转化为正数。
【考点一：二项式系数及最值问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江·期中）的二项展开式中，第m项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项式展开式通项判断即可.
【详解】二项式展开式第项的二项式系数为.
故选：C.
2．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求解即得.
【详解】由的展开式中只有第7项的二项式系数最大，得展开式共有13项，
所以.
故选：D
3．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中含的项的二项式系数为（ ）
A．15B．20C．D．1215
【答案】A
【分析】求出的展开式的通项，求出的展开式中含的二项式系数.
【详解】的展开式的通项为，
令，则的展开式中含的二项式系数为．
故选：A.
4．（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】写出展开式的通项，即可判断.
【详解】二项式展开式的通项为（且），
则第5项公式为，
所以展开式的第5项的系数是.
故选：C
5．（24-25高二上·全国·随堂练习）的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．第3项B．第6项C．第6，7项D．第5，7项
【答案】C
【分析】根据n＝11为奇数，结合二项式系数的性质，由展开式中第项和第项相等且最大求解.
【详解】因为n＝11为奇数，
所以的展开式中第项和项，
即第6，7项的二项式系数相等，且最大．
故选：C
6．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）二项式的展开式中无理项的项数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】写出展开式的通项，再计算出有理项的项数，即可判断.
【详解】二项式展开式的通项为（其中且），
所以展开式中一共有项，令，则或或或，
所以展开式中有理项共有项，则无理项有项.
故选：B
【考点二：展开式系数最值问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在的二项展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第5项和第6项
【答案】B
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】的通项公式为,
根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大，
第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大
故选：B
2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【答案】C
【分析】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项.
【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等，
由的展开式的二项式系数和项的系数相等，
所以，所以，
则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项，
故选：C．
3．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，得到，从而求出展开式中系数的最小值.
【详解】因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以，
所以展开式的通项公式为，要使展开式中系数的最小值，则为奇数，取值为1，3，5，7，所以当或5时，系数最小，则展开式中系数的最小值为，
故选：C
4．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（ ）
A．第1项和第3项B．第2项和第4项
C．第3项和第1项D．第4项和第2项
【答案】B
【分析】写出的二项展开式的通项，进而可知项的系数为，进而可知当取奇数时，系数为负值，因此分别求出、、时的项的系数，进而可知最小值；因为的展开式有7项，因此中间一项的二项式系数最大.
【详解】的展开式的通项为，
当取奇数时，系数为负值，
当时，，当时，，当时，，
所以第2项的系数最小；
因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大.
故选：B.
5．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最大的项为（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】C
【分析】根据二项式定理可得展开式通项，利用不等式法可求得结果.
【详解】的展开式通项为：，
设第项的系数最大，则，解得：，
又，或，
的展开式系数最大的项为和，即和.
故选：C.
6．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）若，则取最大值时的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】令，，且，结合组合数公式求出的值即可．
【详解】令，，且，
解得，，且，
所以时，，
而，，
所以，且，
故取最大值时的值为9．
故选：B．
【考点三：利用赋值法解决系数问题】
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据二项式定理的性质，采取赋值法即可解决．
【详解】令，则，即．
故选：B.
2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知的展开式中各项二项式系数和是，则展开式中的常数项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项式系数和可知，再结合二项展开式的通项可得常数项.
【详解】由已知的展开式中各项二项式系数和是，解得，
又二项式的通项为，
令，即时，
常数项为，
故选：C.
3．（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】赋值法求解即可.
【详解】令，得①，令，得②，
①－②，得，即．
故选：A．
4．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（ ）
A．32B．-32C．0D．1
【答案】D
【分析】根据二项式的所有二项式系数之和的表达式求得的值，再对赋值1即可求得.
【详解】依题，解得，
则二项式的所有项系数之和为.
故选：D.
5．（23-24高二下·全国·单元测试）已知二项式的展开式奇数项的二项式系数和为，展开式中项的系数为，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】由展开式奇数项的二项式系数和，可得，
则展开式的通项为，
令，则，，解得，
，.
故选：A.
6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A．31B．30C．29D．28
【答案】C
【分析】赋值法得到方程，求出，求出展开式通项公式，得到，，从而得到展开式中的系数.
【详解】中令得，解得，
展开式通项公式为，，
当时，，当时，，
故展开式中的系数为.
故选：C
7．（24-25高二下·全国·课后作业）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用赋值法计算 QUOTE f1 f1与，即可得解.
【详解】，
令，则，
令，则，
则.
故选：D.
8．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知，则的值为（ ）
A．255B．256C．511D．512
【答案】A
【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令求出，分别令、，再两式相加可得，再减去即可.
【详解】令，得，
令，得，
令，得，
两式相加得，
得，
则.
故选：A.
9．（24-25高二上·广西·期末）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可.
【详解】令，得，故A不正确；
令，得，所以，故B不正确；
令，得，
所以，故C正确；
令，得，所以D不正确.
故选：C
【考点四：用二项式定理解整除求余】
一、单选题
1．（24-25高二上·广西·期末）被6除的余数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】利用二项展开式可得正确.
【详解】因为，
且984可以被6整除，所以余数为1.
故选：A.
2．（23-24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】D
【分析】利用二项式定理求出被8除得的余数，再逐项分析判断即可.
【详解】依题意，
，展开式共11项，其中前10均有因数8，最末一项为1，
则被8除得的余数是1，2022，2023，2024，2025被8除得的余数分别为6，7，0，1，
因此b的值可以是2025.
故选：D
3．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设为偶数，则被整除的余数是（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】A
【分析】结合二项式定理，化简原式，再利用二项展开式，即可求解.
【详解】由题意，可得
，
因为为偶数，
所以原式
因为能被整除，
所以被整除的余数是.
故选：A.
4．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若能被25整除，则正整数的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】利用二项式定理展开，并对讨论即可得到答案
【详解】因为能被25整除，
所以当时，，此时，，
当时，；
当时，
，
因此只需能够被整除即可，可知最小正整数的值为，
综上所述，正整数的最小值为，
故选：C
5．（23-24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（ ）
A．6B．10C．55D．63
【答案】C
【分析】分别由和结合二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得解.
【详解】因为，
所以
，
所以若既能被7整除，则，故
又，
所以
，
所以若既能被9整除，则，故，
对于A，若，则由可知无解，故A错误；
对于B，若，则由可知无解，故B错误；
对于C，若，则由和得，故C正确；
对于D，若，则由可知无解，故D错误.
故选：C.
一、单选题
1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）展开式中第6项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据第6项的二项式系数即可求解.
【详解】展开式中第6项的二项式系数是，
故选：C.
2．（23-24高二下·四川凉山·期末）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项.
【详解】因为，所以n＝8，
二项展开式的通项为，
故二项展开式中，二项式系数最大的项为.
故选：A.
3．（23-24高二下·河南开封·期末）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（ ）
A．21B．42C．84D．168
【答案】A
【分析】利用二项式的展开式的通项公式可得，求解即可.
【详解】由，可得展开式的通项公式为，
因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以，
解得，所以.
故选：A.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（ ）
A．43B．C．27D．
【答案】D
【分析】根据题意结合二项展开式解得，，令，运算求解即可.
【详解】展开式的第7项为，
由题意可得，，（），解得，，
则展开式的通项为，，
令，则，
所以展开式中的有理项的系数和为.
故选：D.
5．（23-24高二上·湖南长沙·期末），则（ ）
A．B．0C．32D．64
【答案】C
【分析】利用赋值法即可得解.
【详解】因为，
令，可得，
令，可得，
所以.
故选：C
6．（23-24高二下·广东广州·期中）已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中只有第4项的二项式系数最大D．展开式中含项的系数为84
【答案】C
【分析】利用二项式系数的性质求出，再逐项分析判断即得.
【详解】对于A，由的展开式的二项式系数和为128，得，解得，A正确；
对于B，取，则展开式中各项系数的和为，B正确；
对于C，展开式共有8项，则第4项和第5项的二项式系数相等，都最大，C错误；
对于D，展开式中含项为，因此展开式中含项的系数为84，D正确.
故选：C
7．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项为第（ ）项
A．2B．3C．4D．2或3
【答案】B
【分析】由通项公式列出不等式组可求答案.
【详解】的展开式通项公式为，
设第项为系数最大的项，则有，解得，即.
故选：B
8．（23-24高三下·海南·阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】对于题中的二项展开式，只需分别取，，和代入化简即可一一判断.
【详解】因（*）
对于A项，当时，代入（*）可得，故A项错误；
对于B项，当时，代入（*）可得，故B项错误；
对于C项，当时，代入（*）可得，
则，故C项错误；
对于D项，当时，代入（*）可得，
则，故D项正确.
故选：D.
9．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解.
【详解】由题意二项式系数仅最大，故，
所以二项式为，其通项公式为，
设二项式展开式中第项的系数最大，则有，
，即，故，经经验符合题意，
所以展开式中系数最大的项是第3项.
故选：B.
10．（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（ ）
A．1B．2C．0D．5
【答案】A
【分析】借助二项式的展开式计算即可得.
【详解】
，
因为能被8整除，
所以被8除所得的余数为1．
故选：A.
11．（2024·四川德阳·一模）设满足，则（ ）
A．120B．C．40D．
【答案】A
【分析】利用赋值法令可计算得出，再令求出，构造方程组计算可得.
【详解】因为，
令，即可得，
令，即可得，可得，所以；
令，即可得，
得，得，
所以.
故选：A.
12．（23-24高二下·浙江·期中）已知今天是星期三，则经过天后是（ ）
A．星期四B．星期五C．星期六D．星期日
【答案】C
【分析】根据，利用二项式定理即可求解.
【详解】由，
由于能被7整除，
所以除以7余，故经过天后是是星期六；
故选：C
13．（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项的项数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由二项式展开式求出前3项的系数，由条件列方程求出，再由展开式通项公式确定有理项的项数.
【详解】因为二项式的展开式的通项公式为
，
所以二项式的展开式的前三项的系数依次为，
由已知依次成等差数列，且，
则，即，
化简得，解得，或（舍去），
故二项式的展开式的通项公式为，.
设为有理项，则为整数，
可得，
故此展开式中有理项的项数是3.
故选：C.
14．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设，且，若能被3整除，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得，再由二项式的展开式代入计算，即可得到结果.
【详解】，
因为都能被整除，
所以要使能被3整除，则需要也能被3整除，
且，，所以.
故选：C
15．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则（ ）
A．210B．330C．165D．145
【答案】B
【分析】根据二项展开式由换元法令可得是中的系数，即可求得，计算可得结果.
【详解】由可得，
令，有
是中的系数
而,
所以.
故选：B
二、多选题
16．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数最大的项是第4项B．展开式没有常数项
C．各项系数之和为D．系数最大的项是第3项
【答案】AD
【分析】由二项式系数之和为可得的值，写出二项式展开式的通项，当为偶数时，二项式系数最大项为第项判断A，根据通项公式求常数项判断B，令即可得各项系数之和判断C，根据二项式的通项公式求解系数最大项即可判断D.
【详解】因为二项式系数之和为64，即有，所以，
则的通项，
对于A，二项式系数最大的是，它是第4项的二项式系数，正确；
对于B，令，得，得常数项为，错误；
对于C，令，得该展开式的各项系数之和为，错误；
对于D，由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，
由，
可知展开式中系数最大的项是第3项，正确.
故选：AD
17．（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用二项式定理求的系数判断A，对分别赋值，判断B，C，D.
【详解】由，则，因此A正确；
取，则，即，因此B不正确；
取，则，即①，因此C正确；
取，则，即②，
①②得，因此D不正确；
故选：AC.
18．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D．
【详解】由已知有，故，．
所以．
对于A，取 QUOTE x=1 x=1得，取 QUOTE x=2 x=2得，
所以，A错误；
对于B，对求导得，
取 QUOTE x=2 x=2得，B正确；
对于C，，
后一项即为余数1，C正确．
对于D，由有．
在中取 QUOTE x=0 x=0得，
所以，D正确．
故选：BCD．
三、填空题
19．（24-25高三上·上海·阶段练习）在的展开式中系数最大的项是第 项．
【答案】
【分析】根据二项式的展开项的通项确定系数为，结合组合数的性质即可得系数最大的项.
【详解】的展开式的通项为，
则展开式的系数为，故为偶数时系数为正数，
由组合数，可知当，即时，取到最大值，也符合为偶数，
故展开式中系数最大的项是第项.
故答案为：.
20．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ．
【答案】
【分析】首先根据二项式系数和的性质求出的值，然后写出二项式展开式的通项公式，再根据通项公式求出最高次项的系数.
【详解】已知的展开式中二项式系数和为32，则，即.
二项式展开式的通项公式为.
对于，则其通项公式为.
化简得.
因为，所以最高次项为时的项.
当时，该项的系数为.
所以最高次项的系数为.
故答案为：.
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
【考点一：二项式系数及最值问题】
【考点二：展开式系数最值问题】
【考点三：利用赋值法解决系数问题】
【考点四：用二项式定理解整除求余】
模块四 小试牛刀过关测
1.理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有关的问题；
2.灵活运用二项式系数的性质。